1/5概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)淺談概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)淺談國內(nèi)多數(shù)高校工科本科生都開設(shè)了概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門課程12。該課程無論是在經(jīng)濟、管理、力學(xué)、軍事科學(xué)等眾多學(xué)科和實際生活中都有廣泛的應(yīng)用，而且是控制、計算機等一些專業(yè)課的基礎(chǔ)課。但是作為一門數(shù)學(xué)專業(yè)課，學(xué)習(xí)有一定難度，如果不注意教學(xué)中的方式方法，容易讓學(xué)生感到枯燥難懂，失去學(xué)習(xí)興趣，影響教學(xué)效果。因此，當對工科學(xué)生講授這門課程時，應(yīng)盡可能豐富教學(xué)方式，讓學(xué)生多了解這門課的實際意義，并更多地親身參與到教學(xué)當中。本文就此問題，結(jié)合筆者的教學(xué)經(jīng)驗做幾點探討。1啟發(fā)式教學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中有較多的公式推導(dǎo)，如果單純采用板書或PPT推導(dǎo)的方式進行授課，學(xué)生很容易會感到枯燥乏味，教學(xué)效果不好。因此比較好的方式是逐步啟發(fā)學(xué)生思考問題，讓學(xué)生跟隨老師的思路一步一步進行思考，由此體驗在老師的幫助下自己解決問題的成就感。以幾何概型部分的布豐投針問題為例。公元1777年的一天，法國科學(xué)家布豐邀請很多朋友一起做了一個實驗紙上預(yù)先畫好了一條條等距離的平行線。接著他又抓出一2/5大把原先準備好的小針，這些小針的長度都是平行線間距離的一半。把這些小針一根一根往紙上扔，記錄了所有人的投針結(jié)果，共投針2212次，其中與平行線相交的有704次?？倲?shù)2212與相交數(shù)704的比值為，即的近似值。這是古典概型的經(jīng)典應(yīng)用。在課堂上，在古典概型部分的最后講解這個例子，讓學(xué)生把所學(xué)知識應(yīng)用到實際當中，體驗數(shù)百年前科學(xué)家的思想。首先讓學(xué)生考慮將這個實驗抽象成數(shù)學(xué)問題，大致可以總結(jié)成為設(shè)平面上畫著一些有相等距離2A的平行線，向此平面上投一枚質(zhì)地勻稱的長為2L的針，求針與直線相交的概率。而這是一個典型的幾何概型問題。根據(jù)在此之前所說解決幾何概型問題的關(guān)鍵方法，要找到幾個自變量，使得它能夠用來刻畫整個實驗過程。引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖看清楚針與線相交與否在幾何關(guān)系上的差別，此時學(xué)生一般能夠逐漸想到除距離外，針與線的夾角也是重要的參數(shù)，因此，需要用距離和夾角兩個自變量來刻畫整個試驗。完成這一過程后，再讓學(xué)生利用這兩個自變量，分別給出試驗的幾何度量和事件的幾何度量。這樣通過較簡單地積分計算即可得到本問題要求的概率，即值。通過這一過程，讓學(xué)生逐步體會古典概型中較難解決的幾何概型問題的求解過程，避免教師一言堂，單純語言敘述和公式推導(dǎo)的枯燥乏味。在教學(xué)中增加互動3/5除了采用啟發(fā)式教學(xué)，讓學(xué)生在老師的提示下獨立思考外，在課堂中設(shè)置一些互動，讓學(xué)生親身參與其中也有利于讓學(xué)生更深刻體會教學(xué)內(nèi)容。例如，曾在美國多次引起大范圍本文由論文聯(lián)盟HTTP/收集整理討論的“三門問題”3。該問題亦稱為蒙提霍爾問題，出自美國一個電視節(jié)目。有三個門，其中兩個門后面是羊，一個門后面是汽車，參賽者選中其中一個門后，主持人開啟剩余兩扇門中一個后面是羊的門，此時參賽者可以選擇換另一個門。主持人是知道每個門后面的情況的，那么參賽者選擇換門是否可以增加得到汽車的概率答案是肯定的，如果參賽者不換門，得到汽車的概率是1/3，而換門后得到汽車的概率是2/3。大多數(shù)人直觀的感受是換門與不換門的結(jié)果不應(yīng)該有區(qū)別的，即各有一半的概率。因此本問題是數(shù)學(xué)上直觀感受與理論分析明顯不相符的一個有代表性的問題。而且本問題可以從概率論的多個角度去分析，如可以采用窮舉法、古典概型的基本算法或條件概率等不同的角度驗證。因此有利于學(xué)生展開大范圍討論并結(jié)合概率論中的多種知識去思考，讓學(xué)生熟練運用以前學(xué)過的知識。而且，在討論結(jié)束后，本問題可以很容易地通過實驗來驗證?？梢哉覍W(xué)生進行模擬實驗，比如選擇兩黑一紅三張撲克牌，抽到紅色牌算是中獎，模仿三門問題的抽獎4/5過程，如此反復(fù)進行實驗3050次并統(tǒng)計結(jié)果，即可明顯看出換牌與不換牌中獎概率的差別。在這方面類似的問題如“三張卡牌的騙局”等等不再贅述。如此讓學(xué)生從多方面參與到教學(xué)當中，有利于學(xué)生集中注意力，并可以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性。采用案例教學(xué)方法概率論和數(shù)理統(tǒng)計的知識在生活的各個角落都可以找到應(yīng)用，讓學(xué)生了解這一點對引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣有很大幫助，而且有利于幫助學(xué)生將課堂學(xué)習(xí)的知識真正應(yīng)用于實際的生產(chǎn)生活中。因此采用案例教學(xué)方法，在教學(xué)中采用與實際生產(chǎn)生活緊密聯(lián)系的例子有助于提高教學(xué)效果。例如，著名的美國橄欖球運動員辛普森殺妻案的庭審中，就在很多處與概率論和數(shù)理統(tǒng)計的知識有重要關(guān)聯(lián)4。例如，在庭審最初階段，控方反復(fù)強調(diào)辛普森曾有家暴現(xiàn)象，因此有殺妻的動機。而辯方的律師引用數(shù)據(jù)顯示，有家暴的男性中，最終殺妻的比例不足1/2500。但是，如果仔細思考這個問題就會發(fā)現(xiàn)，辯方的論據(jù)與實際問題是不相符的。辯方所說的是丈夫有家暴前提下殺妻的概率，而實際的問題應(yīng)該是在丈夫有家暴且妻子死于謀殺的前提下，妻子是被丈夫所殺的概率。通過當時的數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示，有43位被家暴且被謀殺的女性，其中40人是被丈夫5/5所殺，即丈夫有家暴且妻子死于謀殺的前提下，妻子是被丈夫所殺的概率高達93這就是一個標準的條件概率問題，盡管算法并不復(fù)雜，但是認清條件和事件是問題的關(guān)鍵。另外，盡管眾多證據(jù)顯示辛普森是兇手的可能性很大，但是由于本案仍有一些疑點顯示辛普森也存在被人陷害的可能，根據(jù)美國法律疑罪從無的思想，辛普森最終被判無罪釋放。這是本案最終受到大量爭議的關(guān)鍵之一。而這種疑罪從無的思想，與數(shù)理統(tǒng)計中假設(shè)檢驗中降低受偽錯誤的思想是類似的。既然在已有條件固定情況下，受偽錯誤和去真錯誤不可以同時降低，那么如果為了保護人權(quán)想盡可能降低受偽錯誤，那么有較高的去真錯誤也就無法避免了，美國法律即是如此。假設(shè)檢驗的理論是比較難以理解的，因此在理論講解中引入類似的實際案例進行類比，有助于學(xué)生較快的理