1、 第11講：軸對稱【問題概述】初中數(shù)學最值問題是每年中考必出題，更是圖論研究中的一個經典算法問題， 旨在尋找圖（由結點和路徑組成的）中兩結點之間的最短路徑?！締栴}原型】“將軍飲馬”，“造橋選址”，“費馬點”【涉及知識】“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”，“三角形三邊關系”，“軸對稱”，“平移”【出題背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標軸、拋物線等【解題思路】找對稱點實現(xiàn)“折”轉“直”，近兩年出現(xiàn)“三折線”轉“直”等變式問題考查一【十二個基本問題】【問題 1】作法作圖原理在直線 l 上求一點 P，使PA+PB 值最小。連 AB，與 l 交點即為 P兩點之間線段最短PA+PB 最

2、小值為 AB【問題 2】作法作圖原理在直線 l 上求一點 P，使PA+PB 值最小作 B 關于 l 的對稱點 B連 A B，與 l 交點即為 P兩點之間線段最短PA+PB 最小值為A B【問題 3】“將軍飲馬”作法作圖原理在直線 l1 、 l2 上分別求點M、N，使PMN 的周長最小分別作點 P 關于兩直線的對稱點 P和 P，連 PP，與兩直線交點即為 M，N兩點之間線段最短PM+MN+PN 的最小值為線段 PP的長?！締栴} 4】作法作圖原理在直線 l1 、 l2 上分別求點M 、N ，使四邊形 PQMN的周長最小。分別作點 Q 、P 關于直線l1 、 l2 的對稱點 Q和 P連 QP，與兩直

3、線交點即為 M，N兩點之間線段最短四邊形 PQMN 周長的最小值為線段 QP的長?！締栴} 5】“造橋選址”作法作圖原理直線 m n ，在 m 、 n，上分別求點 M、N，使 MNm ，且 AM+MN+BN的值最小。將點 A 向下平移 MN 的長度單位得 A，連 AB，交 n于點 N，過 N 作 NM m 于M .兩點之間線段最短AM+MN+BN 的最小值為AB+MN【問題 6】作法作圖原理在直線 l 上求兩點 M、N（M在左），使 MN = a ，并使AM+MN+NB 的值最小 .將點 A 向右平移 a 個長度單位得 A，作 A關于 l的對稱點 A，連 AB，交直線 l 于點 N，將 N 點向

4、左平移 a 個單位得 M兩點之間線段最短AM+MN+BN 的最小值為AB+MN【問題 7】作法作圖原理在 l1 上求點 A，在 l2 上求點 B，使 PA+AB 值最小作點 P 關于 l1 的對稱點P，作 PB l2于B，交l1 于 A點到直線，垂線段最短PA+AB 的值最小為PB 【問題 8】作法作圖原理A 為 l1 上一定點，B 為 l2 上；A 為 l1 上一定點，B 為 l2上一定點，在 l2 上求點M在l1上求點N ， 使AM+MN+NB 的值最小作點 A 關于 l2 的對稱點A，作點 B 關于 l1 的對稱點 B，連 AB交l2 于M，交 l1 于 N .兩點之間線段最短AM+MN

5、+NB 的最小值為線段 AB的長【問題 9】作法作圖原理在直線 l 上求一點 P，使的值最小 .連 AB，作 AB 的中垂線與直線 l 的交點即為 P垂直平分上的點到線段兩端點的距離相等0 .【問題 10】作法作圖原理在直線 l 上求一點 P，使的值最大 .作直線 AB，與直線 l 的交點即為 P三角形任意兩邊之差小于第三邊AB .【問題 11】作法作圖原理在直線 l 上求一點 P，使的值最大 .作 B 關于 l 的對稱點 B作直線 A B，與 l 交點即為 P三角形任意兩邊之差小于第三邊AB .【問題 12】“費馬點”作法作圖原理ABC 中每一內角都小于120°，在ABC 內求一點

6、P，使 PA+PB+PC 值最小所求點為“費馬點”，即滿足APBBPCAPC120°以 AB、AC為邊向外作等邊ABD、ACE，連 CD、BE 相交于 P，點 P 即為所求兩點之間線段最短PA+PB+PC 最小值CD二“一次對稱”常見模型:【精品練習】1 如圖所示，正方形 ABCD 的面積為 12，ABE 是等邊三角形，點 E 在正方形 ABCD 內，在對角線 AC 上有一點 P，使 PD+PE 的和最小，則這個最小值為（）A.2 B. 2 C.3 D. 2 如圖，在邊長為 2 的菱形 ABCD 中，ABC60°，若將ACD 繞點 A 旋轉，當 AC、AD分別與 BC、CD

7、交于點 E、F，則CEF 的周長的最小值為（ ）A.2 B.2 C.2 D. 4 3四邊形 ABCD 中，BD90°，C70°，在 BC、CD 上分別找一點 M、N，使AMN 的周長最小時，AMN+ANM 的度數(shù)為（ ） A120°B130°C110°D140°4如圖，在銳角ABC 中，AB4，BAC45°，BAC45°，BAC 的平分線交 BC 于點 D，M、N 分別是 AD 和AB上的動點，則 BM+MN 的最小值是_。 5如圖，RtABC 中，C90°，B30°，AB6，點 E 在 AB

8、邊上，點 D 在 BC 邊上（不與點 B、C 重合），且 EDAE，則線段 AE 的取值范圍是_。6如圖，AOB30°，點 M、N 分別在邊 OA、OB 上，且 OM1，ON3，點 P、Q 分別在邊 OB、OA 上，則 MPPQQN 的最小值是_（注“勾股定理”：直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即 RtABC 中，C90°，則有 AC 2 + BC 2 = AB 2 ）7如圖，三角形ABC 中，OABAOB15°，點 B 在 x 軸的正半軸，坐標為 B( 6，0)OC 平分AOB,點 M 在 OC 的延長線上，點 N 為邊 OA 上的點，則 MAMN

9、的最小值_。8已知 A（2，4）、B（4，2）C 在 y 軸上，D 在 x 軸上，則四邊形 ABCD 的周長最小值為_。此時 C、D 兩點的坐標分別為_。9已知 A（1，1）、B（4，2）（1）P 為 x 軸上一動點，求 PA+PB 的最小值和此時 P 點的坐標；（2）P 為 x 軸上一動點，求 PA - PB 的值最大時 P 點的坐標；（3）CD 為 x 軸上一條動線段，D 在 C 點右邊且 CD1，求當 AC+CD+DB 的最小值和此時 C 點的坐標；10 點 C 為AOB 內一點（1）在 OA 求作點 D，OB 上求作點 E，使CDE 的周長最小，請畫出圖形；（2）在（1）的條件下，若AOB30°，OC10，求CDE 周長的最小值和此時DCE 的度數(shù)11（1）如圖，ABD 和ACE 均為等邊三角形，BE、CE 交于 F，連 AF，求證：AF+BF+CFCD；（2）在ABC 中，ABC30°，AB6，BC8