1、時變電磁場潘錦時變電磁場潘錦靜態(tài)電磁場0t0t電磁波按時間變化情況第3章第4、5、6、7、8章第1頁/共67頁分類分析時變電磁場問題第4章電磁波的典型代表電磁波的傳輸共性問題個性問題電磁波的輻射第5、6章第7章第8章均勻平面波波導天線0t第2頁/共67頁分類分析時變電磁場問題第4章共性問題個性問題0t第3頁/共67頁面對的問題？分析方法？關(guān)聯(lián)的一般性物理問題？典型問題的應用？第4頁/共67頁 本章內(nèi)容 4.1 波動方程 4.2 電磁場的位函數(shù) 4.3 電磁能量守恒定律 4.4 惟一性定理 4.5 時諧電磁場第5頁/共67頁面對的問題：l存在什么源？l在何媒質(zhì)環(huán)境中？分析方法？關(guān)聯(lián)的一般性物理問

2、題？典型問題的應用？第6頁/共67頁DBtBEtDJH0tJMaxwell方程組單一媒質(zhì)空間DEBHJE第7頁/共67頁4.1 波動方程 無源區(qū)的波動方程 麥克斯韋方程組 波動方程: 電場和磁場分別滿足的方程222JHHt 222J1EEtt2220EEt2220HHt 時變電場和磁場以波的形式存在第8頁/共67頁222JHHt 222J1EEtt22()JHHHt 2J+()EHt J01HtHtH 同理可得 推證第9頁/共67頁面對的問題l單一媒質(zhì)環(huán)境！l波動方程的求解！分析方法：l充分利用變電磁場特性關(guān)聯(lián)的一般性物理問題？典型問題的應用？第10頁/共67頁問題：u 在靜電場分析中是通過何

3、 途徑來反映其特性的？u 在靜態(tài)磁場中呢？u 在時變電磁場分析中能否 發(fā)揮同樣作用？第11頁/共67頁位函數(shù)的引入0)(tA0 BABtBAEt 通過位函數(shù)計算電磁場AEt AB問題：l如何求位函數(shù)？l通過位函數(shù)計算電磁場的好處？特點：磁矢位的散度可以任意！第12頁/共67頁 位函數(shù)方程（達朗貝爾方程）)(222tAJtAA2()At 第13頁/共67頁tDJH)(tAtJA)(222tAJtAAtEJB 推證BHEDtAEABAAA2)(第14頁/共67頁 D)(tA同樣tAEED、2()At 第15頁/共67頁 位函數(shù)方程)(222tAJtAA2()At 不利點：磁矢位與電位函數(shù)不能分離！

4、第16頁/共67頁庫侖規(guī)范： 位函數(shù)的規(guī)范條件0A222AAJtt 2 不利點：磁矢位與電位函數(shù)不能分離！第17頁/共67頁洛侖茲規(guī)范： 位函數(shù)的規(guī)范條件(續(xù))222AAJt 0At222t特 點：l磁矢位與電位函數(shù)分離！l磁矢位只依賴于電流，電位函數(shù)只依賴于電荷！l電位函數(shù)可由洛侖茲規(guī)范直接求出（無需單獨求解其微分方程）！第18頁/共67頁面對的問題！分析方法：l利用利用時變電磁場特性關(guān)聯(lián)的一般性物理問題？典型問題的應用？第19頁/共67頁問題：u 在時變電磁場中 位函數(shù)的作用？第20頁/共67頁電磁場的波動方程222JHHt 222J1EEtt222AAJt 1At 位函數(shù)方程AEt AB

5、結(jié)論：l 無源區(qū)兩種方法一樣簡單l 有源區(qū)位函數(shù)方程更簡單第21頁/共67頁面對的問題！分析方法：l求解區(qū)無源，用場的波動方程l求解區(qū)有源，用位函數(shù)方程關(guān)聯(lián)的一般性物理問題？典型問題的應用？第22頁/共67頁面對的問題！分析方法！關(guān)聯(lián)的一般性物理問題：l能量？典型問題的應用？第23頁/共67頁 討論內(nèi)容 坡印廷定理 電磁能量及守恒關(guān)系 坡印廷矢量第24頁/共67頁 進入體積V的能量體積V內(nèi)增加的能量體積V內(nèi)損耗的能量 電磁能量定律ddWtVS問題：數(shù)學表示？第25頁/共67頁電場能量密度：e12w E D磁場能量密度：m12w H B電磁能量總密度：em1122wwwE DH BV內(nèi)的總電磁能

6、量：11d()d22VVWw VE DH BV 特點：當場隨時間變化時，空間各點的電磁場能量密 度也要隨 時間改變，從而引起電磁能量流動。 V內(nèi)存儲的電磁能量ddWtVS啟示：圍繞體積內(nèi)儲能隨時間 的變化來描述能量關(guān)系第26頁/共67頁將以上兩式相減，得到由tBtDJHtBHHtDJHtBHtDJHH1()2D Dtt1()2BHH Btt()A BBAAB ()H J 11()22 DH Bt 電磁能量守恒定律的數(shù)學表示坡印廷定理第27頁/共67頁積分形式（瞬時功率關(guān)系） ：VVSVJEVBHDEtSHEdd)2121(ddd)(JEBHDEtHE)2121()(坡印廷定理及物理解釋微分形式

7、（瞬時功率密度關(guān)系）： 體積V 內(nèi)所增加 的電磁功率 體積V內(nèi)的功率損耗 流入體積V 的電磁功率 （新物理量）d dPWPt入耗第28頁/共67頁 定義： ( W/m2 )HS 物理意義： 的方向 電磁能量傳輸?shù)姆较騍 的大小 通過垂直于能量傳輸方 向單位面積的電磁功率S 描述時變電磁場中電磁能量傳輸（流動）的特性 坡印廷矢量（能流密度矢量） H S 能能流流密密度度矢矢量量 E O流過單位面積的功率第29頁/共67頁 坡印廷定理的一個推論惟一性定理 VS如果： lV內(nèi)方程不變l電磁場的初值不變lS上的邊界條件不變則：V內(nèi)電磁場的解惟一。第30頁/共67頁0t2220EEt222AAJt 11

8、( )()22StE DH BE J 第31頁/共67頁面對的問題！分析方法！關(guān)聯(lián)的一般性物理問題！應用中的典型問題？l時諧電磁場問題第32頁/共67頁 復矢量的麥克斯韋方程 時諧電磁場的復數(shù)表示 復電容率和復磁導率 時諧場的位函數(shù) 亥姆霍茲方程 平均能流密度矢量第33頁/共67頁 時諧電磁場的概念0( , )cos( )A r tAtr0( , )sin( )A r tAtr物理量隨時間按正弦規(guī)律變化的問題，因此也叫正弦電磁場問題第34頁/共67頁 時諧電磁場問題求解的有利因素( , )( ) ( )F r tF r T t( )j tA r e( , )A r t時-空可以分離求解！即：

9、可以獨立分析物理量的 空間變化和時間變化方法：用復數(shù)表示出物理量的時空關(guān)系實數(shù)表示法或瞬時表示法復數(shù)表示法000jj ( )j0j( , )( )cos( ) Reeee Re ( )erttA r tA rtrAA r第35頁/共67頁 復數(shù)表示對時諧量關(guān)于時間求導和積分的運算的優(yōu)點j( , )Re( )etA r tj A rt( )jA r( , )A r ttjtj( , )Re ( )etA r tA rj1( , )Re( )etdtA r tA rj( )j A r( , )A r tt1jdt求導積分第36頁/共67頁 麥克斯韋方程的復數(shù)表示復矢量Maxwell方程( , )(

10、 , )( , )( , )( , )( , )0( , )( , )r tr tr ttr tr ttr tr tr t DHJBEBD( )( )j( )( )j( )( )( )( )0H rJ rD rE rB rD rrB r ( , )( , )r tJ r tt ( )( )J rjr 第37頁/共67頁222t tj 瞬時矢量復矢量222200kkEEHH()k 22222200ttEEHH 無源區(qū)波動方程的復數(shù)表示亥姆霍茲方程第38頁/共67頁洛侖茲條件瞬時矢量復矢量t Aj A222222tt AAJ2222kk AAJ 有源區(qū)位函數(shù)方程的復數(shù)表示AEt AB通過位函數(shù)求場

11、AEj Aj AB第39頁/共67頁 導電媒質(zhì)的簡略表示法復介電常數(shù)( )( )( )j( )H rJrE rE r 外( )( )( )j( )H rJrJrD r 外( )( )J rE r ( )( )D rE r ( )( )j () ( )H rJrjE r 外( )( )j( )cH rJrE r 外第40頁/共67頁媒質(zhì)的損耗角正切cj對電磁波而言，媒質(zhì)復介電常數(shù)虛部的起對電磁波衰減的作用。因此對電磁波傳播而言，介電常數(shù)/磁導率具有虛部的介質(zhì)也叫損耗介質(zhì)，tantan，電介質(zhì)tan，導電媒質(zhì)磁介質(zhì)1 弱導電媒質(zhì)和良絕緣體1 普通導電媒質(zhì)1 良導體導電媒質(zhì)的分類 傳導電流與位移電流

12、的比其虛部與實部的比,稱為損耗角正切：第41頁/共67頁222200cckkEEHH()cck 有耗媒質(zhì)中波動方程的復數(shù)表示2222ccckk AAJ外外洛侖茲條件jc AAEt AB通過位函數(shù)求場cAEj Aj AB無源區(qū)有源區(qū)第42頁/共67頁洛侖茲條件瞬時矢量復矢量ct Ajc A222222ccctt AAJ2222ccckk AAJ外外 有源區(qū)位函數(shù)方程的復數(shù)表示AEt AB通過位函數(shù)求場cAEj Aj AB第43頁/共67頁瞬時功率關(guān)系 ：11d()dd22SVVVVtSSE DH BE J 面元11()22StE DH BE J 瞬時功率密度關(guān)系： 瞬時能量/功率密度和能流密度矢

13、量 特 別 注 意：l 式中各量均必須為實數(shù)表示形式l 求解需首先寫出各量的實數(shù)形式，然后才能帶入相應關(guān) 系求解。如：( , )( , )SE r tH r t 第44頁/共67頁例：計算瞬時Poyting矢量 ( , )( , )( , ) Re ( ) Re( ) j tj tS r tE r tH r tE r eH r e 1( , )( , )21 Re ( ) Re ( )2ej tj twr tr tr er eEDED 例：計算瞬時存儲的電場能量密度 例：計算瞬時功率密度消耗( , )( , ) Re ( ) Re ( )lossj tj tpr tr tr er eEJEJ

14、求解時必須先得場源量的瞬時表達式！第45頁/共67頁001( , )lim( , )1 =( , )TavTTAr tA r t dtTA r t dtT時間函數(shù)的時間平均定義： 平均能量/功率密度和能流密度矢量 對于時間為T的周期函數(shù)第46頁/共67頁000*1( )( , )1 ( , )( , )1 Re ( ) Re( )1 =Re ( )( )2TavTTj tj tSrS r t dtTE r tH r t dtTE r eH r edtTE rHr 平均Poyting矢量（能流密度矢量 ）求解時無需寫出場源量的瞬時表達式！第47頁/共67頁000*1( )( , )11 ( ,

15、)( , )211 Re ( ) Re ( )21 =Re ( )( )41 ( )( )4TEavETTj tj twrwr t dtTD r t E r t dtTD r eE r edtTD r E rE r E r 平均電場能量密度求解時無需寫出場源量的瞬時表達式！第48頁/共67頁000*1( )( , )11 ( , )( , )211 Re ( ) Re( )21 =Re ( )( )41 ( )( )4TMavMTTj tj twrwr t dtTB r t H r t dtTB r eH r edtTB r HrH r Hr 平均磁場能量密度求解時無需寫出場源量的瞬時表達式！

16、第49頁/共67頁000*1( )( , )1 ( , )( , )1 Re( ) Re ( )1 =Re( )( )21 ( )( )2TJavJTTj tj tprpr t dtTJ r t E r t dtTE r eE r edtTE r E rE r E r 平均焦耳損耗功率密度求解時無需寫出場源量的瞬時表達式！第50頁/共67頁jt220cEk E22cAk AJ 外( , )( , )SE r tH r t *1Re ( )( )2SE rHr jc A第51頁/共67頁面對的問題！分析方法！關(guān)聯(lián)的一般性物理問題！典型問題的應用！第52頁/共67頁分類分析時變電磁場問題第4章共性

17、問題個性問題0tjt第53頁/共67頁0tjt第54頁/共67頁 例 將下列場矢量的瞬時值形式寫為復數(shù)形式mm( , )cos()sin()xxxyyyE z te Etkze Etkz解：（1）由于mm( , )cos()cos()2xxxyyyE z te Etkze Etkzj(/2)j()mmReeeyxt kzt kzxxyye Ee Ej(/2)j()mmm( )eeyxkzkzxxyyEze Ee Ejjjmm(eje)eyxkzxxyye Ee E所以第55頁/共67頁 例 已知電場強度復矢量mm( )jcos()xxzEze Ek z解jmj()2m( , )Rejcos()

18、eRecos()etxxztxxzE z te Ek ze Ek zmcos()cos()2xxze Ek zt其中kz和Exm為實常數(shù)。寫出電場強度的瞬時矢量mcos()sin()xxze Ek zt 第56頁/共67頁 例 求圖示靜態(tài)場問題：（1）在導體為理想導體的情況下，計算同軸線中傳輸?shù)墓β剩唬?）當導體的電導率有限值時，計算通過內(nèi)導體表面進入每單位長度內(nèi)導體的功率。同軸線第57頁/共67頁 解：（1）,ln()UEeb a()ab2IHe2 ()ln()22ln()zUIUISEHeeeb ab a因此，內(nèi)外導體之間任意橫截面上的坡印廷矢量第58頁/共67頁2d2 d2ln()bzS

19、aUIPS e SUIb a 通過任意橫截面的功率為同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（理想導體情況）第59頁/共67頁 （2）當導體的電導率為有限值時，導體內(nèi)部存在沿電流方向的電場內(nèi)2zJIEea根據(jù)邊界條件，在內(nèi)導體表面上電場的切向分量連續(xù)，即因此，在內(nèi)導體表面外側(cè)的電場為zzEE外 內(nèi)2ln()zaUIEeeab aa外2aIHea外磁場則仍為內(nèi)導體表面外側(cè)的坡印廷矢量為2232()22ln()zaaIUISEHeeaab a 外外外同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導體情況）第60頁/共67頁式中 是單位長度內(nèi)導體的電阻。即，進入內(nèi)導體中功率等于這段導體的焦耳損耗功率。221223

20、20()d2 d2lSaIIPSSa zR Iaa e外21lRa由此可見，進入每單位長度內(nèi)導體的功率為同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導體情況）第61頁/共67頁 解：（1）由得0j EHj000jj000011( )( )()(e)jj1(e)ejkzzykzkzxxzzEzkEEz HEeeee（2）電場和磁場的瞬時值為j00( , )Re( )ecos()txkEz tztkz HHej0( , )Re( )ecos()tyz tzEtkzEEe 例4.5.4已知無源的自由空間中，電磁場的電場強度復矢量為 ，其中k 和 E0 為常數(shù)。求：（1）磁場強度復矢量 ；（2）瞬時坡印廷