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1、第三節(jié) 曲面方程與曲線方程,一、曲面方程 二、曲線方程 三、母線平行于坐標軸的柱面方程 四、一坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面,一 、曲面方程,定義7.3 若曲面上每一點的坐標都滿足某方程，而不在此曲面上的點都不滿足這個方程，則稱這個方程是所給曲面的方程,三元方程 F(x,y,z)=0,總表示一個空間曲面,例1 求與定點M0(x0,y0,z0)距離等于R的幾何軌跡的方程,即,兩端平方得,表示以點M0(x0,y0,z0)為中心,以R為半徑的球面,例2 研究方程,所表示的曲面方程的幾何特性,解 原方程配方得,若,記,則所給方程表示以點 半徑為R的球面,若,則所給方程化為,這時,即表示一個點 可稱其為點球,

2、若,則所給方程無圖形,可稱其為虛球,二、曲線方程,空間兩曲面相交,可以得到一條曲線.設 F1(x,y,z)=0 和 F2(x,y,z)=0,為空間兩曲面的方程,若它們相交得到一條曲線L,則L上任一點的坐標必定滿足這兩個曲面方程.反過來,同時滿足兩個曲面方程的點也必定在它們的交線L上.因此空間曲線L的方程可以表示為,常稱之為曲線的一般式方程,三、母線平行與坐標軸的柱面方程,研究方程F(x,y)=0所表示的曲面的幾何特性,在Oxy坐標平面上F(x,y)=0表示一條曲線L;在空間直角坐標系中, F(x,y)=0表示一個曲面,在(Oxy平面上)曲線L上任取一點M0(x,y,0),過該點作平行于z軸的直

3、線.該直線上任取一點M(x,y,z),則點M的坐標必定滿足方程F(x,y)=0.由于M0的任意性可以理解:將上述平行于z軸的直線沿L移動,并始終保持該直線與z軸平行,所得的曲面上的點,必定滿足F(x,y)=0.滿足這種特性的曲面,稱為柱面,相應的平面曲線L稱為直線,平行于z軸而沿L移動的直線稱為母線,特別地,如果準線L為Oxy平面上的二次曲線,則稱F(x,y)=0為二次柱面,為圓柱面,為橢圓柱面,為雙曲柱面,為拋物柱面,四、以坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面,若給定Oyz平面上的一條曲線L,將L繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面,稱z軸為旋轉(zhuǎn)軸,當曲線L繞z軸旋轉(zhuǎn)時,點M0也繞z軸旋轉(zhuǎn)到點M,這時z=z0保持不變,且點M到z軸距離恒等于|y0|.于是點M的坐標滿足,由于M0(0,y0,z0)在L上,因此,可得點M的坐標應滿足的方程為,為曲線 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程,同理,曲線 繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所

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