第五講機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波51簡諧振動(dòng)511、簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)如果一個(gè)物體受到的回復(fù)力回F與它偏離平衡位置的位移X大小成正比，方向相反。即滿足XK回的關(guān)系，那么這個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)就定義為簡諧振動(dòng)根據(jù)牛頓第二是律，物體的加速度MKA回，因此作簡諧振動(dòng)的物體，其加速度也和它偏離平衡位置的位移大小成正比，方何相反?，F(xiàn)有一勁度系數(shù)為K的輕質(zhì)彈簧，上端固定在P點(diǎn)，下端固定一個(gè)質(zhì)量為M的物體，物體平衡時(shí)的位置記作O點(diǎn)?，F(xiàn)把物體拉離O點(diǎn)后松手，使其上下振動(dòng)，如圖511所示。當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到離O點(diǎn)距離為X處時(shí)，有MGKGF0回式中0X為物體處于平衡位置時(shí)，彈簧伸長的長度，且有MGK0，因此KXF回說明物體所受回復(fù)力的大小與離開平衡位置的位移X成正比。因回復(fù)力指向平衡位置O，而位移X總是背離平衡位置，所以回復(fù)力的方向與離開平衡位置的位移方向相反，豎直方向的彈簧振子也是簡諧振動(dòng)。注意物體離開平衡位置的位移，并不就是彈簧伸長的長度。512、簡諧振動(dòng)的方程由于簡諧振動(dòng)是變加速運(yùn)動(dòng)，討論起來極不方便，XP圖511XAO0圖512為此。可引入一個(gè)連續(xù)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因?yàn)樗谌我恢睆缴系姆诌\(yùn)動(dòng)為簡諧振動(dòng)，以平衡位置O為圓心，以振幅A為半徑作圓，這圓就稱為參考圓，如圖512，設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)在參考圓上以角速度作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它在開始時(shí)與O的連線跟X軸夾角為0,那么在時(shí)刻T，參考圓上的質(zhì)點(diǎn)與O的連線跟X的夾角就成為T，它在X軸上的投影點(diǎn)的坐標(biāo)COS0TA（2）這就是簡諧振動(dòng)方程，式中是T0時(shí)的相位，稱為初相0T是T時(shí)刻的相位。參考圓上的質(zhì)點(diǎn)的線速度為A，其方向與參考圓相切，這個(gè)線速度在X軸上的投影是0COSTV）（3）這也就是簡諧振動(dòng)的速度參考圓上的質(zhì)點(diǎn)的加速度為2A，其方向指向圓心，它在X軸上的投影是02COSTA）（4）這也就是簡諧振動(dòng)的加速度由公式（2）、（4）可得XA2由牛頓第二定律簡諧振動(dòng)的加速度為XMKF因此有K2（5）簡諧振動(dòng)的周期T也就是參考圓上質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)周期，所以KMWT2513、簡諧振動(dòng)的判據(jù)物體的受力或運(yùn)動(dòng)，滿足下列三條件之一者，其運(yùn)動(dòng)即為簡諧運(yùn)動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)中所受回復(fù)力應(yīng)滿足KXF；物體的運(yùn)動(dòng)加速度滿足A2；物體的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為COS0TAX。事實(shí)上，上述的三條并不是互相獨(dú)立的。其中條件是基本的，由它可以導(dǎo)出另外兩個(gè)條件和。52彈簧振子和單擺簡諧振動(dòng)的教學(xué)中經(jīng)常討論的是彈簧振子和單擺，下面分別加以討論。521、彈簧振子彈簧在彈性范圍內(nèi)胡克定律成立，彈簧的彈力為一個(gè)線性回復(fù)力，因此彈簧振子的運(yùn)動(dòng)是簡諧振動(dòng)，振動(dòng)周期KMT2。（1）恒力對(duì)彈簧振子的作用比較一個(gè)在光滑水平面上振動(dòng)和另一個(gè)豎直懸掛振動(dòng)的彈簧振子，如果M和K都相同（如圖521），則它們的振動(dòng)周期T是相同的，也就是說，一個(gè)振動(dòng)方向上的恒力不會(huì)改變振動(dòng)的周期。如果在電梯中豎直懸掛一個(gè)彈簧振子，彈簧原長0L，振子的質(zhì)量為M10KG，電梯靜止時(shí)彈簧伸長L010M，從T0時(shí)，開始電梯以G/2的加速度加速下降ST,然后又以G/2加速減速下降直至停止試畫出彈簧的伸長L隨時(shí)KM圖521間T變化的圖線。由于彈簧振子是相對(duì)電梯做簡諧運(yùn)動(dòng)，而電梯是一個(gè)有加速度的非慣性系，因此要考慮彈簧振子所受到的慣性力F。在勻速運(yùn)動(dòng)中，慣性力是一個(gè)恒力，不會(huì)改變振子的振動(dòng)周期，振動(dòng)周期MKT/2/因?yàn)長MGK/，所以0SGL因此在電梯向下加速或減速運(yùn)動(dòng)的過程中，振動(dòng)的次數(shù)都為520/次TTN當(dāng)電梯向下加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，振子受到向上的慣性力MG/2，在此力和重力MG的共同作用下，振子的平衡位置在2/21LKMGL的地方，同樣，當(dāng)電梯向下減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，振子的平衡位置在/3/2LKL的地方。在電梯向下加速運(yùn)動(dòng)期間，振子正好完成5次全振動(dòng)，因此兩個(gè)階段內(nèi)振子的振幅都是/L。彈簧的伸長隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖522所示，讀者可以思考一下，如果電梯第二階段的勻減速運(yùn)動(dòng)不是從5T時(shí)刻而是從45T時(shí)刻開始的，那么TL圖線將是怎樣的（2）彈簧的組合設(shè)有幾個(gè)勁度系數(shù)分別為1K、2NK的輕彈簧串聯(lián)起來，組成一個(gè)新彈簧組，當(dāng)這個(gè)新彈簧組在F力作用下伸長時(shí)，各彈簧的伸長為1X，那么總伸長OTLL22T圖522NIX1各彈簧受的拉力也是F，所以有IIKX/故NI1根據(jù)勁度系數(shù)的定義，彈簧組的勁度系數(shù)XFK/即得NI1/如果上述幾個(gè)彈簧并聯(lián)在一起構(gòu)成一個(gè)新的彈簧組，那么各彈簧的伸長是相同的。要使各彈簧都伸長X，需要的外力NINIKF11根據(jù)勁度系數(shù)的定義，彈簧組的勁度系數(shù)NIKXK1導(dǎo)出了彈簧串、并聯(lián)的等效勁度系數(shù)后，在解題中要靈活地應(yīng)用，如圖523所示的一個(gè)振動(dòng)裝置，兩根彈簧到底是并聯(lián)還是串聯(lián)這里我們必須抓住彈簧串并聯(lián)的本質(zhì)特征串聯(lián)的本質(zhì)特征是每根彈簧受力相同；并聯(lián)的本質(zhì)特征是每根彈簧形變相同。由此可見圖523中兩根彈簧是串聯(lián)。當(dāng)M向下偏離平衡位置X時(shí)，彈簧組伸長了2X，增加的彈力為212KKFM受到的合外力（彈簧和動(dòng)滑輪質(zhì)量都忽略）M圖523XKKXF21214所以M的振動(dòng)周期214KT21再看如圖524所示的裝置，當(dāng)彈簧1由平衡狀態(tài)伸長1L時(shí)，彈簧2由平衡位置伸長了2L，那么，由桿的平衡條件一定有（忽略桿的質(zhì)量）BLKAL212LL由于彈簧2的伸長，使彈簧1懸點(diǎn)下降122LBAKLX因此物體M總的由平衡位置下降了2211LBAKXL此時(shí)M所受的合外力121XBKALKF所以系統(tǒng)的振動(dòng)周期212BKMT（3）沒有固定懸點(diǎn)的彈簧振子質(zhì)量分別為AM和B的兩木塊A和B，用一根勁度系數(shù)為K的輕彈簧聯(lián)接起來，放在光滑的水平桌面上（圖525）。M1K2BA圖524現(xiàn)在讓兩木塊將彈簧壓縮后由靜止釋放，求系統(tǒng)振動(dòng)的周期。想象兩端各用一個(gè)大小為F、方向相反的力將彈簧壓縮，假設(shè)某時(shí)刻A、B各偏離了原來的平衡位置AX和B，因?yàn)橄到y(tǒng)受的合力始終是零，所以應(yīng)該有MA、B兩物體受的力的大小KXFBABA由、兩式可解得ABAXMKBF由此可見A、B兩物體都做簡諧運(yùn)動(dòng)，周期都是2BAMKT此問題也可用另一種觀點(diǎn)來解釋因?yàn)閮晌矬w質(zhì)心處的彈簧是不動(dòng)的，所以可以將彈簧看成兩段。如果彈簧總長為0L，左邊一段原長為0LMBA，勁度系數(shù)為KMBA；右邊一段原長為0LBA，勁度系數(shù)為KBA，這樣處理所得結(jié)果與上述結(jié)果是相同的，有興趣的同學(xué)可以討論，如果將彈簧壓縮之后，不是同時(shí)釋放兩個(gè)物體，而是先釋放一個(gè)，再釋放另一個(gè)，這樣兩個(gè)物體將做什么運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)心做什么運(yùn)動(dòng)522、單擺一個(gè)質(zhì)量為M的小球用一輕質(zhì)細(xì)繩懸掛在天花板上的O點(diǎn)，小球擺動(dòng)至與AB圖525ABFOXMG圖526豎直方向夾角，其受力情況如圖526所示。其中回復(fù)力，即合力的切向分力為SINMGF回當(dāng)5時(shí)，OAB可視為直角三角形，切向分力指向平衡位置A，且LXSIN，所以XLGF回K回（式中LMG）說明單擺在擺角小于5時(shí)可近似地看作是一個(gè)簡諧振動(dòng)，振動(dòng)的周期為GLKT2在一些異型單擺中，L和G的含意以及值會(huì)發(fā)生變化。（1）等效重力加速度單擺的等效重力加速度等于擺球相對(duì)靜止在平衡位置時(shí)，指向圓心的彈力與擺球質(zhì)量的比值。如在加速上升和加速下降的升降機(jī)中有一單擺，當(dāng)擺球相對(duì)靜止在平衡位置時(shí)，繩子中張力為AGM，因此該單擺的等效重力加速度為。周期為AGLT2再如圖527所示，在傾角為的光滑斜面上有一單擺，當(dāng)擺球相對(duì)靜止在平衡位置時(shí)，繩中張力為SINMG，因此單擺的等效重力加速度為，周期為O圖527OAMAFGA圖528SIN2GLT又如一節(jié)車廂中懸掛一個(gè)擺長為L的單擺，車廂以加速度A在水平地面上運(yùn)動(dòng)（如圖528）。由于小球M相對(duì)車廂受到一個(gè)慣性力MF，所以它可以“平衡”在OA位置，GAT，此單擺可以在車廂中以O(shè)A為中心做簡諧振動(dòng)。當(dāng)小球相對(duì)靜止在平衡位置A處時(shí)，繩中張力為2GA，等效重力加速度2GA，單擺的周期2GALT（2）等效擺長L單擺的等效擺長并不一定是擺球到懸點(diǎn)的距離，而是指擺球的圓弧軌跡的半徑。如圖529中的雙線擺，其等效擺長不是L，而是SINL，周期GT2再如圖5210所示，擺球M固定在邊長為L、質(zhì)量可忽略的等邊三角形支架ABC的頂角C上，三角支架可圍繞固定的AB邊自由轉(zhuǎn)動(dòng)，AB邊與豎直方向成A角。當(dāng)M作小角度擺動(dòng)時(shí)，實(shí)際上是圍繞AB的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，故等效擺長LLL230COS正因?yàn)镸繞D點(diǎn)擺動(dòng)，當(dāng)它靜止在平衡位置時(shí)，LM圖529ABCDML圖5210MNAMAG圖5211指向D點(diǎn)的彈力為AMGSIN，等效重力加速度為AGSIN，因此此異型擺的周期LLTSI232（3）懸點(diǎn)不固定的單擺如圖5211，一質(zhì)量為M的車廂放在水平光滑地面上，車廂中懸有一個(gè)擺長為L，擺球的質(zhì)量為M的單擺。顯然，當(dāng)擺球來回?cái)[動(dòng)時(shí)，車廂也將作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，懸點(diǎn)不固定。由擺球相對(duì)于車廂的運(yùn)動(dòng)是我們熟悉