1、平面向量知識點歸納1、向量有關概念 ：（ 1）向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段 ，為什么？（向量可以平移） 。如已知 A（1,2），B（ 4,2），則把向量 AB 按向量 a （ 1,3）平移后得到的向量是 （答：（ 3,0 ）（ 2）單位向量 ：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量（與 AB共線的單位向量是AB ）；| AB|（ 3）平行向量（也叫共線向量） ：方向相同或相反的非零向量 a、b 叫做平行向量，記作： ab ， 規(guī)定零向量和任何向量平行 。提醒 ：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個向量平

2、 行與與兩條直線平行是不同的兩個概念： 兩個向量平行包含兩個向量共線 , 但兩條直線平行不包含兩條直 線重合； 平行向量無傳遞性 ?。ㄒ驗橛?0 ） ；三點 A、B、C 共線AB、AC共線； 向量平行 （共線）的充要條件 ： a/b a b （a b）2 （|a|b|）2 x1y2 y1x2 0。若 ABCD 是平行四邊形，則 AB DC 。如（1） 若向量 a （ x,1）, b （4,x ，） 當 x 時 a與 b 共線且方向相同（答： 2）；（2）已知a （1,1）,b （4,x ）， u a 2b ， v 2a b ， 且 u/v ， 則 x （ 答 ： 4 ）；（ 3 ） 設PA （

3、k,12）,PB （4,5）, PC （10,k） ，則 k時， A,B,C 共線（答： 2或 11）3. 平面向量的基本定理 ：如果 e1 和 e2 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù) 1 、 2 ，使 a= 1 e1 2 e2。如（ 1）若 a （1,1）,b （1, 1）,c （ 1,2） ，則 c 13（答： a b ）；（ 2 ）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是A. e1 （0,0）, e2 （1, 2） B.2213e1（ 1,2）, e2（5,7） C.e1（3,5）, e2（6,10） D.e1（2, 3）,e2（ ,）（答：

4、B）；（ 3）已知 AD,BE2424分別是 ABC的邊 BC, AC上的中線 ,且 AD a,BE b,則 BC可用向量 a,b表示為 （答： 2a a b 的幾何意義 ：數(shù)量積 a b 等于 a 的模 |a|與b 在 a 上的投影的積。 b 在a 上的投影 為|b|cos ，它是一個實數(shù)，但不一定大于 0。如已知 |a | 3，|b | 5，且 a b 12 ，則向量 a 在向量 bb）334） ABC中，點 D在 BC邊上，且 CD 2DB，CD r AB sAC ，則 r s 的值是答： 0）上的投影為12答： 12 )55. 非零向量 a，b 夾角 的計算公式： cos；|a b|

5、|a|b|。如(1)已知 a ( ,2 ) ，b （3 ,2） ，如果 a 與 b 的夾角為銳角， 則 的取值范圍是答： 4 或0且1 ）；（2）33，則 OF,FQ 夾角 的取值范圍是2已知 OFQ 的面積為 S ，且 OF FQ 1，若 1 S 3 2（ 答 ： （ , ）；（ 3 ） 已 知 a （ c oxs 43ka b 3a kb,其中k 0，用 k表示 a b；求k2 11 a b k 1（k 0） ；最小值為 ， 60 ）4k2, xs i bn ) , y ( cay 與 b 之 間 有 關 系 式a b 的最小值，并求此時 a 與 b 的夾角 的大?。ù穑?.向量的運算：（

6、1）向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩 邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除（ 相約） ；（2）向量的“乘法”不滿足結合律，即 a（b c） （a b）c ，為什么？3答：7. 向 量 垂 直 的 充 要 條 件 ： a b a b 0 |a b| |a b|x1x2 y1y2 0 . 特 別 地。如(1) 已知 OA ( 1,2),OB (3,m) ，若OA OB ，則 m）（；2）以原點 O和 A（4,2）為兩個頂點作等腰直角三角形OAB， B 90 ，則點 B

7、的坐標是 （答：2（1,3）或（ 3， 1）（；3）已知 n （ a, b）,向量 n m ，且 n m，則 m 的坐標是答：(b, a)或( b,a) )8. 向量中一些常用的結論 ：（1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；（2）|a| |b| |a b| |a| |b|，特別地，當 a、b同向或有 0 |a b| |a| |b|a| |b| |a b|；當 a、b 反 向或有 0 |a b| |a | |b | |a | |b | a| b；|當 a、b 不共 線|a | |b | a| b | a| | b（|這些和實數(shù)比較類似 ）.3 ) 在 ABC 中 ， 若 A

8、 x1,y1 ,B x2,y2 ,C x3,y3 ， 則 其 重 心 的 坐 標 為x2 x3 y1 y2 y33。如若 ABC的三邊的中點分別為（ 2，1）、（-3 ，4）、-1 ， -1 ），則 ABC24答： ( , ) )；33 PG 13(PA PB PC)G 為 ABC的重心，特別地 PA PB PC3的重心的坐標為0 P 為 ABC 的重心； PA PB PB PC PC PA P 為 ABC 的垂心； 向量 （ AC ）（ 0）所在直線過 ABC的內(nèi)心 （是 BAC 的角平分線所在直線 ） ； |AB| |AC |AB|PC |BC| PA |CA|PB 0 P 是 ABC 的

9、內(nèi)心；向量 PA、PB、PC 中三終點 A、 B、C 共線 存在實數(shù) 、 使得 PA PB PC且1.如平面直角坐標系中， O為坐標原點，已知兩點 A（3,1） , B（ 1,3） ,若點C滿足OC1OA 2OB,原點, 兩定點 A,B滿足OA OB 2,則點集 P |OP OA OB, 1, , R 所其中 1, 2 R且 1 2 1,則點 C 的軌跡是OA OB答：直線 AB）在平面直角坐標系中 , O是坐標表示的區(qū)域的面積是答： 4 3 ） 在正六邊形 ABCDEF 中，點 P 在 EDC 內(nèi)（包括三角形邊界）， AP AB AF ，則 的取值范圍是 （答： 3,4 ）OA OB 1 (

10、OA OB)2 (OA OB)2 ，如：已知 ABC, AB 7,AC 8,BC 9,點 P為4平面 ABC內(nèi)一點，滿足 PA PC7,則PB的取值范圍是 （答： 4,10 ）9. 解決向量問題的常用策略：向量的轉化 ：把未知向量轉化為已知向量（向量的模和夾角已知的或可求的）如：在平行四邊形 ABCD中, AD = 1,BAD 60 , E為 CD的中點. 若AC BE 1, 則 AB的長為. 線段 AB長度為 2，點 A, B分別在 x非負半軸和 y非負半軸上滑動，以線段 AB為一邊，在第一象限內(nèi)作矩形 ABCD ，BC 1，O為坐標原點，則 OC OD的取值范圍是ABC 內(nèi)一點，且 AP2

11、 AB 1 AC ，則 ABP 的面積與 ABC 的面積之比為55. 設 P 為設 ABC, P01是邊 AB上一定點 ,滿足 P0BAB ,且對于邊 AB上任一點 P,恒有 PB PC P0B P0C .則4( 2)幾何法： OA OB OA OC OA BC ； OA OB 表示點 A 到直線 OB 上任一點的距離； a b a b 表示以 a,b 為鄰邊的平行四邊形是矩形； (a b) (a b) 0表示以 a,b為鄰邊的平行四邊形是菱形； a 2, a c 1表示 c 的終點在 a 的終點為圓心， 1 為半徑的圓周上； OA OC OB OC 0 表示點 C 在線段 AB 的中點為圓心， |AB|為直徑的圓周上； OA OC OB OC 0 表示點 C 在線段 AB 的中點為圓心， |AB| 為直徑的圓內(nèi)； OA OC,OB OC 60 表示點 C 在線段 AB 為弦的圓弧上。如： 已知 a,b 是單位向量, a b 0. 若向量 c 滿足c a b 1,則c的取值范圍是1 OA 的范圍是 AB1 AB2, OB1 OB2 1, AP AB1 AB2.若 OP 1,則 a 1,ba b,c滿足 a c b c 0