1、上頁 下頁 結(jié)束 3 用系數(shù)判別二次曲線類型用系數(shù)判別二次曲線類型3.1 二次曲線的不變量、半不變量二次曲線的不變量、半不變量3.2 用不變量法判別二次曲線的類型用不變量法判別二次曲線的類型上頁 下頁 結(jié)束 轉(zhuǎn)軸和移軸轉(zhuǎn)軸和移軸的方法只能在的方法只能在右手直角坐標(biāo)系右手直角坐標(biāo)系中中判斷二次方程表示的曲線類型判斷二次方程表示的曲線類型. 對于在對于在一般仿射一般仿射坐標(biāo)系坐標(biāo)系中的方程中的方程 F (x, y) = 0 表示的二次曲線表示的二次曲線, 必必須先確定它在須先確定它在某個右手直角坐標(biāo)系某個右手直角坐標(biāo)系中的方程中的方程 F (x , y ) = 0, 然后按轉(zhuǎn)軸和移軸進(jìn)行判別然后按

2、轉(zhuǎn)軸和移軸進(jìn)行判別. 而而F (x , y ) = 0 是由是由F(x, y) = 0 經(jīng)過從原仿射坐經(jīng)過從原仿射坐 標(biāo)系到新右手直角坐標(biāo)系的標(biāo)系到新右手直角坐標(biāo)系的仿射坐標(biāo)變換仿射坐標(biāo)變換得到的得到的. 如果如果不了解原來仿射坐標(biāo)系的度量參數(shù)不了解原來仿射坐標(biāo)系的度量參數(shù), 就不能就不能確定仿射坐標(biāo)變換公式確定仿射坐標(biāo)變換公式, 也就得不到也就得不到F (x , y ) = 0.3 用系數(shù)判別二次曲線類型用系數(shù)判別二次曲線類型上頁 下頁 結(jié)束 本節(jié)介紹一種本節(jié)介紹一種直接用方程的系數(shù)直接用方程的系數(shù)(坐標(biāo)系不限坐標(biāo)系不限) 來來判別二次曲線類型判別二次曲線類型的方法的方法. 它用到的方程系數(shù)

3、它用到的方程系數(shù) 確定的函數(shù)確定的函數(shù) I1, I2, I3 等等, 稱為稱為不變量不變量. 這種方法也這種方法也稱為稱為不變量法不變量法.3 用系數(shù)判別二次曲線類型用系數(shù)判別二次曲線類型上頁 下頁 結(jié)束 定義定義: 曲線曲線方程系數(shù)方程系數(shù)的一個確定的的一個確定的函數(shù)函數(shù), 如果如果在在任意一個直角坐標(biāo)變換下它的函數(shù)值不變?nèi)我庖粋€直角坐標(biāo)變換下它的函數(shù)值不變, 就稱就稱 這個這個函數(shù)函數(shù)是是這條曲線的一個正交不變量這條曲線的一個正交不變量, 簡稱簡稱不變量不變量. 不變量既然與直角坐標(biāo)系的選擇無關(guān)不變量既然與直角坐標(biāo)系的選擇無關(guān), 于是它于是它就就反映了曲線本身的幾何性質(zhì)反映了曲線本身的幾何

4、性質(zhì). 因此因此找出曲線的找出曲線的 不變量不變量是解析幾何研究中的一個重要課題是解析幾何研究中的一個重要課題. 3.1 二次曲線的二次曲線的(半半)不變量不變量 上頁 下頁 結(jié)束 設(shè)在平面仿射坐標(biāo)系中設(shè)在平面仿射坐標(biāo)系中二次曲線的方程二次曲線的方程是是a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2b1x + 2b2y + c = 0 (3.5)其中其中a11, a22, a12不全為零不全為零.記記F(x, y) 是是方程方程(3.5)的左端的二次多項式的左端的二次多項式, 即即 F(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2b1x + 2b2y + c ,

5、設(shè)設(shè) (x, y) 是是 F(x, y) 的二次項的二次項部分部分, 即即 (x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 二次曲線的矩陣表示二次曲線的矩陣表示 3.1 二次曲線的二次曲線的(半半)不變量不變量 上頁 下頁 結(jié)束 利用矩陣的乘法利用矩陣的乘法, 將將F(x, y), (x, y) 分別分別寫成寫成 .),( A yxyxyx0 ,),( A F 11yxyxyx, 221212110aaaaA, cbbbaabaa212221211211A其中其中 3.1 二次曲線的二次曲線的(半半)不變量不變量 上頁 下頁 結(jié)束 設(shè)二次曲線設(shè)二次曲線F(x, y) = 0,

6、作坐標(biāo)變換作坐標(biāo)變換 2222111211dycxcydycxcx(3.14) 得到二次曲線在得到二次曲線在新坐標(biāo)系新坐標(biāo)系下的方程下的方程: F (x , y ) = 0, 其中其中 F (x , y ) = F(c11x +c12y +d1, c21x +c22y + d2) .坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換(3.14)也稱為也稱為可逆線性變量替換可逆線性變量替換. 3.1 二次曲線的二次曲線的(半半)不變量不變量 上頁 下頁 結(jié)束 可逆線性變量替換可逆線性變量替換(3.14) 也可用矩陣表示為也可用矩陣表示為 其中其中 ,C 210ddyxyx或或 . 11yxyxC, 222112110ccccC,

7、 1002222111211dccdccC3.1 二次曲線的二次曲線的(半半)不變量不變量 上頁 下頁 結(jié)束 根據(jù)上面的記號根據(jù)上面的記號, 可得可得 ,),(),( 11yxyxyx ACC FTF (x , y ) 的的二次項部分二次項部分為為 ,),(),( yxyxyx CAC T000 顯然顯然, CTAC 和和 C0TA0C0 都是都是對稱矩陣對稱矩陣, 因此分別因此分別 是是F (x , y ) 和和 (x , y ) 的矩陣的矩陣.3.1 二次曲線的二次曲線的(半半)不變量不變量 上頁 下頁 結(jié)束 設(shè)二次曲線設(shè)二次曲線 F(x, y) = 0 及其二次項及其二次項 (x, y)

8、 的的矩陣分別為矩陣分別為 , cbbbaabaa212221211211A定義定義 I1, I2, I3 如下如下: I1 = a11 + a22 , I2 = |A0| = a11a22 a122 , I3 = |A|. 分別稱為二次曲線分別稱為二次曲線 F(x, y) = 0 的的第一、第二、第一、第二、第三不變量第三不變量., 221212110aaaaA 二次曲線的不變量及其性質(zhì)二次曲線的不變量及其性質(zhì) 3.1 二次曲線的二次曲線的(半半)不變量不變量 上頁 下頁 結(jié)束 命題命題 3.3 設(shè)設(shè) F(x, y) 經(jīng)過經(jīng)過可逆線性變量替換可逆線性變量替換 (3.14) 變?yōu)樽優(yōu)镕 (x

9、, y ) , 以以 I1 , I2 , I3 記記 F (x , y ) = 0 的不變量的不變量, 則則(1) I2 和和 I2 同號同號, I3 和和 I3 同號同號; (2) 如果如果 C0 是正交矩陣是正交矩陣, 則則 Ii = Ii , i = 1, 2, 3. 證明證明: (1) 根據(jù)矩陣乘積的性質(zhì)根據(jù)矩陣乘積的性質(zhì), 有有 |I2 | = |C0TA0C0|= |C0|2I2 因為因為 C0 可逆可逆, 所以所以 |C0| 0, 從而從而 |C0|2 0, 同理可證同理可證 I3 和和 I3 同號同號. = |C0|2|A0| 于是于是 I2 和和 I2 同號同號. = |C0

10、T|A0|C0| 3.1 二次曲線的二次曲線的(半半)不變量不變量 上頁 下頁 結(jié)束 (2) 當(dāng)當(dāng) C0 是正交矩陣時是正交矩陣時, |C| = |C0| = 1, 根據(jù)根據(jù)(1)的證明的證明, 可得可得 I2 = I2 , I3 = I3 . ,cossinsincos 0Ca12 0 時時, 如果如果對于對于 I1, a12 = 0 時只需作移軸時只需作移軸, 顯然有顯然有 I1 = I1 ; 22212211121122121122222122112222122212cossinsincossin)(cossin)(sinsincosaaaaaaaaaaaaC0TA0C0 = 3.1 二

11、次曲線的二次曲線的(半半)不變量不變量 上頁 下頁 結(jié)束 因此因此 如果如果 ,cossinsincos 0CI1 = a11 + a22 = a11 + a22 = I1. 因此因此 I1 = a11 + a22 = a11 + a22 = I1. C0TA0C0 = 22212211122211122211222122112222122212cossinsincossin)(cossin)(sinsincosaaaaaaaaaaaa3.1 二次曲線的二次曲線的(半半)不變量不變量 上頁 下頁 結(jié)束 注注: (1) 命題命題 3.2 (2) 說明經(jīng)過說明經(jīng)過直角坐標(biāo)變換直角坐標(biāo)變換, I1,

12、 I2, I3 保持不變保持不變, 因此它們的確是因此它們的確是不變量不變量. (2) 在在仿射坐標(biāo)變換仿射坐標(biāo)變換下下, I1, I2, I3并不是不變的并不是不變的.命題命題 3.2 (1) 說明說明 I2, I3 保持正負(fù)性不變保持正負(fù)性不變, 而而 I1 的正負(fù)性的正負(fù)性不一定保持不變不一定保持不變. 例如例如: 設(shè)設(shè) F(x, y) = 2x2 y2, 此時此時 I1 = 1, 作仿射坐標(biāo)變換作仿射坐標(biāo)變換 得得 yyxx2F (x , y ) = 2x 2 4y 2, 此時此時 I1 = 2.3.1 二次曲線的二次曲線的(半半)不變量不變量 上頁 下頁 結(jié)束 引理引理 若若F(x,

13、 y) = 0 的的 I2 0, 則則對任何實數(shù)對任何實數(shù)s, t, 有有 I1 (s, t) 0, 其中其中 (x, y) 是是 F(x, y) 的二次項的二次項. 證明證明: 設(shè)設(shè) (x, y) 的矩陣為的矩陣為 , 221212110aaaaA則則 a11a22 a122 = I2 0, 于是于是 3.1 二次曲線的二次曲線的(半半)不變量不變量 上頁 下頁 結(jié)束 = a112s2 + 2a11a12st + a11a22t2 + a11a22s2 + 2a12a22st + a222t2 a112s2 + 2a11a12st + a122t2 + a122s2 + 2a12a22st

14、+ a222t2 = (a11s + a12t) 2 + (a12s + a22t)2 0 .I1 (s, t) = (a11 + a22)(a11s2 + 2a12st + a222t2) 3.1 二次曲線的二次曲線的(半半)不變量不變量 上頁 下頁 結(jié)束 命題命題 3.4 如果二次曲線如果二次曲線 F(x, y) = 0 的的 I2 0, 則則 I1 0, 且作可逆線性變量替換且作可逆線性變量替換(3.14)后所得的后所得的 F (x , y ) 的的 I1 與與 I1 同號同號.證明證明: 因為因為I2 0, 所以所以 a11a22 a122 0, 說明說明 a11, a22 同號同號且

15、且不全為零不全為零, 再根據(jù)再根據(jù) A0 = C0TA0C0 與矩陣乘法的定義與矩陣乘法的定義, 有有 于是于是 I1 = a11 + a22 0. 另外另外, 根據(jù)命題根據(jù)命題3.3, I2 0, 同理說明同理說明 I1 0. 3.1 二次曲線的二次曲線的(半半)不變量不變量 上頁 下頁 結(jié)束 ),(),(221222120221222cccccca AI1I1 = I1 (c11, c21) + I1 (c12, c22) 0. 又因為又因為I1 , I1 都不為零都不為零, ),(),(211121110211111cccccca A所以所以I1I1 0, 即即 I1 , I1 同號同號

16、.于是由引理于是由引理, 3.1 二次曲線的二次曲線的(半半)不變量不變量 上頁 下頁 結(jié)束 注注: 命題命題3.4 說明說明, 二次曲線的二次曲線的不變量不變量 I1 在在 I2 0 的情況下的情況下, 其其正負(fù)性在作可逆線性變量替換時也正負(fù)性在作可逆線性變量替換時也 不會變不會變. I1, I2, I3 在作在作可逆線性變量替換時可逆線性變量替換時的變化規(guī)律的變化規(guī)律:(1) I1, I2, I3 的值的值在任一在任一直角坐標(biāo)變換直角坐標(biāo)變換下不變下不變; (2) I2, I3 的符號的符號在任一在任一仿射坐標(biāo)變換仿射坐標(biāo)變換下不變下不變; (3) 當(dāng)當(dāng) I2 0 時時, I1的符號的符號

17、在任一在任一仿射坐標(biāo)變換仿射坐標(biāo)變換 下不變下不變. 3.1 二次曲線的二次曲線的(半半)不變量不變量 上頁 下頁 結(jié)束 下面再看下面再看乘非零常數(shù)乘非零常數(shù) 時的變化規(guī)律時的變化規(guī)律:當(dāng)當(dāng) 0 時時, I1, I2, I3 的符號不變的符號不變; 當(dāng)當(dāng) 0 0 0 拋物線拋物線 0 = 0 兩條平兩條平行直線行直線 0 一條直線一條直線類型類型拋拋物物型型= 0 0 0 x2 2py = 0 x2 d = 0 (d 0) 0 = 0 x2 d = 0 (d 0 3.1 二次曲線的二次曲線的(半半)不變量不變量 上頁 下頁 結(jié)束 定義定義 設(shè)二次曲線設(shè)二次曲線 F(x, y) = 0 的矩陣為

18、的矩陣為 規(guī)定規(guī)定 K1 = (a11c b12) + (a22c b22), 稱為二次曲線稱為二次曲線 F(x, y) = 0 的的半不變量半不變量. 二次曲線的半不變量及其性質(zhì)二次曲線的半不變量及其性質(zhì) , cbbbaabaa212221211211Acbbacbba22221111 3.1 二次曲線的二次曲線的(半半)不變量不變量 上頁 下頁 結(jié)束 引理引理 當(dāng)當(dāng) I2 = I3 = 0 時時, K1 = 0 r(A) = 1. 證明證明: 因為因為I2 = 0, 即即a11a22 = a122, 則可設(shè)則可設(shè) a12 = ta11, 所以所以 a11, a22 不異號不異號, 且且不都

19、為零不都為零. 從而有從而有 a22 = t2a11, 于是于是cbbbattabtaa21211211111113 Icbbtbbbtaa21121111100 = a11(b2 tb1)2. 不妨設(shè)不妨設(shè) a11 0, 3.1 二次曲線的二次曲線的(半半)不變量不變量 上頁 下頁 結(jié)束 又又 I3 = 0, a11 0, 所以所以 b2 = tb1, 從而從而這樣這樣, 當(dāng)當(dāng) I2 = I3 = 0 時時, A 的的 9 個二階子式個二階子式中中不含不含 c 的的 5 個都為個都為 0, 剩下的剩下的 4 個二階子式個二階子式為為即矩陣即矩陣 A 的的第第1, 2行行(第第1, 2列列)元

20、素對應(yīng)成比例元素對應(yīng)成比例.,cbbacbbacbbacbba1212211222221111 ctbbtbattabtaacbbbaabaa1111121111111212221211211A3.1 二次曲線的二次曲線的(半半)不變量不變量 上頁 下頁 結(jié)束 其中其中.)(cbbat111121 因此因此, 當(dāng)當(dāng) I2 = I3 = 0 時時, K1 = 0 r(A) = 1. cbba2222cbba2112cbba1212于是于是cbbacbba222211111 Kctbtbat11112 ,cbbat11112 ctbbta1111 ,cbbat1111 cbtbta1111 ,cb

21、bat1111 3.1 二次曲線的二次曲線的(半半)不變量不變量 上頁 下頁 結(jié)束 命題命題 3.5 設(shè)二次曲線設(shè)二次曲線F(x, y) = 0 滿足滿足I2 = I3 = 0, 對對其作可逆線性變量替換其作可逆線性變量替換(3.14)后得到后得到F (x , y ) = 0, 設(shè)設(shè)K1 為為F (x , y ) = 0 的半不變量的半不變量, 則則 (1) ;1111IKIK 如果坐標(biāo)變換如果坐標(biāo)變換 (3.14) 的系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣 C0 是正交是正交 矩陣矩陣, 則則 K1 = K1 .證明證明: (1) 作多項式作多項式 ,),(),(11IKFG yxyxG(x, y) = 0 的

22、的不變量不變量 ,00332211 II II II3.1 二次曲線的二次曲線的(半半)不變量不變量 上頁 下頁 結(jié)束 由引理的證明可知由引理的證明可知, 它的它的半不變量半不變量 111111211IKK cbbat )(1111211IKKat )( ,)(01122111 IKKaa 111111111201IKbacbbat )(根據(jù)引理根據(jù)引理, G(x, y) = 0 的矩陣的矩陣 的秩為的秩為 1. A 設(shè)對設(shè)對G (x, y) 作可逆線性變量替換作可逆線性變量替換(3.14)后得到后得到G (x , y ), 則則G (x , y ) 的矩陣的矩陣 的秩為的秩為 1, 從而半不

23、變量從而半不變量 = 0.CACT1K 3.1 二次曲線的二次曲線的(半半)不變量不變量 上頁 下頁 結(jié)束 另一方面另一方面, 由由 可得可得 11IKFG ),(),(yxyx,),(),(11IKFG yxyx于是類似于上面的計算于是類似于上面的計算, 有有 11221111IKKK)(aa ,1111IKIK 從而從而 , 01111 IKIK即即 .1111IKIK (2) 由由(1)與與命題命題3.3 (2) 易得易得. 3.1 二次曲線的二次曲線的(半半)不變量不變量 上頁 下頁 結(jié)束 注注: (1) 因為因為 I2 = 0 時時, I1 0, 且在作可逆線性且在作可逆線性變量替換

24、時它的變量替換時它的正負(fù)性不變正負(fù)性不變, 所以當(dāng)所以當(dāng) I2 = I3 = 0 時時, 可逆線性變量替換不改變半不變量的符號可逆線性變量替換不改變半不變量的符號. (2) 如果如果 F(x, y) 乘非零常數(shù)乘非零常數(shù), 則則半不變量要乘半不變量要乘2, 從而符號不變從而符號不變. 綜合綜合命題命題3.3, 3.4. 3.5 的結(jié)論的結(jié)論, 并觀察二次曲線并觀察二次曲線 的標(biāo)準(zhǔn)方程中不變量的標(biāo)準(zhǔn)方程中不變量 I1, I2, I3 以及半不變量以及半不變量K1的的 符號的變化規(guī)律符號的變化規(guī)律, 我們就可以我們就可以直接利用二次方程直接利用二次方程的系數(shù)判別二次曲線的類型的系數(shù)判別二次曲線的類

25、型. 3.1 二次曲線的二次曲線的(半半)不變量不變量 上頁 下頁 結(jié)束 二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中(半半)不變量的正負(fù)性不變量的正負(fù)性 3.2 用不變量判斷曲線類型用不變量判斷曲線類型 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 1I2I3I圖形圖形 12222 byax+ + 橢圓橢圓 02222 byax+ + 0 一點一點 12222 byax+ + + 空集空集 類型類型橢橢圓圓型型上頁 下頁 結(jié)束 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 1I2I3I圖形圖形 12222 byax不定不定 0 雙曲線雙曲線 02222 byax = 0 兩條相兩條相交直線交直線 12222 byax 雙曲線雙曲線類型類型雙雙曲曲型型

26、 0 不定不定 不定不定 3.2 用不變量判斷曲線類型用不變量判斷曲線類型 上頁 下頁 結(jié)束 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 1K2I3I圖形圖形 0 = 0 x2 2py = 0 x2 d = 0 (d 0) 0 = 0 x2 d = 0 (d 0)識別標(biāo)志識別標(biāo)志 類別類別 橢圓橢圓 一點一點 空集空集 I1I3 0 3.2 用不變量判斷曲線類型用不變量判斷曲線類型 上頁 下頁 結(jié)束 型別型別雙雙 曲曲 型型 (I2 0 拋物線拋物線 I3 = 0, K1 = 0 I3 = 0, K1 1 時時, I2 0, 曲線為曲線為橢圓型橢圓型: 如果如果 t 1, 則則 I1I3 0, 圖像是圖像是空集空集;

27、如果如果 t 1, 則則 I1I3 0, 圖像是圖像是橢圓橢圓. (2) 當(dāng)當(dāng) |t| 1 時時, I2 0, 圖像是圖像是空集空集; 3.2 用不變量判斷曲線類型用不變量判斷曲線類型 上頁 下頁 結(jié)束 用用(半半)不變量求二次曲線的最簡方程不變量求二次曲線的最簡方程 1. 二次曲線為二次曲線為橢圓型或雙曲型橢圓型或雙曲型, 則則最簡方程最簡方程為為: , 0222211 cyaxa 設(shè)設(shè)二次曲線的方程二次曲線的方程 (3.5) 經(jīng)過經(jīng)過直角坐標(biāo)變換直角坐標(biāo)變換, 化成了最簡形式化成了最簡形式. 由于由于I1, I2 都是都是不變量不變量, 所以有所以有 , 2221112211IIaaaa3

28、.2 用不變量判斷曲線類型用不變量判斷曲線類型 上頁 下頁 結(jié)束 這表明這表明a11 , a22 是下面是下面一元二次方程的根一元二次方程的根: 2 I1 + I2 = 0, ( ) 稱方程稱方程 ( ) 為為二次曲線二次曲線(3.5)的的特征方程特征方程, 它的兩它的兩個實根稱為個實根稱為二次曲線二次曲線(3.5)的的特征根特征根, 記為記為1, 2.由于方程由于方程 ( ) 的判別式的判別式 I12 4I2 )()(2122211222114aaaaa 212222114aaa )( 0, 所以方程所以方程 ( ) 一定有兩個實根一定有兩個實根. 3.2 用不變量判斷曲線類型用不變量判斷曲

29、線類型 上頁 下頁 結(jié)束 又因為又因為I3 是是不變量不變量, 所以所以 caa 2211,c 2Icaa 00000022113I從而得從而得 ,23II c這樣這樣橢圓型或雙曲型橢圓型或雙曲型二次曲線的最簡方程可寫成二次曲線的最簡方程可寫成: . 0232221 IIyx3.2 用不變量判斷曲線類型用不變量判斷曲線類型 上頁 下頁 結(jié)束 2. 二次曲線為二次曲線為拋物線拋物線, 則則最簡方程最簡方程為為: ,00022112211 baybxa 由于由于I1, I2, I3 都是都是不變量不變量, 所以有所以有 ,0000112111 aaI I,22112113000000babba I3.2 用不變量判斷曲線類型用不變量判斷曲線類型 上頁 下頁 結(jié)束 由此得由此得 ,132II b這樣這樣拋物線拋物線的最簡方程可寫成的最簡方程可寫成: . 021321 yxIII3. 二次曲線為二次曲線為拋物型拋物型, 且且 I3 = 0, 則則最簡方程最簡方程為為: ,0011211 acxa 于是于是 I1 = a11 ,