1、專題檢測（二十五）專題檢測（二十五） 不等式選講不等式選講 大題專攻強化練 1(2018 全國卷)已知 f(x)|x1|ax1|. (1)當 a1時，求不等式 f(x)1的解集； (2)若 x(0，1)時不等式 f(x)x成立，求 a的取值范圍 解：(1)當 a1時，f(x)|x1|x1|， 即 f(x)2，x1，2x，1x1的解集為xx12. (2)當 x(0，1)時|x1|ax1|x 成立等價于當 x(0，1)時|ax1|0，則|ax1|1的解集為x0 x2a， 所以2a1，故 0a2. 綜上，a的取值范圍為(0，2 2(2019 濟南市模擬考試)已知函數(shù) f(x)|x2|2x1|. (1

2、)求不等式 f(x)3 的解集； (2)若不等式 f(x)ax 的解集為空集，求實數(shù) a 的取值范圍 解：(1)法一：由題意 f(x)3x3，x12，x1，12x2，3x3，x2， 當 x12時，f(x)3x33，解得 x0， 即 0 x12， 當12x2時，f(x)x13，解得 x2， 即12x2， 當 x2 時，f(x)3x33，解得 x2，即 x2. 綜上所述，原不等式的解集為0，2 法二：由題意 f(x) 3x3，x12，x1，12x2，3x3，x2， 作出 f(x)的圖象如圖所示， 注意到當 x0或 x2時，f(x)3， 結(jié)合圖象，不等式的解集為0，2 (2)由(1)可知，f(x)的

3、圖象如圖所示， 不等式 f(x)ax的解集為空集可轉(zhuǎn)化為 f(x)ax 對任意 xr r 恒成立， 即函數(shù) yax 的圖象始終在函數(shù) yf(x)的圖象的下方， 當直線 yax過點 a(2，3)以及與直線 y3x3平行時為臨界情況， 所以3a32，即實數(shù) a的取值范圍為3，32. 3(2019 鄭州市第二次質(zhì)量預測)設(shè)函數(shù) f(x)|ax1|xa|(a0)，g(x)x2x. (1)當 a1時，求不等式 g(x)f(x)的解集； (2)已知 f(x)2 恒成立，求 a的取值范圍 解：(1)當 a1時， f(x)|x1|x1|2x，x1，2，1x1，2x，x1， 當 x1時，x2x2x，得 x1；

4、當1x1時，x2x2，即 x1或 x2，舍去； 當 x1 時，x2x2x，得 x3. 綜上，原不等式的解集為x|x1或 x3 (2)f(x)|ax1|xa| （a1）x1a，x1a，（a1）x1a，1axa，（a1）x1a，xa， 當 0a1 時，f(x)minf(a)a212，a1； 當 a1時，f(x)minf 1aa1a2，a1. 綜上，a的取值范圍為1，) 4(2019 洛陽市統(tǒng)考)已知 f(x)|x1|，g(x)2|x|a. (1)當 a1 時，求不等式 f(x)g(x)的解集； (2)若存在 x0r r，使得 f(x0)g(x0)成立，求 a的取值范圍 解：(1)當 a1 時原不等

5、式可化為|x1|2|x|1， 設(shè) (x)|x1|2|x|，則 (x)x1，x1，3x1，1x0，x1，x0， 則x1，x11或1x0，3x11或x0，x11， 即23x2. 原不等式的解集為x23x2 . (2)存在 x0r r 使得 f(x0)g(x0)成立，等價于|x1|2|x|a 有解，即|x1|2|x|a 有解 即 (x)a有解，即 a(x)max. 由(1)可知，(x)在(，0)上單調(diào)遞增，在0，)上單調(diào)遞減 (x)max(0)1， a1. 5(2019 福州市質(zhì)量檢測)已知不等式|2x1|2x1|4的解集為 m. (1)求集合 m； (2)設(shè)實數(shù) am，bm，證明：|ab|1|a|

6、b|. 解：(1)法一：當 x12時，不等式化為：2x112x4，即 x1， 所以1x12； 當12x12時，不等式化為：2x12x14，即 24， 所以12x12； 當 x12時，不等式化為：2x12x14，即 x1， 所以12x1. 綜上可知，mx|1x1 法二：設(shè) f(x)|2x1|2x1|， 則 f(x)4x，x12，2，12x12，4x，x12， 函數(shù) f(x)的圖象如圖所示， 若 f(x)4，由上圖可得，1x1. 所以 mx|1x1 (2)證明：法一：因為 am，bm，所以|a|1，|b|1. 而|ab|1(|a|b|) |ab|1|a|b| (|a|1)(|b|1)0， 所以|a

7、b|1|a|b|. 法二：要證|ab|1|a|b|， 只需證|a|b|1|a|b|0， 只需證(|a|1)(|b|1)0， 因為 am，bm，所以|a|1，|b|1， 所以(|a|1)(|b|1)0 成立 所以|ab|1|a|b|成立 6(2019 合肥市高三模擬)設(shè) f(x)3|x1|x1|的最小值為 k. (1)求實數(shù) k的值； (2)設(shè) m，nr r，m0，m24n2k，求證：1m21n2132. 解：(1)f(x)3|x1|x1| 4x2，x1，2x4，1x1，4x2，x1， 當 x1 時，f(x)取得最小值 k2. (2)證明：依題意，m24n22. 1m21n211m244n24

8、1m244n24()m24n24 16 1614n24m24m24n244 16(52 4) 32. 當且僅當4n24m24m24n24，即 m22，n20時，等號成立 7(2019 江西省五校協(xié)作體試題)已知函數(shù) f(x)|x1|3xa|，若 f(x)的最小值為 1. (1)求實數(shù) a的值； (2)若 a0，m，n均為正實數(shù)，且滿足 mna2，求 m2n2的最小值 解：(1)f(x)|x1|3xa|， 當 a3，即1a3時，f(x) 4x1a，xa3，2xa1，a3x1，4xa1，x1， f(1)f a3(3a)a31 2（a3）30， f(1)f a3， 則當 xa3時，f(x)min4a

9、31a1， a6. 當 a3，即1a3時，f(x) 4x1a，x1，2xa1，1x0， f(1)f a3， 則當 xa3時，f(x)min4a31a1， a0. 當 a3，即1a3時，f(x)4|x1|， 當 x1時，f(x)min0不滿足題意 綜上，a0或 a6. (2)由題意知，mn3.m0，n0， (mn)2m2n22mn(m2n2)(m2n2)2(m2n2)， 即 m2n212(mn)2， 當且僅當 mn32時取“” 所以 m2n292，故 m2n2的最小值為92. 8(2019 長沙市統(tǒng)一模擬考試)已知函數(shù) f(x)x|xa|，ar r. (1)當 f(1)f(1)1時，求 a的取值范圍； (2)若 a0，x，y(，a，不等式 f(x)y54|ya|恒成立，求 a 的取值范圍 解：(1)f(1)f(1)|1a|1a|1， 若 a1，則 1a1a1，得 21，即 a1； 若1a1，得 a12，即1a1，得21，此時不等式無解 綜上所述，a的取值范圍是，12. (2)由題意知，要使不等式恒成立， 只需 f(x)