1、第8章 假設(shè)檢驗(yàn)與方差分析【引例】重慶啤酒股份有限公司（以下簡(jiǎn)稱(chēng)重慶啤酒）于1990年代初斥巨資開(kāi)始乙肝新藥的研發(fā)，其股票被視作“生物醫(yī)藥”概念股受到市場(chǎng)熱捧。尤其是20102011年的兩年間，在上證指數(shù)大跌1/3的背景下，重慶啤酒股價(jià)卻從23元左右飆升最高至83.12元，但公司所研制新藥的主要療效指標(biāo)的初步統(tǒng)計(jì)結(jié)果于2011年12月8日披露后，股價(jià)連續(xù)跌停，12月22日以28.45元報(bào)收后停牌。2012年1月10日重慶啤酒公告詳細(xì)披露了有關(guān)研究結(jié)論，復(fù)牌后股價(jià)又遭遇連續(xù)數(shù)日下跌，1月19日跌至20.16元。此公告明確告知：“主要療效指標(biāo)方面，意向性治療人群的安慰劑組與 600g組，及安慰劑組

2、與PA-44 900g組之間，HBeAg/抗HBe 血清轉(zhuǎn)換在統(tǒng)計(jì)意義上均無(wú)差異”。通俗地說(shuō)，用藥與不用藥（安慰劑組）以及用藥多與少（900g組與600g組），都沒(méi)有明顯差異，這意味著該公司研制的乙肝新疫苗無(wú)效。有關(guān)數(shù)據(jù)如表8.1所示：表8.1 乙肝新疫苗的應(yīng)答率統(tǒng)計(jì)人數(shù)（人）應(yīng)答人數(shù)（人）應(yīng)答率（%）安慰劑組1173328.2PA-44 600g組1203630.0PA-44 900g組1173429.1注：PA-44為治療用（合成肽）乙型肝炎疫苗簡(jiǎn)稱(chēng)。上表數(shù)據(jù)顯示，兩個(gè)用藥組的應(yīng)答率都高于安慰劑組的應(yīng)答率，但為什么說(shuō)“在統(tǒng)計(jì)意義上均無(wú)差異”？為什么說(shuō)這個(gè)結(jié)論表示乙肝新疫苗無(wú)效？什么叫“在統(tǒng)

3、計(jì)意義上無(wú)差異”？如何根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出統(tǒng)計(jì)意義上有無(wú)差異的判斷？ 解答這些問(wèn)題就需要本章所要介紹的假設(shè)檢驗(yàn)?，F(xiàn)實(shí)中，人們經(jīng)常需要利用樣本信息來(lái)判斷有關(guān)總體特征的某個(gè)命題是真還是偽，或?qū)δ硞€(gè)（些）因素的影響效應(yīng)是否顯著作出推斷，所以假設(shè)檢驗(yàn)和方差分析有著廣泛的應(yīng)用。例如，在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，判斷某種新藥是否比舊藥更有效；在工業(yè)生產(chǎn)中，根據(jù)某批零件抽樣檢查的信息來(lái)判斷整批零件的質(zhì)量是否符合規(guī)格要求；在流通領(lǐng)域，鑒別產(chǎn)品顏色是否對(duì)銷(xiāo)售量有顯著影響等等。這些分析研究都離不開(kāi)假設(shè)檢驗(yàn)或方差分析。假設(shè)檢驗(yàn)與方差分析的具體方法很多，研究目的和背景條件不同，就需采用不同的方法。本教材介紹假設(shè)檢驗(yàn)與方差分析的基本原

4、理和一些基本方法。但通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，理解了有關(guān)概念和基本思想，對(duì)更為復(fù)雜的檢驗(yàn)結(jié)果也不難作出基本的判斷和解讀。本章小結(jié)1.假設(shè)檢驗(yàn)是基于小概率原理的一種統(tǒng)計(jì)推斷方法，針對(duì)待檢驗(yàn)的原假設(shè)和備擇假設(shè)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布是檢驗(yàn)的理論基礎(chǔ)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值及P值是作出檢驗(yàn)結(jié)論的依據(jù)。檢驗(yàn)結(jié)論可能犯的錯(cuò)誤有兩類(lèi)，它們的概率和此消彼長(zhǎng)。2.參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)主要包括總體均值、總體方差和總體比例的檢驗(yàn)。本章所介紹的檢驗(yàn)方法有Z檢驗(yàn)、t檢驗(yàn)、檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)等等。3. 一個(gè)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)和兩個(gè)總體參數(shù)之差（或比）的檢驗(yàn)，其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量不同，要注意它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。4.單因素方差分析法從形式上看是對(duì)多個(gè)總體均值

5、相等性的一種F檢驗(yàn)，實(shí)質(zhì)上是研究一個(gè)定性變量對(duì)一個(gè)定量變量有無(wú)顯著影響?；靖拍钪饕邢到y(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差、組內(nèi)平方和、組間平方和、組內(nèi)方差、組間方差等。方差分析法的基本思想是通過(guò)觀察組間方差與組內(nèi)方差之比（F統(tǒng)計(jì)量）是否顯著偏大來(lái)判斷有無(wú)系統(tǒng)誤差的存在，從而檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否相等。5. 假設(shè)檢驗(yàn)和方差分析的計(jì)算可借助于EXCEL或SPSS等軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)。基本知識(shí)梳理基本知識(shí)點(diǎn)含義或公式原假設(shè)H0與備擇假設(shè)H1原假設(shè)或稱(chēng)零假設(shè)（記為H0）是有待根據(jù)樣本信息來(lái)驗(yàn)證的、關(guān)于總體特征的某個(gè)命題；與之對(duì)立的假設(shè)稱(chēng)為備擇假設(shè)（記為H1），意即預(yù)備在拒絕原假設(shè)時(shí)所選擇的假設(shè)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量用于檢驗(yàn)原假設(shè)是否成立

6、的統(tǒng)計(jì)量，它反映樣本的信息，不含未知總體參數(shù)但要包含待檢驗(yàn)的參數(shù)假設(shè)值。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的概率分布是假設(shè)檢驗(yàn)的理論依據(jù)。檢驗(yàn)法假設(shè)檢驗(yàn)的具體方法通常以檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從的分布來(lái)命名。如Z檢驗(yàn)（正態(tài)檢驗(yàn)）就是指檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。常用的檢驗(yàn)法還有t檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)、2檢驗(yàn)等。小概率原理發(fā)生概率很小的事件在一次試驗(yàn)中是不應(yīng)該發(fā)生的。顯著性水平事先對(duì)“小概率”所規(guī)定的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，由研究者根據(jù)具體情況確定，常常取0.05，也可取0.01, 0.10等。第一類(lèi)錯(cuò)誤（棄真）原假設(shè)H0為真時(shí)誤認(rèn)為原假設(shè)不真，即拒絕了正確的原假設(shè)。犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率為a (即顯著性水平)。第二類(lèi)錯(cuò)誤（取偽）原假設(shè)H0不真時(shí)誤認(rèn)為原

7、假設(shè)為真，即未拒絕錯(cuò)誤的原假設(shè)。犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率用b表示。P值（P-value）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量等于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值及更背離原假設(shè)情況的概率。P值越小，拒絕原假設(shè)的信心越充足。拒絕域與一定顯著性水平相對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取值區(qū)域，位于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布的尾端。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值落入該區(qū)域時(shí)，就應(yīng)按檢驗(yàn)規(guī)則拒絕原假設(shè)H0，反之則不能拒絕原假設(shè)。臨界值原假設(shè)的拒絕區(qū)域和不能拒絕區(qū)域的分界點(diǎn)。雙側(cè)（雙尾）檢驗(yàn)原假設(shè)的拒絕域在檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布曲線的雙側(cè)（雙尾）。若以表示待檢驗(yàn)的總體參數(shù)，0表示假設(shè)值，雙側(cè)檢驗(yàn)的假設(shè)形式為H0：0；H1：0。單側(cè)（單尾）檢驗(yàn)拒絕域在檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布的單側(cè)（單尾），又分左側(cè)檢驗(yàn)和右側(cè)檢驗(yàn)。左側(cè)檢驗(yàn)

8、的拒絕域在左側(cè)，其假設(shè)形式為：H0：0（或0）；H1：0。右側(cè)檢驗(yàn)的拒絕域在右側(cè)，其假設(shè)形式為：H0：0（或0）；H1：0。方差分析檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否存在顯著性差異（以鑒別所考察因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果是否存在顯著影響或效應(yīng)）的統(tǒng)計(jì)推斷方法。水平（處理）所考察因素在隨機(jī)試驗(yàn)中的各種不同狀態(tài)或不同類(lèi)別?？傠x差平方和(SST)，反映樣本的全部觀測(cè)值的差異?？傠x差平方和組內(nèi)平方和組間平方和組內(nèi)平方和（SSE）與組內(nèi)方差（MSE）組內(nèi)平方和，反映相同水平下樣本觀測(cè)值之間由于隨機(jī)波動(dòng)而引起的差異，也稱(chēng)為誤差平方和。SSE/（n-k）=MSE，稱(chēng)為組內(nèi)方差。組間平方和（SSA）與組間方差（MSA），反映不同水平下

9、樣本均值之間的差異，它既包含隨機(jī)誤差，也包含系統(tǒng)誤差。SSA/（n-k）=MSA，稱(chēng)為組間方差。 檢驗(yàn)方法一覽表待檢驗(yàn)的總體參數(shù)原假設(shè)前提條件檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量H0成立時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布單個(gè)總體均值正態(tài)總體，方差已知正態(tài)總體，方差未知t(n-1)方差2=02正態(tài)總體成數(shù)P=P0大樣本或 兩個(gè)總體均值=D0正態(tài)總體，方差已知正態(tài)總體，方差未知但相等t(n1+n2-2)正態(tài)總體， 成對(duì)樣本t(n-1)方差12=22正態(tài)總體F(n1-1,n2-1)成數(shù)P1P2=D0兩個(gè)都是大樣本多總體均值i全相等隨機(jī)項(xiàng)ij獨(dú)立ij N(0,2)F(k-1,n-k)練習(xí)題一、單項(xiàng)選擇題（在4個(gè)備選答案中選出1個(gè)正確答案）1.

10、當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值未落入原假設(shè)的拒絕域時(shí)，表示（ ）A 可以放心地接受原假設(shè) B沒(méi)有充足的理由否定原假設(shè)C 沒(méi)有充足的理由否定備擇假設(shè) D 備擇假設(shè)是錯(cuò)誤的2.在其他條件不變的情況下，增加樣本量，犯兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率會(huì)（ ）A 都減小 B 都增大 C都不變 D一個(gè)增大一個(gè)減小3.某企業(yè)考慮從外地緊急采購(gòu)一批加工原料，若這批原料的質(zhì)量達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)，企業(yè)可盈利10萬(wàn)元，但是如果這批原料質(zhì)量達(dá)不到標(biāo)準(zhǔn)，企業(yè)將損失25萬(wàn)元。該企業(yè)面臨判斷：H0:原料質(zhì)量達(dá)標(biāo)；H1：原料質(zhì)量未達(dá)標(biāo)。對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，下列說(shuō)法不正確的是（ ）A 拒絕購(gòu)買(mǎi)達(dá)標(biāo)原料屬于犯類(lèi)錯(cuò)誤 B 購(gòu)進(jìn)未達(dá)標(biāo)原料屬于犯類(lèi)錯(cuò)誤C 這個(gè)檢驗(yàn)中

11、只允許犯第一類(lèi)錯(cuò)誤 D a 不宜太小4.若假設(shè)檢驗(yàn)為左側(cè)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為，由樣本計(jì)算的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值為，則檢驗(yàn)的P值等于（ ） A Pt B Pt C 2 Pt D 1-Pt1 D H0：=100，H1：100E H0：1，H1：=1 2.某機(jī)場(chǎng)的塔臺(tái)面臨一個(gè)決策問(wèn)題：如果熒幕上出現(xiàn)一個(gè)小的不規(guī)則點(diǎn)，并逐漸接近飛機(jī)時(shí)，工作人員必須作出判斷：H0：一切正常，那只是熒幕上受到一點(diǎn)干擾罷了；H1：可能會(huì)發(fā)生碰撞意外。在這個(gè)問(wèn)題中（ ）A.錯(cuò)誤地發(fā)出警報(bào)屬于第一類(lèi)錯(cuò)誤 B.錯(cuò)誤地發(fā)出警報(bào)屬于第二類(lèi)錯(cuò)誤C.錯(cuò)誤地發(fā)出警報(bào)的概率為 D.錯(cuò)誤地發(fā)出警報(bào)的概率為E . 的數(shù)值宜小3.隨機(jī)抽取200個(gè)家庭，測(cè)得擁

12、有汽車(chē)的家庭占26.5%，若要求檢驗(yàn)總體這一比率是否超過(guò)了25%，下列陳述中正確的有（ ）A.此檢驗(yàn)應(yīng)為雙側(cè)檢驗(yàn) B.此檢驗(yàn)應(yīng)為單側(cè)檢驗(yàn)C. D.E.4.若采用方差分析法來(lái)推斷某個(gè)因素對(duì)所考察的指標(biāo)有無(wú)顯著影響，該因素有K個(gè)水平，樣本容量為n，則下列表述中正確的有（ ） A檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量組間方差/組內(nèi)方差 B組間方差組間平方和/（K-1）C檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量組間平方和組內(nèi)平方和 D組間方差組間平方和/（n-K）E檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布為F（K-1，n-K）5.運(yùn)用單因素方差分析法，則下列表述中正確的有（ ）A組間方差顯著大于組內(nèi)方差時(shí)，該因素對(duì)所考察指標(biāo)的影響顯著B(niǎo)組內(nèi)方差顯著大于組間方差時(shí)，該因素對(duì)所考察指標(biāo)

13、的影響顯著C拒絕原假設(shè)時(shí)，可推斷各水平的效應(yīng)完全沒(méi)有相同的D拒絕原假設(shè)時(shí)，可推斷各水平的效應(yīng)是不完全相同的E各水平下的樣本單位數(shù)可以相等也可以不等三、判斷分析題（判斷正誤，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由）1.有個(gè)研究者猜測(cè)，某貧困地區(qū)失學(xué)兒童中女孩數(shù)是男孩數(shù)的3倍以上（即男孩數(shù)不足女孩數(shù)的1/3）。為了對(duì)他的這一猜測(cè)進(jìn)行檢驗(yàn)，擬隨機(jī)抽取50個(gè)失學(xué)兒童構(gòu)成樣本。那么原假設(shè)可以為：H0：P1/3。2.對(duì)某一總體均值進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，H0：100，H1：100。檢驗(yàn)結(jié)論是：在1%的顯著性水平下，應(yīng)拒絕H0。據(jù)此可認(rèn)為：（1）對(duì)原假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)的P值小于1%；（2）總體均值的真實(shí)值與100有很大差異。3.假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)

14、的主要區(qū)別之一是：在假設(shè)檢驗(yàn)中，人們更關(guān)注小概率事件是否發(fā)生，而區(qū)間估計(jì)立足于以大概率進(jìn)行推斷。4.其他條件不變的情況下，增大樣本量n對(duì)統(tǒng)計(jì)推斷產(chǎn)生的影響有：（1）使置信區(qū)間的寬度增加；（2）假設(shè)檢驗(yàn)犯兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率減?。唬?）假設(shè)檢驗(yàn)的P值增大。四、簡(jiǎn)答題1.采用某種新生產(chǎn)方法需要追加一定的投資。但若根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)判定該新生產(chǎn)方法能夠降低產(chǎn)品成本，則這種新方法將正式投入使用。（1）如果目前生產(chǎn)方法的平均成本為350元，試建立合適的原假設(shè)和備擇假設(shè)。（2）對(duì)你所提出的上述假設(shè)，發(fā)生第一、二類(lèi)錯(cuò)誤分別會(huì)導(dǎo)致怎樣的后果？2.對(duì)一個(gè)總體的方差及兩個(gè)總體方差之比進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，分別應(yīng)如何構(gòu)建檢

15、驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量？3.某研究報(bào)告指出，用于治療慢性萎縮性胃炎的傳統(tǒng)藥物的有效率只有85%，而通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)證明，最新研制的一種藥物的有效率顯著提高。對(duì)于這個(gè)結(jié)論，人們至少還希望了解哪些相關(guān)信息？4.簡(jiǎn)述方差分析的基本思想。五、計(jì)算題1.有一種電子元件，要求其使用壽命不得低于1000小時(shí)。已知這種元件的使用壽命服從標(biāo)準(zhǔn)差為100小時(shí)的正態(tài)分布?，F(xiàn)從一批元件中隨機(jī)抽查了25件，測(cè)得平均使用壽命為972小時(shí)。（1）試在0.05的顯著性水平下，檢驗(yàn)這批電子元件是否合格；（2）假如上述樣本平均壽命是對(duì)50件樣品檢查的結(jié)果，其他條件不變，判斷這批電子元件是否合格。2.根據(jù)長(zhǎng)期正常生產(chǎn)的資料可知，某廠所產(chǎn)維尼綸的纖度

16、服從正態(tài)分布，其方差為0.0025?，F(xiàn)從某日產(chǎn)品中隨機(jī)抽出20根,測(cè)得樣本方差為0.0042。試判斷該日纖度的波動(dòng)與平時(shí)有無(wú)顯著差異（取=0.10）?3.某化肥廠采用自動(dòng)包裝機(jī)包裝化肥。正常工作狀態(tài)下，每包重量服從均值為50kg、標(biāo)準(zhǔn)差為0.3 kg的正態(tài)分布。從某日生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取9包，測(cè)得重量分別為：50.4,50.1,49.5,49.3,50.3,50.2,49.8,50.1,49.2。要求分別在下列兩種情況下，檢驗(yàn)該日自動(dòng)包裝機(jī)的工作是否正常（顯著性水平為0.05）：（1）方差穩(wěn)定不變；（2）方差有可能不穩(wěn)定。4.某種疾病傳統(tǒng)治療方法的治愈率為70。最近研究出一種新療法。對(duì)200名

17、患者試用這種新療法后，治愈了152人。試問(wèn)這一試驗(yàn)數(shù)據(jù)能否說(shuō)明新療法確實(shí)比傳統(tǒng)方法更加有效？以0.10的顯著性水平進(jìn)行檢驗(yàn)。5.某企業(yè)生產(chǎn)工人分為早班和晚班兩個(gè)班次。上月質(zhì)量檢驗(yàn)的結(jié)果是，從早班抽查產(chǎn)品100只，91只合格；從晚班抽查產(chǎn)品150只，128只合格?？煞裾J(rèn)為早班和晚班的生產(chǎn)質(zhì)量有顯著差異（顯著性水平為5）。6.某制鞋廠為了比較兩種材料制作的鞋跟的質(zhì)量?jī)?yōu)劣，隨機(jī)選擇了10人，讓他們每人試穿一雙鞋跟厚度相同的新鞋，其中一只鞋用材料A制作，另一個(gè)鞋用材料B制作，試穿一個(gè)月后測(cè)量每人所穿的兩只鞋的鞋跟厚度，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：試驗(yàn)者編號(hào)12345678910材料A3.83.54.143.14.7

18、3.94.23.73.5材料B3.53.14.33.83.34.53.33.73.53.4設(shè)鞋跟厚度服從正態(tài)分布，試問(wèn)0.05的顯著性水平下，兩種材料制作的鞋跟質(zhì)量有無(wú)顯著性差別？7.設(shè)有A,B,C,D四個(gè)企業(yè)生產(chǎn)同類(lèi)產(chǎn)品，某機(jī)構(gòu)為了研究這四個(gè)企業(yè)的日均銷(xiāo)售量是否相同，進(jìn)行了隨機(jī)的抽樣調(diào)查。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，利用EXCEL的單因素方差分析工具所得到的輸出結(jié)果如下(=0.05)：SUMMARY組觀測(cè)數(shù)求和平均方差A(yù)73575123.7B63365621.2C52505014.9D53306618.5方差分析差異源SSdfMSFP-valueF crit組間845.223.31E-053.127組內(nèi)總計(jì)1207.22要求：（1）對(duì)這四個(gè)企業(yè)銷(xiāo)售量的樣本信息作一簡(jiǎn)要的分析說(shuō)明； （2）填入空格欄的數(shù)值；（3）給出檢驗(yàn)結(jié)論并說(shuō)明其依據(jù)是什么。8.某訓(xùn)練機(jī)構(gòu)將20個(gè)學(xué)員隨機(jī)分為4組，分別嘗