1、4 圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題 第四講 圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題一、直線恒過定點(diǎn)問題 例1 已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上,過點(diǎn)分別作曲線的切線， 切點(diǎn)為、， 求證：直線恒過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；. 解:設(shè)，整理得：同理可得： ,又 ，例2、已知點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，直線的方程為, 直線過p點(diǎn)與直線垂直,點(diǎn)(1,)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為n,直線pn恒. 過一定點(diǎn)g，求點(diǎn)的坐標(biāo)。解:直線的方程為，即 設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 則，解得 直線的斜率為 從而直線的方程為： 即 從而直線恒過定點(diǎn)二、恒為定值問題例3、已知橢圓兩焦點(diǎn)、在軸上，短軸長為，離心率為，是橢圓在第一 象限弧上一點(diǎn),且,過作關(guān)于直線f1對稱的兩

2、條直線a、pb分別交橢. 圓于a、兩點(diǎn)。 （)求p點(diǎn)坐標(biāo)； (2）求證直線ab的斜率為定值；解：（）設(shè)橢圓方程為，由題意可得 ,所以橢圓的方程為 則，設(shè) 則 點(diǎn)在曲線上，則 從而，得,則點(diǎn)的坐標(biāo)為。 (）由(）知軸,直線p、pb斜率互為相反數(shù), 設(shè)pb斜率為,則b的直線方程為: 由 得 設(shè)則 同理可得,則 所以直線ab的斜率為定值. 例、已知?jiǎng)又本€與橢圓相交于、兩點(diǎn)，已知點(diǎn) ， 求證:為定值。 解: 將代入中得 ， ，所以 。課后作業(yè)： 1 在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓.如圖所示,斜率為且不 過原點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為， 射線交橢圓于點(diǎn)，交直線于點(diǎn). （）求的最小值; (）若,求

3、證:直線過定點(diǎn); 解：（)由題意:設(shè)直線, 由消y得：, 設(shè)、,ab的中點(diǎn),則由韋達(dá)定理得: =,即， 所以中點(diǎn)e的坐標(biāo)為， 因?yàn)?、e、d三點(diǎn)在同一直線上, 所以，即, 解得， 所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號, 即的最小值為。 （）證明：由題意知:n,因?yàn)橹本€od的方程為， 所以由得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為， 又因?yàn)?，且，所以?又由（）知： ,所以解得,所以直線的方程為， 即有， 令得，=0，與實(shí)數(shù)k無關(guān)， 所以直線過定點(diǎn)（-1，0）。 2 已知點(diǎn)為曲線上的一點(diǎn),若，是否存在垂直軸的直線 被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出直線的方程；若不存在, 請說明理由. 解：設(shè)的中點(diǎn)為,垂直于軸的直線方程為， 以為直徑的圓交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為 , 所以，令,則對任意滿足條件的，都有(與無關(guān)）, 即為定值 ··