大學(xué)第六屆高等數(shù)學(xué)競賽理工類試題序號姓名學(xué)院第考場專業(yè)學(xué)號考試日期2009年10月11日題號一二三四五六七八九十十一十二總分題分15156687677788100累分人簽名得分注本卷共七頁,十二道大題,考試時間為8301130一、單項選擇題每題3分，共15分1、設(shè),，則分別是和的（）XXF1ARCTNXG1ARCTN0FXGA可去間斷點、無窮間斷點B可去間斷點、跳躍間斷點C無窮間斷點、可去間斷點D跳躍間斷點、無窮間斷點2、設(shè)，則（）22,AYXDDXYEDYXASIN1LIM230AB不存在CD03、設(shè)，其中為可導(dǎo)函數(shù)，則（）XYZUYZXABC1DXY4、空間曲線上任一點處的切線（）TZYT3SINCO2A與軸成定角B與軸成定角C與平面成定角D與平面成定角ZXYOZZOX5、設(shè)級數(shù)收斂，則級數(shù)12NU1NUA可能收斂也可能發(fā)散B條件收斂C絕對收斂D發(fā)散得分評閱人二、填空題每空3分，共15分得分評閱人1、1LNLIM402XDTX2、設(shè)連續(xù)，則FDTXTF023、將化成極坐標(biāo)形式的二次積分為YFDX3204、設(shè)是圓周，的方向為逆時針方向，則L42YLDYXYELX225、設(shè)，則級數(shù)的收斂半徑為BA1NNBAX三、（本題滿分6分）求由方程所確定的函數(shù)在內(nèi)的極值，并判斷是極大值還032XYXY,0是極小值得分評閱人四、（本題滿分6分）設(shè)，求,XYU1ARCTNU2X五、（本題滿分8分）計算曲線積分，其中是以點（1，0）為中心、為半徑的圓周，LYXDI24LR,取逆時針方向,0R1得分評閱人得分評閱人六、（本題滿分7分）設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且滿足XF,0，422TDXYFYXTFD其中是由所圍成的閉區(qū)域，求當(dāng)時的表達(dá)式D22Y,0F七、（本題滿分6分）設(shè)，求級數(shù)的和DXAN0SI11NNA得分評閱人得分評閱人八、（本題滿分7分）設(shè)在上連續(xù)且單調(diào)增加，試證對任意正數(shù)，恒有FX,0ABBBADXFDXFDXF0021九、（本題滿分7分）設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由方程0確定隱函數(shù)，求VU,BZYAX,YXZ,YZBXA得分評閱人得分評閱人十、（本題滿分7分）設(shè)，判別數(shù)列的斂散性NNX1212NX十一、（本題滿分8分）設(shè)半徑為的球面的球心在球面上，問當(dāng)為何值時，R0220XYZRR球面在球面內(nèi)部的那部分面積最大0得分評閱人得分評閱人十二、（本題滿分8分）注科技學(xué)院考生只作第1題,其他考生只作第2題。1計算，其中曲線弧為，DSYXIL21LXY202計算曲面積分，其中是曲面3321IZXZD被平面所截出部分的上側(cè)21YZ0得分評閱人大學(xué)第六屆高等數(shù)學(xué)競賽理工類試題答案一、單項選擇題每題3分，共15分1、B2、D3、A4、A5、C二、選擇題每空3分，共15分1、12、3、4、85、2XFSEC204RDFDA三、求由方程所確定的函數(shù)在內(nèi)的極值，并判斷是極大YXY,0值還是極小值對兩邊求導(dǎo)得，032XY230XYXY，2令得，代入原方程解得0YX1,84XY2112,0848436XYXYXY320故當(dāng)時，取極大值8XY4四、設(shè)，求,XYU1ARCTNU2X,221YXY21X2XU21五、計算曲線積分，其中是以點（1，0）為中心，為半徑的圓周LYXDI24LR,取逆時針方向,0R1,當(dāng)時,24,YXP24YXQ0XXQYXP24當(dāng)時,由格林公式知,10RD0,I當(dāng)時,作足夠小的橢圓曲線,從到SINCO2YXC02當(dāng)充分小時,取逆時針方向,使,于是由格林公式得，0CD042CLYXD因此LYXD24YXD24D201六、設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且滿足XF,0，422TDXYFYXTFD其中是由所圍成的閉區(qū)域，求當(dāng)時的表達(dá)式D22Y,0F240TFTDRFT,34T兩邊對求導(dǎo)得T，且，34FTFT0F這是一個一階線性微分方程，解得41TFTE七、設(shè)，求級數(shù)的和DXAN0SI11NNA令,則TXDTTN0SIN0SI2NNATD220SITD11NAN,11NKKSA1NKKLIMN八、設(shè)在上連續(xù)且單調(diào)增加，試證對任意正數(shù)，恒有FX,0ABBBADXFXFDXF0021令，F(xiàn)T則,0XFTFBABD0BXAFTDFXBAFF,2XD于是0011BBAAXFDFFXFXD九、設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由方程0確定隱函數(shù)，求VU,BZYAX,YXZ,YZBXA兩邊對求偏導(dǎo)得,120ZZXXAA兩邊對求偏導(dǎo)得,Y1ABYY，,12ZXAB21ZX1Y十、設(shè)，判別數(shù)列的斂散性NNX1212NX定義，令，則,0KKUX1KUX當(dāng)時，,2N12NNN211N,1LIM4NU由可知收斂，從而收斂1N1NNX十一、設(shè)半徑為的球面的球心在球面上，問當(dāng)為何R0220XYZRR值時，球面在球面內(nèi)部的那部分面積最大0由對稱性可設(shè)的方程為，球面被球面所割部分的方程為22XYZRR0，2ZRR,2XY22ZRXY21ZX2球面與球面的交線在平面的投影曲線方程為，令0XOY422RXYR42RLR所求曲面面積為,222201LDZRSDXYDX2R令得駐點,0SR43RR容易判斷當(dāng)時，球面在球面內(nèi)部的那部分面積最大0十二、（本題滿分8分）注科技學(xué)院考生只作第1題,其他考生只作第2題1計算，其中曲線弧為，DSYXIL2LXY0,1X,21，221DSYXDX將1、2代入得SIL2DXX20142計算曲面積分，其中是曲面332