1、全等三角形幾種常見輔助線精典題型MBE一、截長補(bǔ)短1、已知ABC中,A 60 , BD、CE分別平分ABC 和.ACB , BD、CE 交于點(diǎn) O ,試為J斷BE、CD、BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.2、如圖，點(diǎn)M為正三角形ABD的邊AB所在直線上 的任意一點(diǎn)（點(diǎn)B除外），作DMN 60 ,射線MN與 / DBA外角的平分線交于點(diǎn)N , DM與MN有怎樣的數(shù) 量關(guān)系3、如圖，AD，AB,CB，AB,DM =CM= a , AD= h , CB= k, /AMD =75 , BMC=45 ,糕B 的長。4、已知：如圖，ABCD是正方形，/FAD=ZFAE求證： BE+DF=AE.5、以ABC的AB

2、、AC為邊向三角形外作等邊 ABD、 ACE , 連結(jié)CD、BE相交于點(diǎn)O .求證：OA平分 DOE .6、如圖所示，ABC是邊長為1的正三角形，BDC是頂角為120的等腰三角形,以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60的 MDN ,點(diǎn)M、N分別在AB、AC上, 求AMN的周長.7、如圖所示，在 ABC中，AB AC, D是底邊BC上的一點(diǎn)，E是線段 AD上的一點(diǎn)，且 BED 2 CED BAC ,求證 BD 2CD .8、五邊形 ABCDE 中，AB=AE, BC+DE=CD, 4ABC+ZAED= 180 ,求證:AD 平分/CDE二、全等與角度1、如圖，在 ABC中， BAC 60 , AD是 BAC的平分

3、線，且 AC AB BD ,求 ABC的度數(shù).2、如圖所示，在 ABC中，AC BC, C 20 ,又M 在 AC上, N 在 BC 上，且滿足 BAN 50 , ABM 60 , 求 NMB.3、在正ABC內(nèi)取一點(diǎn)D ,使DA DB ,在ABC外取一點(diǎn)ABE ,使 DBE DBC，且 BE BA ,求 BED .4、如圖所示，在ABC中，BAC BCA 44 , M為ABC內(nèi)一點(diǎn)，使得MCA 30 , MAC 16 ,求 BMC的度數(shù).5、如圖：在 ABC 內(nèi)取一點(diǎn) M ,使得 MBA 301 , MAB 10；.設(shè) ACB 801 , AC BC , 求 AMC.6、如圖，點(diǎn)M為正方形AB

4、CD的邊AB上任意一點(diǎn)，MN DM且與/ABC外角的 平分線交于點(diǎn)N, MD與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？如是正五邊形，正六邊形 呢？參考答案：一、截長補(bǔ)短1、BE CD BC ,理由是：在BC上截取BF BE ,連結(jié)OF ,禾IJ用 SAS證彳導(dǎo) BEOBFO,12,: A 60 , BOC 90：1 1 A 120、, 二 DOE 1201 , 2/. ADOE 180 , /. AEO ADO 180：l , /. 13 180：l ,: 24 180；，/. 12, 3 4,BC BF CF BE CD .禾IJ用 AAS證彳導(dǎo) CDO仁CFO, , CD CF ,2、 DM MN .過點(diǎn)

5、M 作 MG / BD 交 AD 于點(diǎn) G , AG AM,，GD MB 又 /ADM DMA 120：l , /DMA / NMB 120 "ADM /NMB , 而 /DGM / MBN 120,，DGM © MBN , DM MN .3、過點(diǎn)D作BC的垂線，垂足為E.,. zAMD =75 0 , BMC =45 ° . .DMC =60 °DF. DM =CM . CD= DM.AD LAB, DEXBC, CBXAB, /AMD =75 ° zADM = /EDC .ZADM *DE .AD = DE故ABED為正方形，AB = AD

6、=h,選D.4、延長CB至M ,使得BM= DF,連接AM .AB=AD, AD±CD, AB±BM, BM=DF.ZABMADF. zAFD= ZAMB , /DAF= /BAM.AB /CD二 *FD= /BAF= /EAF+ /BAE= /BAE+ /BAM = /EAM“MB= /EAMAE= EM=BE+ BM=BE+DF.5、因?yàn)?ABD、則BAE貝U有 ABEACE是等邊三角形，所以 AB AD, AE AC,ADC在DC上截取DF進(jìn)而由AF由AOECAEBAD 60 ,所以 BAE© DAC , AEB ACD , BE DC .BO , 連結(jié) A

7、F , 容易證得 ADF 9 ABO , 得 AFO AOF ；AFO可得 AOF即OA平分DOE .AC*6、如圖所示，延長AC到E使CE在 BDM與CDE中，因?yàn)锽DBM .MBDECD90，所以 BDM ©因?yàn)?BDC CDE，故 MD ED120 , MDN 60所以BDMNDC又因?yàn)?BDM CDE ,所以 在 MND 與 END 中，DN DNMDNEDN60 .EDN 60 ,CE ,BM60 .DMD所以 MND©END ,則NE MN ,所以AMN的周長為2.7、如圖所示,則知 EAGDEFAGE12ABEABGCAE.BED的平分線交 BC于F ,又過

8、A作AH / EF交BE于G ,交BC于H ,1 BEF AGE BAC2AGBBAEBEDBAC注意到AB CA,故有ABG©,從而GE AE .CEA.CAE BAE 可從而 BG AE , AG于是又由BG GE.AH / EF ,有 BHHFGH而CEDFED ,從而即 CD HD1 FD HF2CDFD1 FD2ECEF1 BF2AGEF1 FD2EF ,且 2AH GHEF 18、延長DE至F,使得EF=BC,連接AC.AHEF AHEFHD故 BD 2CD .FDHD:FD ZABC+AED=180, AEF+AED=180ABC= ZAEFAB=AE, BC=EF：Z

9、ABCAEF Ek BC, AC=AFBC+ DE= CD-CD= DE+ EF= DF二 /ADC 二ADF 二 ZADC= ZADF即AD平分/CDE.、全等與角度1、如圖所示，延長AB至E使BE BD ,連接ED、EC.由 AC AB BD 知 AE AC ,而BAC 60),則AEC為等邊三角形.注意至U EAD CAD , AD AD , AE AC ,故 AED© ACD.從而有DE DC ,DEC故 BED BDEDCEDEC 2 DEC .所以 DEC DCE 20；,ABCBEC BCE 602080【另解】在AC上取點(diǎn)E ,使得AEAB,則由題意可知CE在ABD和

10、貝U ABD©AED 中，ABAE , BAD進(jìn)而有DEAED ,從而 BD DE ,CE, ECD EDC ,AED注意到ECDEDCABCABDACBABC2 ECD.則：1一ABC23 ABC2EAD , AD180 BAC 120 ,故 ABC 80 .成AE,利用角平分線AD可以構(gòu)造全等【點(diǎn)評】由已知條件可以想到將折線 ABD “拉直”三角形.同樣地，將AC拆分成兩段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然 的.需要說明的是，無論采取哪種方法，都體現(xiàn)出關(guān)于角平分線“對稱”的思想.上述方法我們分別稱之為“補(bǔ)短法”和“截長法”，它們是證明等量關(guān)系時(shí)優(yōu)先考慮的方 法.2、過

11、M作AB的平行線交BC于K,連接KA交MB于P. 連接PN ,易知 APB、 MKP均為正三角形.因?yàn)?BAN 50 , AC BC ,所以 ANB 50 , BN AB BP, BPN BNP 80 , 貝U PKN 40 , KPN 180 60 80 40 , 故 PN KN .從而 MPN © MKN .進(jìn)而有 PMN KMN , NMB - KMP 3023、如圖所示，連接 DC.因?yàn)锳D BD , AC BC , CD CD,貝U ADC© BDC , 故 BCD 30'.而 DBE DBC , BE AB BC , BD BD , 因止匕BDE

12、9; BDC , 故 BED BCD 30 .4、在 ABC 中，由 BAC BCA 44 可得 AB AC ,ABC 92 .如圖所示，作BDAC于D點(diǎn)，延長CM交BD于O點(diǎn)，連接 OA,貝（J 有 OAC MCA 30 ,BAO BAC OAC 443014 ,OAM OAC MAC 30 1614 ,所以 BAO MAO.又因?yàn)?AOD 90 OAD 903060 COD ,所以 AOM 120而AO AO ,因此 故 OB OM .aob . BOM 120ABO© AMO ,由于 BOM 120貝OMB OBM180 BOM 30 , 2故 BMC 180 OMB 1505、如圖所示，ABC的高CH與直線BM交于點(diǎn)E ,則AE BE.而 EAM EAB MAB 30 1020 ,1ACE ACB 40 ,