1、從“除法豎式”到“符號語言”的教學思考【文章摘要】本文源于對一位數(shù)除兩位數(shù)筆算除法第一課時中，如何提高學生對豎式的認同感和認知度的教學討論。在對“豎式是什么”進行深層次的解析與思考中，我們達成了數(shù)學豎式是一種“符號語言數(shù)學的定義、定理中用文字來描述的稱之為文字語言，用數(shù)、字母、運算符號等來表示的語言稱之為符號語言，用表示三角形，等稱之為圖形語言?！钡墓沧R，開始思考要讓學生在豎式學習中，經(jīng)歷用“符號語言”對數(shù)學現(xiàn)象的進行濃縮和刻畫的過程。基于這樣的理念，我們對于教材中例題的教學順序，“先呈現(xiàn)48÷4”和“先呈現(xiàn)52÷4”進行了調整與反思，試圖尋找促進學生“符號語言”能力發(fā)展的

2、最佳教學順序。本文真實記錄這次教學研究的全過程，其中有我們的教學思考、也有我們的課堂實踐，更有我們透視現(xiàn)象后的理性反思，收獲和成長自在不言之中?！娟P鍵詞】符號語言 除法 豎式 教學順序【源起：由一個教學尷尬引出的話題】在小學數(shù)學教材編排中，關于“除法運算”的內容，基本劃分成3個知識組塊，它們分別是“除數(shù)是一位數(shù)的整數(shù)除法”、“除數(shù)是兩位數(shù)的整數(shù)除法”、“小數(shù)除法”。而“除數(shù)是一位數(shù)的整數(shù)除法”又是另兩個知識組塊的基礎，這一內容的知識基礎是表內除法（有余數(shù)除法）的筆算、一位數(shù)除兩、三位數(shù)的口算。依據(jù)教材意圖，本課要在原有基礎上實現(xiàn)從“表內除法”到“被除數(shù)是兩位數(shù)，除數(shù)是一位數(shù)，商是兩位數(shù)（被除數(shù)

3、十位沒有余數(shù)或有余數(shù)）”的突破。據(jù)相關調查統(tǒng)計顯示，學生在學習這一內容時，一般存在以下困難：（1）難以理解和講清算理。（2）學生算法掌握基本停留在對算法程序的記憶上。（3）學生對算法學習的認識存在思維偏差。有意義的教學研究應該源于真實的教學困惑，源于真實的課堂。在一次教學自我診斷中，老師們對于除數(shù)是一位數(shù)除法的筆算第一課時進行了教學解析，并由此構建出一個由從尷尬走入沉思，從沉思走向實踐，再從實踐走向思辨的教研話題發(fā) 現(xiàn) 的 震 動除法豎式教學，想說愛你不容易！在我們的教學研討中，一位教過三年級的老師回憶了這樣一幕尷尬：學生們在嘗試用豎式進行計算48÷4時，出現(xiàn)了以下兩種寫法： 當教師

4、引導學生對兩種豎式進行評價時，同學們更多表示出是對寫法二的支持，許多同學認為寫法一太復雜、沒必要。其后的過程，便是老師極其痛苦與艱難地“說服”學生用第一種寫法，并細致分析豎式、反復強調豎式書寫的格式和順序，但事與愿違，“會算”掩蓋了“理解”，結果依然有不少學生“將葫蘆畫成了瓢”。教師只能采取“頭痛醫(yī)頭”、“堤內損失堤外補”等方式進行高耗低效的補救，用“題海戰(zhàn)術”讓學生反復練習，直至掌握。繼后的教學討論中，我們了解到許多教過這一內容的老師都在此教學中有著“切膚之痛”。失敗是一種經(jīng)歷，它并不可怕，關鍵是要學會反思自己的經(jīng)歷，尋找失敗的原因。以老師們的若干次失敗的實踐與思考作為研究基礎，我們在教研組

5、進行了深層次的思辨認 同 的 舒 暢尋求走出“困境”的“解徑”針對老師們提出的幾個有爭議的問題，我們首先在教研組內進行了討論，并在某些問題上達成了共識。問題一：除法豎式到底是什么？我們的共識：除法豎式是一種數(shù)學的符號語言，具有計算與表達的雙重功能。在教學中，一部分教師對于豎式的教學，往往停留在將豎式當作是一種格式，當作是“一種規(guī)定”，簡單地“告訴”給學生，在這樣的教學中，豎式只起到了計算的作用，而沒有凸顯它的表達和顯示功能。曾問過一位語文老師：“豎式是什么？”他給了一個非常形象的解釋：“豎式就是數(shù)學的表達?！睆臄?shù)學的角度來理解“表達”兩字，應該就是用符號化的語言來刻畫和濃縮數(shù)學現(xiàn)象，即以符號的

6、方式不斷簡化操作語言，并以符號與邏輯不斷克服自然語言中含糊不清的地方，同時以數(shù)學模型的方式不斷地擴充自然語言的表達范圍，豎式應該具有表達與計算兩種功能。問題二：豎式教學需要創(chuàng)設數(shù)學情境嗎？我們的共識：需要。情境的最終作用是為學生符號思維的提升提供物質準備。具體情境是思維的支柱。情境和操作缺失了，學生的符號化過程就無法落實。本課教學的重點是讓學生突破從“表內除法商是一位數(shù)”到“商是兩位數(shù)”的豎式表達。除數(shù)是一位數(shù)的除法中所創(chuàng)設的植樹的數(shù)學情景，正是讓學生經(jīng)歷分兩次的過程，以便學生能從這樣的操作活動中抽象出數(shù)學模型，建立起操作活動、分步口算和除法豎式間的對應聯(lián)系。借助現(xiàn)實情景去抽象數(shù)學模型，其最本

7、質的目的在于，讓學生經(jīng)歷一個由圖到式，由式到圖的數(shù)學建模過程，在數(shù)學現(xiàn)象與數(shù)學符號相互融合和轉化中，促進學生符號思維的真正提升。綜上所述，我們認為在筆算除數(shù)是一位數(shù)的除法教學中，應將除法豎式作為一種近似符號化語言，讓學生在現(xiàn)實情境中提煉數(shù)學現(xiàn)象、表達數(shù)學現(xiàn)象，經(jīng)歷一個較為完整的數(shù)學抽象與符號表達的學習過程。取 舍 的 艱 難兩種教學順序誰主浮沉？然而，“符號語言”的學習需要有較高的抽象概括能力，因為在學習的過程中，學生需要經(jīng)歷一個從具體表象抽象符號化的過程，這對三年級學生的數(shù)學思考能力來說，不是一件很容易的事。當我們教學研究重新陷入困境時，老師們開始進行更深層次的教學思考與更為大膽的教學假設。

8、四年級備課組的楊老師提出，可否改變例題的呈現(xiàn)順序，先探究52÷4，再學習48÷4，先呈現(xiàn)十位有余的情況，這樣更有利于學生根據(jù)自己的口算與實物操作的經(jīng)驗，對豎式?jīng)]能表達出“第一次分后有余”提出質疑，會讓學生產(chǎn)生正確的豎式表達的需要。我們的教學思考行進在了很有可能發(fā)生重大變化的拐點上，可以向左走，也可以向右走。可能使我們的教學發(fā)展向上升，也可能導致我們的教學研究向下墜。兩種不同的教學順序，誰主浮沉？【實踐：從搖擺走向平衡】面對拐點，我們的選擇便是實踐，以學生的學習方式來討論教學方式，在實踐中尋找教學順序與學生學習體驗得以平衡的支點。1實踐班級與實施教師的選擇。我們首先對三年級各

9、班學生就學習數(shù)學的能力、算理的理解水平、前期的知識準備進行了前測，選擇兩個知識水平與學習能力相近的班級進行實驗。同時，我們選擇了兩位教齡相同、教學水平也相當?shù)那嗄昀蠋焻⑴c教學實施。2教學方法與環(huán)節(jié)的確定。異構順序：教學實踐一先探究48÷4 教學實踐二先探究52÷4同構環(huán)節(jié)：3教學評估方法的確定。以學論教，需要獲得學生學習的充分信息，了解學生學習的真實感受和體驗，才能圍繞學習活動和學習狀態(tài)，作出更有價值和意義的討論。為了保證對于學生數(shù)學思維信息的全面收集，教研組組織了兩方面的教學評估力量對課堂進行全面的觀察與測量。（1）現(xiàn)場觀察：組織教師觀察、全真記錄學生在學習進程中的語言、

10、行動，課后組織訪談小組對部分上課學生進行學習訪談。（2）課堂測量：對學生解答兩個例題的正確率進行統(tǒng)計，課后對兩班同學就相關例題進行教學后測，以便我們更理性地梳理行為、效果，作出更理性的教學推測。行到水窮處，坐看云起時記錄柳暗花明的原生態(tài)課堂在教學現(xiàn)場記錄、傾聽孩子們最真實的聲音，不僅是孩子們在課堂中參與反思、對比中獲得了提高，作為教學研究者的我們也能從中得到更多的啟示。1算理體驗從“隔岸觀火”到“入乎其內”。掌握算法和探究算理是計算教學的兩大任務，算法是解決問題的操作程序，算理是算法賴于成立的數(shù)學原理。在“先探究48÷4”中，學生對于算理的理解相對比較牽強，在課后訪問中我們發(fā)現(xiàn)，仍有

11、許多孩子堅持認為式 式即 也能表達“分兩次”的過程，而且書寫時更加簡便。而在“先探究52÷4”學生就不得不直面“第一次分后有余”的茫然。教學現(xiàn)場片斷一：比較下面兩個除法豎式，哪種更能合理地表現(xiàn)我們剛才口算與分小棒的過程？ 生1：從書寫上看，我覺得第一個豎式更簡便，我也能看懂。生2：但是我不能從第一個豎式中看到我們剛才分的過程。生3：我覺得第二個豎式第一層就是我們第一次分的情況，第二層就是我們第二次分的情況。生4：是的，每一層都能讓我們看出有多少，分走了多少，還有沒有分完。第二個豎式更能表達我們分的過程。生5：我支持第一個豎式，我可以把第一次分的過程記在心里呀，這樣也很簡便。生6：如果

12、用第一個豎式，如果我們要分數(shù)量更多的物品，記在心里，就算不快了。 (課堂上估計大約有三十幾位同學認可了第二個豎式的寫法，有十余位同學仍然堅持第一個豎式的寫法)片斷二：全課小結，對于我們今天所學習的筆算除法，你有什么想說的嗎？ 生1：我覺得這樣的除法比我們以前學過的除法麻煩，豎式很長。師：想一想，為什么麻煩了？生1：可能是因為我們在這里分的時候要分兩次分。生2：我發(fā)現(xiàn)其實豎式與口算的過程是一樣的，只是表達的方式不一樣。生3：我還是覺得象、，甚至是更復雜的這些題都不需要列豎式，我直接通過口算就可以計算出結果。（許多學生頷首表示贊同）生4：但是，如果象52÷4這樣，十位分后有余，如果借助豎

13、式就能幫助我們準確計算了。從上面的片斷中，我們不難看出， “先探究52÷4”，把學生拋置到一個有難度的思維空間，學生會調動內需用更合理的途徑去發(fā)現(xiàn)算理、理解算理。雖然，當學生要把更為抽象的豎式計算順序與形象具體的分小棒過程建立聯(lián)系，需要延長豎式展現(xiàn)與辨析的時間與過程，但磨刀不誤砍柴工，實踐證明，學生從豎式計算、口算與操作過程的整體感知出發(fā)，在整體觀察下實施局部分析，更有利于達成豎式計算算理與實物操作過程的正確綜合。“象、，甚至是更復雜的這些題都不需要列豎式！”學生們的“茅塞頓開”，不僅讓課堂上的學習伙伴“豁然開朗”，也讓在場的老師們“怦然心動”， 算法探究能改變學生對數(shù)學的態(tài)度，讓學

14、生的算理理解成了一個過程，而不是簡單的記憶程序和按程序操作，即便方法遺忘了，也可以依籍算理的探究過程得以恢復，使學生掌握的數(shù)學知識更具可持續(xù)發(fā)展的張力，效果果然“妙不可言”。 2算法掌握從“食而不化”到“水到渠成”。除法豎式計算時是從高位除起，這和筆算加,減,乘法的計算順序是不同的。在“先探究48÷4”的口算與分小棒的過程中，先算“40÷4”可以，先算“8÷4”亦可以，不能凸顯出“從高位除起”的必要性。學生對于“從高位除起”的算法，只能囫圇吞棗，機械記憶，最終食而不化。而當我們調換了教學順序后，這一尷尬很快得到了化解。教學現(xiàn)場片斷一：用分小棒來操作表示52

15、7;4。 平均每班種多少棵樹苗？教師請了一個數(shù)學學習程度中等的學生。拿到52根小棒時，他首先拿出2根試圖分給同學，因為不夠分，他馬上就停住了，又打算從其中一捆中抽出2根再分。同學們在下面提示：“先分大捆的，先分大捆的，這樣方便！”他隨即頓悟似的拿出4捆，平均分給每個人，再把剩余的一捆打開與2根合起來，平均分給了4個人。片斷二：探討豎式計算中，先算十位上的“5÷4”，還是先算“12÷4”。生1：當然是從十位算起，我們剛才分小棒就是這樣操作的。生2：是的，先分了大“頭”，再把剩下的幾個十與零散的合起來再分。生3：對，生活中我們分東西時，一般就是這樣分的，這樣分得快。所以先從十位

16、算起也更簡便，不容易算錯。相對于“先探究48÷4”的教學中，因為十位與個位都夠除，所以學生對于從“十位除起”只能以強調機械的方式記憶。而學生們在“先探究52÷4”的教學過程中，體現(xiàn)了個位不夠分的矛盾后，會更多表現(xiàn)出對于“先從高位除起”的認同感。符號語言的抽象應該是顯性操作活動和內隱思維活動的統(tǒng)一。在對學生的思維軌跡進行記錄與分析中，我們發(fā)現(xiàn)“先探究52÷4”，給學生符號化的過程增加了障礙，更有利于學生實現(xiàn)了算理直觀到算法抽象的正確遷移，使學生在操作中能有所思、有所感、有所悟、有所得。魚與熊掌，不能兼得？直面南轅北轍的尷尬數(shù)據(jù)為了我們的實踐數(shù)據(jù)更科學，我們對學生在課

17、堂上的兩次學習表現(xiàn)，即兩個例題呈現(xiàn)學生嘗試列豎式的情況進行了記錄，并對兩個教學班的學生進行了課后測試。觀察記錄與課后測查的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：我們結合數(shù)據(jù)分析對教學實驗進行了更為理性的反思。分析實驗數(shù)據(jù)我們發(fā)現(xiàn)，“先探究52÷4”除了我們在現(xiàn)場觀測時發(fā)現(xiàn)的諸多優(yōu)勢以外，同時也存在著不可克服的不足：不足一：“先探究52÷4”，對一部分學生的學習盲點預估不足。本課學習前，學生對三上年級時學的除法豎式計算，特別是書寫格式已生疏，因此在除法豎式時仍存在學習盲點?！跋忍骄?2÷4”的跳躍性過大，不僅在口算與分實物操作中給學生增加了難度，同時在豎式掌握時，一些程度不夠好的同學無法在

18、學習初期得到緩沖的機會，這種挫敗的經(jīng)歷無疑對這部分學生的后繼學習是一種傷害。不足二：“先探究52÷4”，學生的達成率情況沒有顯著性差異。在課后的測查數(shù)據(jù)中，我們發(fā)現(xiàn)，兩種教學順序的知識性目標的達成度教不夠，而“先探究52÷4”也沒有在這方面表現(xiàn)出優(yōu)勢，由此證實了教材例題安排的合理性和可行性。當我們置身于“理性數(shù)據(jù)”與“現(xiàn)場記錄”的沖突中，我們開始從“孤芳自賞”的研究體驗中清醒過來：的確，前期我們在教學現(xiàn)場觀察到的，由“先探究52÷4”帶來的 “花團錦簇”，或多或少會由于實施觀察的老師往往根據(jù)自己的研究傾向，選擇了帶有傾向性的觀察視角，并不能代表學生在課堂真正沉淀下

19、來的獨特體驗和學習體會。教研組的老師們開始在這樣的教學實驗中汲取過濾，對于兩種教學順序的教學傾向也開始從搖擺走向平衡。且行且思，漸行漸遠在“實踐”中尋覓到的教學智慧我們的課例研究源于實踐，起于思考，收于實踐。經(jīng)歷了教材研讀、現(xiàn)場觀察和數(shù)據(jù)解構的研究過程，當所有觀點交互碰撞、所有爭鳴趨于平衡后，我們沉淀下更為深入、更接近于本質的思考，尋覓到了新的教學智慧：先教學52÷4時，在學生符號語言的理解上具有思維的優(yōu)勢，然而在學生正確書寫豎式的達成率方面，并不存在顯著優(yōu)勢。因此，老師只需要在理念處理上保持“同構”要讓學生在經(jīng)歷符號語言的抽象過程。大可以在教學實施中，自主選擇更適合自己的、更適合學

20、生、更適合教學內容的教學方式和行為，靈活地根據(jù)學生的學習能力與學習基礎選擇“異序”?！静皇俏猜暎杭で榈男谐虅倓偲鸩健窟@似乎不能算是一個不成功的課例研究。結束時，我們既不能提出一個振聾發(fā)聵的研究結果，也不能提出一個成熟的范型可資參照。因為事實如此。但由此，我們開始對數(shù)學符號語言的教學衍生出更深層次的教學思考：思考一：“觸類”如何“旁通”？“除法豎式”的學習過程，可以看作是一個由操作體驗到符號抽象的符號語言學習的過程。其實，小學數(shù)學學習中，這樣的內容遠不止于此：將一個蘋果（一張紙、一塊蛋糕）平均分成兩份，其中的一份都可以分數(shù)來表示，學生可以深刻體會到：一個小小的分數(shù)卻能代表不同材質分的過程與結果，以它濃縮的形式，表達了大量信息。如何從小學數(shù)學學習階段中挖掘這些可以滲透符號語言的資源，如何將這些分散的教學資源系列化，建立起符號語言培養(yǎng)的資源體系，從而促進學生符號思維能力的真正提升。我們需要思考：“觸類”如何“旁通”？思考二：“循序”如何“漸進”？從低年級到高年級，學生不可能把教材中具體內容不得的符號語言一下子徹底領悟。例如在一個簡單的不等式：3+8中，對低年級小學生來講，“”可以說表示許多個數(shù)(0、1、2、3、4)，對高年級學生來講，可以說是表示無數(shù)個數(shù)(05)再將“”用字母替代。可見，符號語言的引入不是雜亂無章、漫無目的的, 應該根據(jù)小學生的年齡、思維特