1、1982年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理科）一（本題滿分6分）填表：函 數(shù)使函數(shù)有意義的x的實(shí)數(shù)范圍102R3R4-1,15(0,+）6R解：見(jiàn)上表二（本題滿分9分）1求（-1+i)20展開(kāi)式中第15項(xiàng)的數(shù)值;2求的導(dǎo)數(shù)解：1.第15項(xiàng)T15=2.三（本題滿分9分） Y 1 X O Y 1 O X 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，下列方程表示什么曲線？畫(huà)出它們的圖形12解：1.得2x-3y-6=0圖形是直線2.化為圖形是橢圓四（本題滿分12分）已知圓錐體的底面半徑為R，高為H求內(nèi)接于這個(gè)圓錐體并且體積最大的圓柱體的高h(yuǎn)（如圖） A D c H h B E O 2R 解：設(shè)圓柱體半徑為r高為h由ACD

2、AOB得由此得圓柱體體積由題意，Hh0，利用均值不等式，有（注：原“解一”對(duì)h求導(dǎo)由駐點(diǎn)解得）五（本題滿分15分）（要寫(xiě)出比較過(guò)程）解一：當(dāng)1時(shí)，解二：六（本題滿分16分） A M P（，） X O N B 如圖：已知銳角AOB=2內(nèi)有動(dòng)點(diǎn)P，PMOA，PNOB，且四邊形PMON的面積等于常數(shù)c2今以O(shè)為極點(diǎn)，AOB的角平分線OX為極軸，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程，并說(shuō)明它表示什么曲線解：設(shè)P的極點(diǎn)坐標(biāo)為（，）POM=-，NOM=+，OM=cos(-),PM=sin(-),ON=cos(+),PN=sin(+),四邊形PMON的面積這個(gè)方程表示雙曲線由題意，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線右面一支在AOB

3、內(nèi)的一部分七（本題滿分16分）已知空間四邊形ABCD中AB=BC，CD=DA，M，N，P，Q分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)（如圖）求證MNPQ是一個(gè)矩形 B M R A N Q D K S P C 證：連結(jié)AC，在ABC中，AM=MB，CN=NB，MNAC在ADC中，AQ=QD，CP=PD，QPACMNQP同理，連結(jié)BD可證MQNPMNPQ是平行四邊形取AC的中點(diǎn)K，連BK，DKAB=BC，BKAC，AD=DC，DKAC因此平面BKD與AC垂直BD在平面BKD內(nèi)，BDACMQBD，QPAC，MQQP，即MQP為直角故MNPQ是矩形八（本題滿分18分） Y x2=2qy y2=2px A1

4、 O A2 A3 X 拋物線y2=2px的內(nèi)接三角形有兩邊與拋物線x2=2qy相切，證明這個(gè)三角形的第三邊也與x2=2qy相切解：不失一般性，設(shè)p0,q0.又設(shè)y2=2px的內(nèi)接三角形頂點(diǎn)為A1（x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)因此y12=2px1，y22=2px2 ，y32=2px3其中y1y2 , y2y3 , y3y1 .依題意，設(shè)A1A2，A2A3與拋物線x2=2qy相切，要證A3A1也與拋物線x2=2qy相切因?yàn)閤2=2qy在原點(diǎn)O處的切線是y2=2px的對(duì)稱軸，所以原點(diǎn)O不能是所設(shè)內(nèi)接三角形的頂點(diǎn)即（x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，都不能是（0，0

5、）;又因A1A2與x2=2qy相切，所以A1A2不能與Y軸平行，即x1x2 , y1-y2,直線A1A2的方程是同理由于A2A3與拋物線x2=2qy相切，A2A3也不能與Y軸平行，即x2x3, y2-y3,同樣得到由（1）（2）兩方程及y20,y1y3,得y1+y2+y3=0.由上式及y20,得y3-y1，也就是A3A1也不能與Y軸平行今將y2=-y1-y3代入（1）式得：(3)式說(shuō)明A3A1與拋物線x2=2qy的兩個(gè)交點(diǎn)重合，即A3A1與拋物線x2=2qy相切所以只要A1A2，A2A3與拋物線x2=2qy相切，則A3A1也與拋物線x2=2qy相切九（附加題，本題滿分20分，計(jì)入總分）已知數(shù)列和數(shù)列其中1用p,q,r,n表示bn，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明;2求解：1.1=p, n=pn-1,n=pn.又b1=q, b2=q1+rb1=q(p+r), b3=q2+rb2=q(p2+