兩輛鐵路平板車的裝貨問題摘要本文針對包裝箱的運輸問題，建立了關于使得平板車空間浪費最小的一般數學模型與方法。即使得空間浪費最小的最優(yōu)解，屬于優(yōu)化類模型。利用線性規(guī)劃原理對問題進行分析求解，建立數學模型。首先，將7種包裝箱的厚度和重量分別設成相應的未知數，方便在題中的代入求解。由此再進一步的研究。對于問題，假設出各輛鐵路平板車所載的7種包裝箱的數目。并考慮到鐵路平板車，對所載包裝箱的高度、重量等要求，利用所設未知數和已知的條件限制建立約束條件。再對鐵路平板車得空間浪費最少建立目標函數。由此，可建立線性規(guī)劃數學模型，對本文問題進行求解。利用LINGO編程進行求得最優(yōu)解,即得到最優(yōu)設計方案第一輛平板車載C1種類型的包裝箱0件，C2種類型的包裝箱5件，C3類型的包裝箱2件，C4種類型的包裝箱5件，C5種類型的包裝箱2件，C6種類型的包裝箱1件，C7種類型的包裝箱2件；另一輛平板車載C1種類型的包裝箱6件，C2種類型的包裝箱2件，C3種類型的包裝箱6件，C4種類型的包裝箱0件，C5種類型的包裝箱0件，C6種類型的包裝箱0件，C7種類型的包裝箱4件；這樣的裝載能使得兩輛平板車的使用高度達到204米，空間利用率達到100。關鍵詞最小浪費空間、長度、重量、數量。一、問題重述有7種規(guī)格的包裝箱要裝到兩輛鐵路平板車上去。包裝箱的寬和高是一樣的，但厚度（T，以厘米計）及重量（，以KG計）是不同的。下表給出了每種包裝箱的厚度、重量以及數量。每輛平板車有102M長的地方可用來裝包裝箱（象面包片那樣），載重為40T。C1C2C3C4C5C6C7件數8796648TCM487520613720487520640WKG200030001000500400020001000貨運管理制度規(guī)定每輛平板車上C5,C6,C7三類包裝箱所占空間不能超過3027CM問應該如何把這些包裝箱裝到平板車上，才能使得浪費的空間最小試建立此問題的數學模型。二、模型假設1、包裝箱的底面積恰好與平面車的平面積恰好相等。2、包裝箱之間不存在間隙，即包裝箱所鋪成的總高度沒有影響。3、將每個包裝箱裝入平板車都具有可行性。4、各個貨物裝在車上的概率相同，相互之間的排放不存在關聯性；5、在該平板車裝載的過程中不考慮各個貨物的厚度及重量的誤差性，均為題中所給的準確數值；6、裝載的過程中不考慮貨物在車上的排列次序及各個貨物的重量密度，排除因局部過重而造成的平板車不能行駛的情況；三、符號定義說明表示第I類包裝箱的厚度IA表示第I類包裝箱的重量IB表示第I類包裝箱IC表示在其中一輛車上裝第I類包裝箱X件IX表示在另一輛車上裝第I類包裝箱Y件IY（I1,2,3,4,5,6,7）四、問題分析七種包裝箱的重量和W89T，而兩輛平板車只能載24080T，因此不能全部裝下，究竟在兩輛車上裝哪些種類的箱子各多少才合適，必須有評價的標準，這標準是遵守題中說明的重量,厚度方面的約束條件，并且體現出盡可能多裝。由題意，只考慮面包重疊那樣的裝法，把問題簡化為兩輛車上裝箱總厚度之和盡可能大，可以確定建立線性規(guī)劃求整數解模型（每個箱子屬于01規(guī)劃模型）來解決這一問題，以尋找最合適的方案所浪費的空間最小，也就是說，是要讓使用的空間最大化。五、模型的建立與求解在符號假設中，設型箱的厚度為米，重公斤，在其一輛車上裝件，CIIAIBIX另一車上裝件，設型箱的總數為則，IYIDIIIDYX1、因為題中要求計算如何把這些包裝箱裝到平板車上，才能使得浪費的空間最小?？蓪⑵渥鳛槟繕撕瘮?。根據題意得出目標函數為7711MAXIIAY2、根據已知條件每輛平板車有102M長的地方可用來裝包裝箱（象面包片那樣），載重為40T，即兩輛車所載的高度均超過102M，所載的包裝箱的重量都不過40T。由此可建立約束條件一7171024024IIIIAXBAYB3、本文中特別規(guī)定每輛平板車上C5,C6,C7三類包裝箱所占空間不能超過3027CM，由此可建立約束條件（二）75023IIAXY因為所裝載的包裝箱個數必定為整數且兩輛平板車所載包裝箱的個數應小于總個數，即為整數，且。ID,IXIIIXYD4、建立約束條件（三）。為整數，且。,IXYIIIY將以上求解思路分析總結，建立模型如下77117175175MAX02430240321,7,0IIIIIIIIIIIIAYBXAYSTBAYXD目標函數且為整數由題中所給數據1C23C45C67CT厘米487520613720487520640W公斤200030001000500400020001000件數8796648代入上式進行求解在問題的求解利用LINGO進行求解得12345670521266004XXXXYYYYMA4即當第一輛平板車載C1種類型的包裝箱0件，C2種類型的包裝箱5件，C3類型的包裝箱2件，C4種類型的包裝箱5件，C5種類型的包裝箱2件，C6種類型的包裝箱1件，C7種類型的包裝箱2件；另一輛平板車載C1種類型的包裝箱6件，C2種類型的包裝箱2件，C3種類型的包裝箱6件，C4種類型的包裝箱0件，C5種類型的包裝箱0件，C6種類型的包裝箱0件，C7種類型的包裝箱4件；這樣的裝載能使得兩輛平板車的使用高度達到204米，空間利用率達到100。六、模型改進本題若運用MATLAB求解，所得結果誤差較大。因為決策變量只能取整數，線性規(guī)劃就變成了整數線性規(guī)劃。而無論是在理論上還是實踐中，它都比普通線性規(guī)劃難得多。因此，在實踐中，不必把整數規(guī)劃與普通規(guī)劃分得太清。許多實際問題中，建模本身就包含了一些不確定因素，同時常常也允許近似的或粗略的結果。但在本題中，若將決策變量的值用舍入湊整法進行取整，本身決策變量的取值就小，再進行舍入湊整法，值的變化就非常明顯，從而導致決策變量取值的誤差變大。為了減小實驗誤差，我們對模型進行型改進，運用LINGO軟件進行求解。結果證明，在決策變量取值較小時，運用LINGO軟件進行求解的誤差幾乎可以忽略不計。七、模型評價與推本文所建模型有如下特點1基于基于對問題的分解與基本理解，建立了整數線型規(guī)劃模型，并對模型進行求解，思路完整嚴密。2由于LINGO軟件功能強大，計算機運行的時間也大大縮小，而且使理論分析和運行結果相互得到證明，采用LINGO語言，在變量更多的情況下，理論分析的作用就更顯得重要，不能盲目的運用計算機求解，本文運用了分支界限法從中得到一組優(yōu)解。3）此解能基本反映實際情況，解決實際問題。充分利用題中的數據特點，對模型進行簡化，從而對計算簡化。4）在模型的推廣上，本文結合實際的運輸過程，將平板車的裝載重量這一因素引進來，從而由單目標規(guī)劃推廣到多目標規(guī)劃上，使我們的模型更符合實際需求，更具有經濟效益。當然，本文的模型還只是針對一種確知的目標函數而定的。當目標函數變?yōu)檫\輸成本最小化而需要進行復雜的不確定的多因素動態(tài)規(guī)劃時，模型則需要更進一步的深化與改進。七、參考文獻1嚴喜祖，宋中民，畢春加數學建模及其實驗北京高等教育出版社，2009年8月，2434頁，4347頁，99112頁；2宋來中，王志明數學建模與實驗北京科學出版社,2005年8月,155159頁；3陳理榮數學建模導論北京郵電大學出版社,2002年8月第3次印刷,2541頁4數學模型編寫組數學模型,廣州華南理工大學出版社,2003年5月第1版第2次印刷154156頁5謝金星，薛毅優(yōu)化建模LINGO軟件北京清華大學出版社，200507出版20050701印刷八、附件MATLAB程序C048705206130720487052064048705206130720487052064A0487052061307204870520640000000231054210000000000004870520640000000000000004870520613072048705206400000002310542100000000000048705206410000001000000010000001000000010000001000000010000001000000010000001000000010000001000000010000001B1024030271024030278888888AEQ00000000000000BEQ0XLZEROS14,1XU8ONES14,1X,FMINLINPROGC,A,B,AEQ,BEQ,XL,XUBOND1X1BOND2X2BOND3X3BOND4X4BOND5X5BOND6X6BOND7X7BOND8Y1BOND9Y2BOND10Y3BOND11Y4BOND12Y5BOND13Y6BOND14Y7RETURNEXPECTATIONFMINMATLAB計算結果WARNINGCOULDNOTFINDANEXACTCASESENSITIVEMATCHFORLINPROGCPROGRAMFILESMATLABR2009ATOOLBOXOPTIMOPTIMLINPROGMISACASEINSENSITIVEMATCHANDWILLBEUSEDINSTEADYOUCANIMPROVETHEPERFORMANCEOFYOURCODEBYUSINGEXACTNAMEMATCHESANDWETHEREFORERECOMMENDTHATYOUUPDATEYOURUSAGEACCORDINGLYALTERNATIVELY,YOUCANDISABLETHISWARNINGUSINGWARNINGOFF,MATLABDISPATCHERINEXACTCASEMATCHTHISWARNINGWILLBECOMEANERRORINFUTURERELEASESOPTIMIZATIONTERMINATEDBOND132235BOND231695BOND333291BOND431068BOND516416BOND616627BOND716255BOND832235BOND931695BOND1033291BOND1131068BOND1216416BOND1316627BOND1416255RETURNEXPECTATION204000因為決策變量只能取整數，線性規(guī)劃就變成了整數線性規(guī)劃。因此，在本題中，將決策變量的值用舍入湊整法進行取整。所以最終求解為BOND13BOND23BOND33BOND43BOND52BOND62BOND72BOND83BOND93BOND103BOND113BOND122BOND132BOND142由于LINGO軟件功能強大，計算機運行的時間也大大縮小，而且使理論分析和運行結果相互得到證明，采用LINGO語言，在變量更多的情況下，理論分析的作用就更顯得重要，不能盲目的運用計算機求解，本文也可采用LINGO軟件進行求解，并運用了分支界限法從中得到一組優(yōu)解。LINGO程序如下MAX0487X1052X20613X3072X40487X5052X6064X70487Y1052Y20613Y3072Y40487Y5052Y6064Y7ST0487X1052X20613X3072X40487X5052X6064X71022X13X21X305X44X52X61X7400487X5052X6064X730270487Y1052Y20613Y3072Y40487Y5052Y6064Y71022Y13Y21Y305Y44Y52Y61Y7400487Y5052Y6064Y73027X1Y18X2Y27X3Y39X4Y46X5Y56X6Y64X7Y78ENDGIN14利用LINGO計算所得結果GLOBALOPTIMALSOLUTIONFOUNDOBJECTIVEVALUE2040000OBJECTIVEBOUND2040000INFEASIBILITIES04440892E15EXTENDEDSOLVERSTEPS27523TOTALSOLVERITERATIONS50148VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX1000000004870000X2500000005200000X3200000006130000X4500000007200000X5200000004870000X6100000005200000X7200000006400000Y1600000004870000Y2200000005200000Y3600000006130000Y4000000007200000Y5000000004870000Y6000