1、2011年暑期輔導講義 考點1 導數(shù)1.（2010 海南高考理科t3）曲線在點處的切線方程為（ ）（a） （b） （c） （d）【命題立意】本題主要考查導數(shù)的幾何意義，以及熟練運用導數(shù)的運算法則進行求解.【思路點撥】先求出導函數(shù)，解出斜率，然后根據(jù)點斜式求出切線方程.【規(guī)范解答】選a.因為 ，所以，在點處的切線斜率，所以，切線方程為，即，故選a.2.（2010山東高考文科8）已知某生產廠家的年利潤（單位：萬元）與年產量（單位：萬件）的函數(shù)關系式為，則使該生產廠家獲得最大年利潤的年產量為（ ）(a) 13萬件 (b) 11萬件(c) 9萬件 (d) 7萬件【命題立意】本題考查利用導數(shù)解決生活中的

2、優(yōu)化問題，考查了考生的分析問題解決問題能力和運算求解能力.【思路點撥】利用導數(shù)求函數(shù)的最值.【規(guī)范解答】選c，,令得或（舍去），當時；當時，故當時函數(shù)有極大值，也是最大值，故選c.3.（2010遼寧高考理科10）已知點p在曲線y=上，為曲線在點p處的切線的傾斜角，則的取值范圍是（ ） (a)0,) (b) (d) 【命題立意】本題考查了導數(shù)的幾何意義，考查了基本等式，函數(shù)的值域，直線的傾斜角與斜率。【思路點撥】先求導數(shù)的值域，即tan的范圍，再根據(jù)正切函數(shù)的性質求的范圍?！疽?guī)范解答】選d.4.（2010江蘇高考8）函數(shù)y=(x0)的圖像在點處的切線與x軸的交點的橫坐標為,，若=16，則的值是_

3、【命題立意】本題考查導數(shù)的幾何意義、函數(shù)的切線方程以及數(shù)列的通項等內容?！舅悸伏c撥】先由導數(shù)的幾何意義求得函數(shù)y=x2(x0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線的斜率，然后求得切線方程，再由，即可求得切線與x軸交點的橫坐標?！疽?guī)范解答】由y=x2(x0)得，所以函數(shù)y=x2(x0)在點(ak,ak2)處的切線方程為：當時，解得，所以.【答案】215.（2010江蘇高考4）將邊長為1m正三角形薄片沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記,則s的最小值是_ _。【命題立意】 本題考查函數(shù)中的建模在實際問題中的應用，以及等價轉化思想?！舅悸伏c撥】可設剪成的小正三角形的邊長為，然后用分別表示

4、梯形的周長和面積，從而將s用x表示，利用函數(shù)的觀點解決.【規(guī)范解答】設剪成的小正三角形的邊長為，則：方法一：利用導數(shù)的方法求最小值。，當時，遞減；當時，遞增；故當時，s的最小值是。方法二：利用函數(shù)的方法求最小值令，則：故當時，s的最小值是。【答案】【方法技巧】函數(shù)的最值是函數(shù)最重要的性質之一，高考不但在填空題中考查，還會在應用題、函數(shù)導數(shù)的的綜合解答題中考察。高中階段，常見的求函數(shù)的最值的常用方法有：換元法、有界性法、數(shù)形結合法、導數(shù)法和基本不等式法。6.（2010北京高考理科8）已知函數(shù)()當時，求曲線在點處的切線方程；()求的單調區(qū)間【命題立意】本題考查了導數(shù)的應用，考查利用導數(shù)求切線方程

5、及單調區(qū)間。解決本題時一個易錯點是忽視定義域?！舅悸伏c撥】（1）求出，再代入點斜式方程即可得到切線方程；（2）由討論的正負，從而確定單調區(qū)間?！疽?guī)范解答】（i）當時， 由于， 所以曲線在點處的切線方程為 即 （ii），.當時，.所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，.故的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是.當時，由，得，所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是.當時，故的單調遞增區(qū)間是.當時，得，.所以在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是7.（2010安徽高考文科20）設函數(shù)，求函數(shù)的單調區(qū)間與極值【命題立意】本題主要考查導數(shù)的運算，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

6、與極值的方法，考查考生運算能力、綜合分析問題能力和問題的化歸轉化能力。【思路點撥】對函數(shù)求導，分析導數(shù)的符號情況，從而確定的單調區(qū)間和極值?！疽?guī)范解答】+-0+極大值極小值8.（2010北京高考文科8） 設定函數(shù)，且方程的兩個根分別為1，4（）當a=3且曲線過原點時，求的解析式；（）若在無極值點，求a的取值范圍。【命題立意】本題考查了導數(shù)的求法，函數(shù)的極值，二次函數(shù)等知識。【思路點撥】(1)由的兩個根及過原點，列出三個方程可解出；（2）是開口向上的二次函數(shù)，無極值點，則恒成立?！疽?guī)范解答】由 得 因為的兩個根分別為1,4，所以 （*）（）當時，（*）式為解得又因為曲線過原點，所以故（）由于a0

7、,所以“在（-，+）內無極值點”等價于“在（-，+）內恒成立”。由（*）式得。又解 得即的取值范圍【方法技巧】（1）當在的左側為正，右側為負時，為極大值點；當在的左側為負，右側為正時，為極小值點（2）二次函數(shù)恒成立問題可利用開口方向與判別式來解決。恒大于0，則；恒小于0，則；9.（2010天津高考文科20）已知函數(shù)f（x）=，其中a0. （）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2）處的切線方程；（）若在區(qū)間上，f（x）0恒成立，求a的取值范圍.【命題立意】本小題主要考查曲線的切線方程、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值、解不等式等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法。【思路點撥】應用導

8、數(shù)知識求解曲線的切線方程及函數(shù)最值?！疽?guī)范解答】（）當a=1時，f（x）=，f（2）=3；f(x)=, f(2)=6.所以曲線y=f（x）在點（2，f（2）處的切線方程為y-3=6（x-2），即y=6x-9.（）f(x)=.令f(x)=0，解得x=0或x=.以下分兩種情況討論：若，當x變化時，f(x)，f（x）的變化情況如下表：x0f(x)+0-f(x)極大值 當?shù)葍r于 解不等式組得-5a2，則.當x變化時，f(x),f（x）的變化情況如下表：x0f(x)+0-0+f(x)極大值極小值當時，f（x）0等價于即解不等式組得或.因此2a5. 綜合（1）和（2），可知a的取值范圍為0a5.10.（2

9、010遼寧高考文科21）已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+1.()討論函數(shù)f(x)的單調性；()設a-2，證明：對任意(0,+)，|f()-f()|4|.【命題立意】本題考查了函數(shù)的單調性與導數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，考查了分類討論、轉化等思想方法以及運算推理能力。【思路點撥】（i）求導數(shù)，對參數(shù)分類，討論導數(shù)的符號，判斷單調性， （ii）轉化為等價命題，構造新函數(shù)g(x)=f(x)+4x,通過g(x)r的單調性證明?！疽?guī)范解答】【方法技巧】討論函數(shù)的單調性首先要明確函數(shù)的定義域，一般用導數(shù)的方法，對參數(shù)分類做到不重不漏。2、直接證明一個命題，不好證時可考慮證明它的等價命題。變式:（2010遼寧

10、高考理科21）已知函數(shù)（i）討論函數(shù)的單調性；（ii）設.如果對任意，求的取值范圍。【命題立意】本題考查了函數(shù)的單調性與導數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，考查了分類討論、轉化等思想方法以及運算能力?！舅悸伏c撥】（i）求導數(shù)，對參數(shù)分類，討論導數(shù)的符號，判斷單調性， （ii）轉化為等價命題，構造新函數(shù)g(x)=f(x)+4x,分離參數(shù)，求a的范圍。【規(guī)范解答】【方法技巧】討論函數(shù)的單調性首先要明確函數(shù)的定義域，一般用導數(shù)的方法，對參數(shù)分類做到不重不漏。求參數(shù)的取值范圍往往要分離變量，分離時一定要使分離后的式子有意義，如分母不為0等。直接證明一個命題，不好證時可考慮證明它的等價命題。11.（2010浙江高考

11、文科21）已知函數(shù)（-b）b)。（i）當a=1，b=2時，求曲線在點（2，）處的切線方程。（ii）設是的兩個極值點，是的一個零點，且，證明：存在實數(shù)，使得 按某種順序排列后的等差數(shù)列，并求【命題立意】本題主要考查函數(shù)的極值概念、導數(shù)運算法則、切線方程、導數(shù)應用、等差數(shù)列等基礎知識，同時考查抽象概括、推理論證能力和創(chuàng)新意識?！舅悸伏c撥】（1）先求出再代入點斜式方程；（2）先找到，觀察它們之間的關系，從而確定在等差數(shù)列中的位置。【規(guī)范解答】()當a=1,b=2時，,因為(x)=(x-1)(3x-5)，故 (2)=1，f(2)=0,所以f(x)在點（2,0）處的切線方程為y=x-2（）因為（x）3（

12、xa）（x），由于ab。故a.所以f（x）的兩個極值點為xa,x.不妨設x1a，x2，因為x3x1，x3x2，且x3是f（x）的零點，故x3b.又因為a2（b），所以成等差數(shù)列。所以4（a），所以存在實數(shù)x4滿足題意，且x4.【方法技巧】（1）函數(shù)在處的切線方程為；（2）在函數(shù)的極值點處。12.（2010山東高考文科21）已知函數(shù)（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，討論的單調性.【命題立意】本題主要考查導數(shù)的概念、導數(shù)的幾何意義和利用導數(shù)研究函數(shù)性質的能力.考查分類討論思想、數(shù)形結合思想和等價變換思想.【思路點撥】(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線在點處的切線的斜率；（2）直接利用函

13、數(shù)與導數(shù)的關系討論函數(shù)的單調性,同時應注意分類標準的選擇.變式:（2010山東高考理科22）已知函數(shù).(1)當時，討論的單調性；（2）設當時，若對任意，存在，使，求實數(shù)取值范圍.【命題立意】本題將導數(shù)、二次函數(shù)、不等式知識有機的結合在一起，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、利用導數(shù)求函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的最值問題，考查了同學們分類討論的數(shù)學思想以及解不等式的能力；考查了學生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力。【思路點撥】（1）直接利用函數(shù)單調性與導數(shù)的關系討論函數(shù)的單調性,同時應注意分類標準的選擇；（2）利用導數(shù)求出的最小值、利用二次函數(shù)知識或分離常數(shù)法求出在閉區(qū)間1,2上的最大值，然后解不等式求參數(shù).【方法技巧】1、分類討論的原因(1)某些概念、性質、法則、公式分類定義或分類給出；(2)數(shù)的運算：如除法運算中除式不為零，在實數(shù)集內偶次方根的被開方數(shù)為非負數(shù)，對數(shù)中真數(shù)與底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)還是負數(shù)等；(3)含參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式等問題，由參數(shù)值的不