第30屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽考試試題解答與評分標準20130921【一】（15分）一半徑為、內(nèi)側(cè)光滑的半球面固定在地面上，開口水平且朝上一小滑塊在半球R面內(nèi)側(cè)最高點處獲得沿球面的水平速度，其大小為求滑塊在整個運動過程中可能達到0V的最大速率重力加速度大小為G【參考解答】以滑塊和地球為系統(tǒng)，它在整個運動過程中機械能守恒滑塊沿半球面內(nèi)側(cè)運動時，可將其速度分解成緯線切向水平方向分V量及經(jīng)線切向分量設(shè)滑塊質(zhì)量為，在某中間狀態(tài)時，VM滑塊位于半球面內(nèi)側(cè)處，和球心的連線與水平方向的夾角PO為由機械能守恒得1222011SINGRMVV這里已取球心處為重力勢能零點以過的豎直線為軸球面對滑塊的支持力通過該軸，力矩為O零；重力相對于該軸的力矩也為零所以在整個運動過程中，滑塊相對于軸的角動量守恒，故20COSMV由1式，最大速率應(yīng)與的最大值相對應(yīng)3AXAX而由2式，不可能達到由1和2式，的最大值應(yīng)與相對應(yīng)，即20V4MAX0V【4式也可用下述方法得到由1、2式得220SINTA0GRV0OP若，由上式得SIN0220SINCOGRV實際上，也滿足上式。由上式可知SIMAX220SIC由3式有422MAXMAX0MAXSINTGRVV】將代入式1，并與式2聯(lián)立，得MAX0V5220MAXMAXMAXSINSIN1SI0GV以為未知量，方程5的一個根是，即，這表示初態(tài)，其速率為最小值，不AXSINSIN00是所求的解于是約去，方程5變?yōu)镸AXSINAX622M0MAXSISIGRGRV其解為7220AX40SIN1614GV注意到本題中，方程6的另一解不合題意，舍去將7式代入1式得，當(dāng)時，SIN0MAX,82242016RV考慮到4式有92242MAX0GV【評分標準】本題15分1式3分，2式3分，3式1分，4式3分，5式1分，6式1分，7式1分，9式2分【二】（20分）一長為2L的輕質(zhì)剛性細桿位于水平的光滑桌面上，桿的兩端分別固定一質(zhì)量為M的小物塊D和一質(zhì)量為（為常數(shù)）的小物塊B，桿可繞通過小物塊B所在端的豎直固定轉(zhuǎn)M軸無摩擦地轉(zhuǎn)動一質(zhì)量為M的小環(huán)C套在細桿上（C與桿密接），可沿桿滑動，環(huán)C與桿之間的摩擦可忽略一輕質(zhì)彈簧原長為L，勁度系數(shù)為K，兩端分別與小環(huán)C和物塊B相連一質(zhì)量為M的小滑塊A在桌面上以垂直于桿的速度飛向物塊D，并與之發(fā)生完全彈性正碰，碰撞時間極短碰撞時滑塊C恰好靜止在距軸為（）處RL1若碰前滑塊A的速度為，求碰撞過程中軸受到的作用力的沖量；0V2若碰后物塊D、C和桿剛好做勻速轉(zhuǎn)動，求碰前滑塊A的速度應(yīng)滿足的條件0V【參考解答】1由于碰撞時間很小，彈簧來不及伸縮碰撞已結(jié)束設(shè)碰后A、C、D的速度分別為、TAVC，顯然有DV1DC2LRV以A、B、C、D為系統(tǒng)，在碰撞過程中，系統(tǒng)相對于軸不受外力矩作用，其相對于軸的角動量守恒2DCA022MLRLMLVV由于軸對系統(tǒng)的作用力不做功，系統(tǒng)內(nèi)僅有彈力起作用，所以系統(tǒng)機械能守恒又由于碰撞時間很小，彈簧來不及伸縮碰撞已結(jié)束，所以不必考慮彈性勢能的變化故T32222DCA011MMVV由1、2、3式解得422000248,88CDALRLRRLVVVV【代替3式，可利用彈性碰撞特點30DA同樣可解出4】設(shè)碰撞過程中D對A的作用力為，對A用動量定理有1F,520048LRTMMVV方向與方向相反于是，A對D的作用力為的沖量為0V1621048LRFTMV方向與方向相同0以B、C、D為系統(tǒng)，設(shè)其質(zhì)心離轉(zhuǎn)軸的距離為，則X72MRLR質(zhì)心在碰后瞬間的速度為8C0248LRXRVV軸與桿的作用時間也為，設(shè)軸對桿的作用力為，由質(zhì)心運動定理有TF9210248LRFTMVV由此得10202RLT方向與方向相同因而，軸受到桿的作用力的沖量為0V,112028RLFTMV方向與方向相反注意因彈簧處在拉伸狀態(tài)，碰前軸已受到沿桿方向的作用力；在碰撞過程0V中還有與向心力有關(guān)的力作用于軸但有限大小的力在無限小的碰撞時間內(nèi)的沖量趨于零，已忽略【代替79式，可利用對于系統(tǒng)的動量定理】21CDFTMV【也可由對質(zhì)心的角動量定理代替79式】2值得注意的是，1、2、3式是當(dāng)碰撞時間極短、以至于彈簧來不及伸縮的條件下才成立的如果彈簧的彈力恰好提供滑塊C以速度繞過B的軸做勻速圓周運動的向心力，即0248CLRV12222C0168LRKMRVV則彈簧總保持其長度不變，1、2、3式是成立的由12式得碰前滑塊A的速度應(yīng)滿足的條0V件132084KRLMV可見，為了使碰撞后系統(tǒng)能保持勻速轉(zhuǎn)動，碰前滑塊A的速度大小應(yīng)滿足13式0V【評分標準】本題20分第1問16分，1式1分，2式2分，3式2分，4式2分，5式2分，6式1分，7式1分，8式1分，9式2分，10式1分，11式1分；第2問4分，12式2分，13式2分【三】（25分）一質(zhì)量為、長為的勻質(zhì)細桿，可繞過其一端的光滑水平軸在豎直平面內(nèi)自MLO由轉(zhuǎn)動桿在水平狀態(tài)由靜止開始下擺，1令表示細桿質(zhì)量線密度當(dāng)桿以角速度繞過其一端的光滑水平軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動時，L其轉(zhuǎn)動動能可表示為KEL式中，為待定的沒有單位的純常數(shù)已知在同一單位制下，兩物理量當(dāng)且僅當(dāng)其數(shù)值和單位都相K等時才相等由此求出、和的值2已知系統(tǒng)的動能等于系統(tǒng)的質(zhì)量全部集中在質(zhì)心時隨質(zhì)心一起運動的動能和系統(tǒng)在質(zhì)心系（隨質(zhì)心平動的參考系）中的動能之和，求常數(shù)的值K3試求當(dāng)桿擺至與水平方向成角時在桿上距點為處的橫截面兩側(cè)部分的相互作用力重力加OR速度大小為G提示如果是的函數(shù)，而是的函數(shù)，則對的導(dǎo)數(shù)為TXTXYTTXYDDYTT例如，函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)為COSTSDDTT【參考解答】1當(dāng)桿以角速度繞過其一端的光滑水平軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動時，其動能是獨立變量、和O的函數(shù)，按題意可表示為L1KEL式中，為待定常數(shù)（單位為1）令長度、質(zhì)量和時間的單位分別為、和（它們可視KLMT為相互獨立的基本單位），則、和的單位分別為K212,KMLTE在一般情形下，若表示物理量的單位，則物理量可寫為QQQ3式中，表示物理量在取單位時的數(shù)值這樣，1式可寫為4KEL在由2表示的同一單位制下，上式即5K6EL將2中第四式代入6式得72MTT2式并未規(guī)定基本單位、和的絕對大小，因而7式對于任意大小的、和均LLMT成立，于是81,2,3所以923KEL2由題意，桿的動能為10,C,RKK其中，1122,CC1KLEMV注意到，桿在質(zhì)心系中的運動可視為兩根長度為的桿過其公共端（即質(zhì)心）的光滑水平軸在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，因而，桿在質(zhì)心系中的動能為,RK1232,R2,KKLEK將9、11、12式代入10式得13232321LKLK由此解得1416K于是15EK162L33以細桿與地球為系統(tǒng)，下擺過程中機械能守恒16SIN2KMG由15、16式得173GSINL以在桿上距點為處的橫截面外側(cè)長為的那一段為研究對象，該段質(zhì)量為，其質(zhì)ORRLR心速度為182CLRRV設(shè)另一段對該段的切向力為以增大的方向為正方向，法向即與截面相垂直的方向力為T以指向點方向為正向，由質(zhì)心運動定理得NO19COSTLRGLRA20INNN式中，為質(zhì)心的切向加速度的大小TA213COSDD2T4CTLRGLRRATV而為質(zhì)心的法向加速度的大小NA2223SIN2NRGAL由19、20、21、22式解得2323COS4RTMG24253SINLRRNMG【評分標準】本題25分第1問5分，2式1分，6式2分，7式1分，8式1分；第2問7分，10式1分，11式2分，12式2分，14式2分；不依賴第1問的結(jié)果，用其他方法正確得出此問結(jié)果的，同樣給分；第3問13分，16式1分，17式1分，18式1分，19式2分，20式2分，21式2分，22式2分，23式1分，24式1分；不依賴第1、2問的結(jié)果，用其他方法正確得出此問結(jié)果的，同樣給分【四】（20分）圖中所示的靜電機由一個半徑為、與環(huán)境絕緣的開口R（朝上）金屬球殼形的容器和一個帶電液滴產(chǎn)生器G組成質(zhì)量為、帶電M量為的球形液滴從G緩慢地自由掉下（所謂緩慢，意指在G和容器口之Q間總是只有一滴液滴）液滴開始下落時相對于地面的高度為設(shè)液滴很H小，容器足夠大，容器在達到最高電勢之前進入容器的液體尚未充滿容器忽略G的電荷對正在下落的液滴的影響重力加速度大小為若容器初始電G勢為零，求容器可達到的最高電勢MAXV【參考解答】設(shè)在某一時刻球殼形容器的電量為以液滴和容器為體系，考慮從一滴液滴從帶電液滴產(chǎn)生器GQ出口自由下落到容器口的過程根據(jù)能量守恒有121QQQMGHKMGRKRV式中，為液滴在容器口的速率，是靜電力常量由此得液滴的動能為V221HKV從上式可以看出，隨著容器電量的增加，落下的液滴在容器口的速率不斷變小；當(dāng)液滴在容器QV口的速率為零時，不能進入容器，容器的電量停止增加，容器達到最高電勢設(shè)容器的最大電量為，則有MAXQ3MAX220QHRGHRK由此得4MAXGHQKQ容器的最高電勢為5MAXAXQVKR由4和5式得6MAXGHRVQ【評分標準】本題20分1式6分，2式2分，3式4分，4式2分，5式3分，6式3分【五】（25分）平行板電容器兩極板分別位于的平2DZ面內(nèi)，電容器起初未被充電整個裝置處于均勻磁場中，磁感應(yīng)強度大小為，方向沿軸負方向，如圖所示BX1在電容器參考系中只存在磁場；而在以沿Y軸正方向的S恒定速度（這里表示為沿X、Y、Z軸正方向的0,V0,V速度分量分別為0、0，以下類似）相對于電容器運動的參考系中，可能既有電場又有磁場試在非相對論情形下，從伽利略速S,XYZE,XYZB度變換，求出在參考系中電場和磁場的表達式已知電荷量和作用在物體SZZ上的合力在伽利略變換下不變2現(xiàn)在讓介電常數(shù)為的電中性液體（絕緣體）在平行板電容器兩極板之間勻速流動，流速大小為，方向沿軸正方向在相對液體靜止的參考系（即相對于電容器運動的參考系）中，由于液VYS體處在第1問所述的電場中，其正負電荷會因電場力作用而發(fā)生相對移動（即所謂極化,XYZE效應(yīng)），使得液體中出現(xiàn)附加的靜電感應(yīng)電場，因而液體中總電場強度不再是，而是,XYZE，這里是真空的介電常數(shù)這將導(dǎo)致在電容器參考系中電場不再為零試求電容0,XYZE0S器參考系中電場的強度以及電容器上、下極板之間的電勢差（結(jié)果用、或（和）S0VB表出）D【參考解答】1一個帶電量為的點電荷在電容器參考系中的速度為，在運動的參考系中的速度QS,XYZUS為在參考系中只存在磁場，因此這個點電荷在參考系中所受,XYZUS,0XYZB磁場的作用力為1,XYZZFQUB在參考系中可能既有電場又有磁場，因此點電荷在參考系中所受電場S,XYZE,XYZQS和磁場的作用力的合力為2,XXYZYYXZZXYFQEUB兩參考系中電荷、合力和速度的變換關(guān)系為3,0XYZXYZQFFUUV由1、2、3式可知電磁場在兩參考系中的電場強度和磁感應(yīng)強度滿足4,XYZYXZZXYYEBUUV它們對于任意的都成立，故,XYZU5,0,XYZEBBV可見兩參考系中的磁場相同，但在運動的參考系中卻出現(xiàn)了沿Z方向的勻強電場S2現(xiàn)在，電中性液體在平行板電容器兩極板之間以速度勻速運動電容器參考系中的磁場0,VS會在液體參考系中產(chǎn)生由5式中第一個方程給出的電場這個電場會把液體極化，使得液體中S的電場為60,XYZEBV為了求出電容器參考系中的電場，我們再次考慮電磁場的電場強度和磁感應(yīng)強度在兩個參考系之S間的變換，從液體參考系中的電場和磁場來確定電容器參考系中的電場和磁場考慮一帶電量S為的點電荷在兩參考系中所受的電場和磁場的作用力在液體參考系中，這力如2Q,XYZF式所示它在電容器參考系中的形式為S7,XXYZYYXZZXYFQEUB利用兩參考系中電荷、合力和速度的變換關(guān)系3以及6式，可得80,XYZYXZZXYYEUBUBV對于任意的都成立，故,XYZU90,1,XYZEBV可見，在電容器參考系中的磁場仍為原來的磁場，現(xiàn)由于運動液體的極化，也存在電場，電場強S度如9中第一式所示注意到9式所示的電場為均勻電場，由它產(chǎn)生的電容器上、下極板之間的電勢差為10ZVED由9式中第一式和10式得1101BV【評分標準】本題25分第1問12分，1式1分，2式3分，3式3分，4式3分，5式2分；第2問13分，6式1分，7式3分，8式3分，9式2分，10式2分，11式2分【六】（15分）溫度開關(guān)用厚度均為的鋼片和青銅片作感02M溫元件；在溫度為時，將它們緊貼，兩端焊接在一起，成為等20C長的平直雙金屬片若鋼和青銅的線膨脹系數(shù)分別為/度和510/度當(dāng)溫度升高到時，雙金屬片將自動彎成圓弧形，52011如圖所示試求雙金屬片彎曲的曲率半徑忽略加熱時金屬片厚度的變化【參考解答】設(shè)彎成的圓弧半徑為，金屬片原長為，圓弧所對的圓心角為，鋼和青銅的線膨脹系數(shù)分別為RL和，鋼片和青銅片溫度由升高到時的伸長量分別為和對于鋼12120CT210CT1L2片11DRL212LT式中，對于青銅片02MD32DRL421LT聯(lián)立以上各式得521210MRD【評分標準】本題15分1式3分，2式3分，3式3分，4式3分，5式3分【七】（20分）一斜劈形透明介質(zhì)劈尖，尖角為，高為今以尖角頂點為坐標原點，建立坐標H系如圖A所示；劈尖斜面實際上是由一系列微小臺階組成的，在圖A中看來，每一個小臺階的前側(cè)面與XZ平面平行，上表面與YZ平面平行劈尖介質(zhì)的折射率N隨而變化，其中常X1NXB數(shù)一束波長為的單色平行光沿軸正方向照射劈尖；劈尖后放置一薄凸透鏡，在劈尖與薄0BX凸透鏡之間放一檔板，在檔板上刻有一系列與方向平行、沿方向排列的透光狹縫，如圖B所ZY示入射光的波面（即與平行入射光線垂直的平面）、劈尖底面、檔板平面都與軸垂直，透鏡主X光軸為軸要求通過各狹縫的透射光彼此在透鏡焦點處得到加強而形成亮紋已知第一條狹縫位X于處；物和像之間各光線的光程相等Y01求其余各狹縫的坐標；Y2試說明各狹縫彼此等距排列能否仍然滿足上述要求HXYZO圖AHXYO圖B【參考解答】1考慮射到劈尖上某值處的光線，計算該光線由到之間的光程將該光線在介Y0XHY質(zhì)中的光程記為，在空氣中的光程記為介質(zhì)的折射率是不均勻的，光入射到介質(zhì)表面時，在12處，該處介質(zhì)的折射率；射到處時，該處介質(zhì)的折射率因折射率隨0X01N1NXBX線性增加，光線從處射到（是劈尖上值處光線在劈尖中傳播的距離）處的光程XXHY與光通過折射率等于平均折射率1111110222NNBH的均勻介質(zhì)的光程相同，即2211H忽略透過劈尖斜面相鄰小臺階連接處的光線（事實上，可通過選擇臺階的尺度和檔板上狹縫的位置來避開這些光線的影響），光線透過劈尖后其傳播方向保持不變，因而有321H于是42121YHB由幾何關(guān)系有51TANH故62TBY從介質(zhì)出來的光經(jīng)過狹縫后仍平行于軸，狹縫的值應(yīng)與對應(yīng)介質(zhì)的值相同，這些平行光線會XY聚在透鏡焦點處對于處，由上式得0Y70H處與處的光線的光程差為82TANBYY由于物像之間各光線的光程相等，故平行光線之間的光程差在通過透鏡前和會聚在透鏡焦點處時保持不變；因而8式在透鏡焦點處也成立為使光線經(jīng)透鏡會聚后在焦點處彼此加強，要求兩束光的光程差為波長的整數(shù)倍，即92TAN,1,23BYK由此得10COT,COTKYAKBB除了位于處的狹縫外，其余各狹縫對應(yīng)的坐標依次為Y0Y11,23,4A2各束光在焦點處彼此加強，并不要求11中各項都存在將各狹縫彼此等距排列仍可能滿足上述要求事實上，若依次取，其中為任意正整數(shù)，則,4