1、 勾股定理點(diǎn)擊一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2b2 = c2 即直角三角形兩直角的平方和等于斜邊的平方因此，在運(yùn)用勾股定理計(jì)算三角形的邊長(zhǎng)時(shí)，要注意如下三點(diǎn)：（1）注意勾股定理的使用條件：只對(duì)直角三角形適用，而不適用于銳角三角形和鈍角三角形；（2）注意分清斜邊和直角邊，避免盲目代入公式致錯(cuò)；（3）注意勾股定理公式的變形：在直角三角形中，已知任意兩邊，可求第三邊長(zhǎng) 即c2= a2b2，a2= c2b2，b2= c2a2點(diǎn)擊二：學(xué)會(huì)用拼圖法驗(yàn)證勾股定理拼圖法驗(yàn)證勾股定理的基本思想是：借助于圖形的面積來驗(yàn)證，依據(jù)是對(duì)圖形經(jīng)過割補(bǔ)、拼接后面積不變的原理如，利

2、用四個(gè)如圖1所示的直角三角形三角形，拼出如圖2所示的三個(gè)圖形請(qǐng)讀者證明如上圖示，在圖（1）中，利用圖1邊長(zhǎng)為a，b，c的四個(gè)直角三角形拼成的一個(gè)以c為邊長(zhǎng)的正方形，則圖2（1）中的小正方形的邊長(zhǎng)為（ba），面積為（ba）2，四個(gè)直角三角形的面積為4×ab = 2ab 由圖（1）可知，大正方形的面積 =四個(gè)直角三角形的面積小正方形的的面積，即c2 =（ba）22ab，則a2b2 = c2問題得證請(qǐng)同學(xué)們自己證明圖（2）、（3）點(diǎn)擊三：在數(shù)軸上表示無理數(shù)將在數(shù)軸上表示無理數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為化長(zhǎng)為無理數(shù)的線段長(zhǎng)問題第一步：利用勾股定理拆分出哪兩條線段長(zhǎng)的平方和等于所畫線段（斜邊）長(zhǎng)的平方，注意

3、一般其中一條線段的長(zhǎng)是整數(shù)；第二步：以數(shù)軸原點(diǎn)為直角三角形斜邊的頂點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形；第三步：以數(shù)軸原點(diǎn)圓心，以斜邊長(zhǎng)為半徑畫弧，即可在數(shù)軸上找到表示該無理數(shù)的點(diǎn)點(diǎn)擊四：直角三角形邊與面積的關(guān)系及應(yīng)用直角三角形有許多屬性，除邊與邊、邊與角、角與角的關(guān)系外，邊與面積也有內(nèi)的聯(lián)系.設(shè)、為直角三角形的兩條直角邊，為斜邊，為面積，于是有：，所以.即.也就是說，直角三角形的面積等于兩直角邊和的平方與斜邊平方差的四分之一.利用該公式來計(jì)算直角三角形的有關(guān)面積、周長(zhǎng)、斜邊上的高等問題，顯得十分簡(jiǎn)便.點(diǎn)擊五：熟練掌握勾股定理的各種表達(dá)形式如圖2，在Rt中,0,A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,則c2=a2+b

4、2, a2=c2-b2 , b2=c2-a2,點(diǎn)擊六：勾股定理的應(yīng)用（1）已知直角三角形的兩條邊，求第三邊；（2）已知直角三角形的一邊，求另兩條邊的關(guān)系；（3）用于推導(dǎo)線段平方關(guān)系的問題等（4）用勾股定理，在數(shù)軸上作出表示、的點(diǎn)，即作出長(zhǎng)為的線段針對(duì)練習(xí):1下列說法正確的是（）A若 a、b、c是ABC的三邊，則a2b2c2 ABCB若 a、b、c是RtABC的三邊，則a2b2c2C若 a、b、c是RtABC的三邊，則a2b2c2D若 a、b、c是RtABC的三邊，則a2b2c22一個(gè)直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，下列說法正確的是（ ） A斜邊長(zhǎng)為25 B三角形周長(zhǎng)為25 C斜邊長(zhǎng)為5

5、D三角形面積為203如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長(zhǎng)為無理數(shù)的邊數(shù)是（ ）A 0 B 1 C 2 D 34如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A所表示的數(shù)為x，則x210的立方根為（ ）A-10 B-10 C2 D-25把直角三角形的兩條直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來的2倍，則斜邊擴(kuò)大到原來的（ ）A 2倍B 4倍C 6倍D 8倍6小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1 m，當(dāng)它把繩子的下端拉開5 m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的高為 （ ）A8cm B10cm C12cm D14cm7ABC中，AB15，AC13，高AD12，則ABC的周長(zhǎng)為（） A42 B

6、32 C42 或 32 D37 或 33abcl8如圖，直線上有三個(gè)正方形，若的面積分別為5和11，則的面積為（）（）4（）6（）16（）559.已知直角三角形的周長(zhǎng)為2，斜邊上的中線為1，求它的面積.10.直角三角形的面積為120，斜邊長(zhǎng)為26，求它的周長(zhǎng).11.如圖，在RtABC中，ACB=90°，CDAB于D，AB=13cm，AC于BC之和等于17cm，求CD的長(zhǎng).類型之一：勾股定理例1：如果直角三角形的斜邊與一條直角邊的長(zhǎng)分別是13cm和5cm，那么這個(gè)直角三角形的面積是 cm2解析：欲求直角三角形的面積，已知一直角三角形的斜邊與一條直角邊的長(zhǎng)，則求得另一直角邊的長(zhǎng)即可 根據(jù)

7、勾股定理公式的變形，可求得解：由勾股定理，得13252=144，所以另一條直角邊的長(zhǎng)為12所以這個(gè)直角三角形的面積是×12×5 = 30（cm2）類型之二：在數(shù)軸上表示無理數(shù)例3：在數(shù)軸上作出表示的點(diǎn)解析：根據(jù)在數(shù)軸上表示無理數(shù)的方法，需先把視為直角三角形斜邊的長(zhǎng)，再確定出兩直角邊的長(zhǎng)度后即可在數(shù)軸上作出解：以為斜邊的直角三角形的兩直角邊可以是3和1，所以需在數(shù)軸上找出兩段分別長(zhǎng)為3和1的線段，如圖所示，然后即可確定斜邊長(zhǎng)，再用圓規(guī)在數(shù)軸上作出長(zhǎng)為的線段即可下面的問題是關(guān)于數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)與勾股定理知識(shí)的綜合運(yùn)用例5：閱讀材料，第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽它的主題圖案是由一

8、連串如圖所示的直角三角形演化而成的設(shè)其中的第一個(gè)直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A8A9=1，請(qǐng)你先把圖中其它8條線段的長(zhǎng)計(jì)算出來，填在下面的表格中，然后再計(jì)算這8條線段的長(zhǎng)的乘積OA1OA2OA3OA4OA5OA6OA7OA8解：；這8條線段的長(zhǎng)的乘積是例6：2002年8月在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的勾股圓方圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊為a，較長(zhǎng)直角邊為b，那么的值為（ ）（A）13 （B）19 （C）25

9、（D）169解析：由勾股定理，結(jié)合題意得a2+b2=13 . 由題意，得 (b-a)2=1 .由，得 a2+b2-2ab =1 . 把代入，得 13-2ab=1 2ab=12. (a+b)2 = a2+b2+2ab =13+12=25.因此，選C.類型之四：勾股定理的應(yīng)用（一）求邊長(zhǎng)例1：已知：如圖，在ABC中，ACB90º，AB5cm，BC3cm，CDAB于D，求CD的長(zhǎng).（二）求面積（三）作線段例3作長(zhǎng)為、的線段解析：作法：1作直角邊長(zhǎng)為1（單位長(zhǎng)）的等腰直角三角形ACB（如圖）；2以斜邊AB為一直角邊，作另一直角邊長(zhǎng)為1的直角三角形ABB1；3順次這樣作下去，最后作到直角三角形

10、AB2B3，這時(shí)斜邊AB、AB1、AB2、AB3的長(zhǎng)度就是、證明：根據(jù)勾股定理，在RtACB中，AB>0，AB=其他同理可證點(diǎn)評(píng)由勾股定理，直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)就等于，直角邊長(zhǎng)為、1的直角三角形的斜邊長(zhǎng)就是類似地也可作出；將上圖無限地向兩個(gè)方向畫下去就可得到“勾股樹”，請(qǐng)你試試看（四）證明平方關(guān)系例4：已知：如圖，在中，是邊上的中線，于，求證：.解析：根據(jù)勾股定理，在中，在中，在中，.又，.點(diǎn)評(píng)證明線段的平方差或和，常常要考慮到運(yùn)用勾股定理；若無直角三角形，則可通過作垂線的方法，構(gòu)成直角三角形，以便為運(yùn)用勾股定理創(chuàng)造必要的條件.（五）實(shí)際應(yīng)用 一、 選擇題1、有六根細(xì)木棒

11、，它們的長(zhǎng)度分別是2、4、6、8、10、12（單位：cm），從中取出三根首尾順次連結(jié)搭成一個(gè)直角三角形，則這三根細(xì)木棒的長(zhǎng)度分別為（ ）（A）2、4、8 （B）4、8、10 （C）6、8、10 （D）8、10、122、木工師傅想利用木條制作一個(gè)直角三角形的工具，那么他要選擇的三根木條的長(zhǎng)度應(yīng)符合下列哪一組數(shù)據(jù)？（ ） A.25，48，80 B15，17，62 C25，59，74 D32，60，683、如果直角三角形的三條邊2，4，a，那么a的取值可以有（ ）（A）0個(gè) （B）1個(gè) （C）2個(gè) （D）3個(gè)4、已知直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊長(zhǎng)是2厘米，則斜邊的長(zhǎng)是（ ）（A）2厘米

12、（B）4厘米（C）6厘米（D）8厘米5、如圖，直角三角形三邊上的半圓的面積依次從小到大記作S、S、S，則S、S、S之間的關(guān)系是（ ）（A）S+S>S （B）S+S<S （C）S+S=S （D）S+S=S二、填空題1、若直角三角形斜邊長(zhǎng)為6，則這個(gè)三角形斜邊上的中線長(zhǎng)為_.2、如果直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別是5cm和12cm，那么這個(gè)直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)等于 cm3、如圖，CD是RtABC斜邊AB上的中線，若CD=4，則AB= 4、在ABC中，A：B：C1：2：3已知BC3cm，則AB cm5、如圖，是一個(gè)外輪廓為矩形的機(jī)器零件平面示意圖，根據(jù)圖中標(biāo)出尺寸（單位：mm）計(jì)算兩

13、圓孔中心A和B的距離為 . 60120140B60AC第5題圖76、如圖：有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了 米三、解答題一、選擇題1、 如圖，字母A所代表的的正方形的面積為（數(shù)字表示該正方形的面積）（ ）A、13B、85C、8D、都不對(duì)2、 在RtABC中，有兩邊的長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊的長(zhǎng)（ ）A、5B、C、5或D、5或3、 等腰三角形底邊上的高是8，周長(zhǎng)是32，則三角形的面積是（ ）A、56B、48C、40D、324、 若線段a、b、c能構(gòu)成直角三角形，則它們的比為（ ）A、2:3:4B、3:4:6C、5:12:13D、

14、4:6:75、 一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的2倍，其對(duì)角線的長(zhǎng)是5cm，則長(zhǎng)方形的面積（ ）A、B、C、D、6、 一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角之比為1：2：1，其相對(duì)應(yīng)三邊之比為（ ）A、1:2:1B、C、1:4:1D、12:1:27、 斜邊長(zhǎng)25，一條直角邊長(zhǎng)為7的直角三角形面積為（ ）A、81B、82C、83D、848、若直角三角形中，有一個(gè)銳角為，且斜邊與較短直角邊之和為18，則斜邊長(zhǎng)為（ ）A、4cmB、6cmC、8cmD、12cm9、如圖ABC中，C90°，AD平分BAC，DEAB于E，下面等式錯(cuò)誤的是（ ）A、AC2+DC2=AD2B、AD2DE2AE2C、AD2=DE2+AC2D、BD2

15、BE2BC210.圖是2002年8 月北京第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，由4 個(gè)全等的直角三角形拼合而成.若圖中大小正方形面積分別是62和4，則直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為（ ）A、6，4B、62，4C、62，4D、6， 4二、填空：1、在ABC中， C90°，a，b，c分別為A B C的對(duì)邊 （1）若a=6，c=10則b= （2）若a=12，b=5 則c= （3）若c=25，b=15則a= （4）若a16，b=34則b= 2、三邊長(zhǎng)分別為1，1，1的三角形是 角三角形.3、在ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，則ABC的面積是 4、如圖點(diǎn)C是以為AB直徑的半圓上的一點(diǎn)，則圖中

16、陰影部分的面積是 6、在RtABC中，且BC=136則AC= 7、直角三角形的一直角邊為8cm，斜邊為10cm，則這個(gè)直角三角形的面積是 斜邊上的高為 8、 ABC中， 則a:b:c= 9、 三角形三個(gè)內(nèi)角之比為1：2：3，它的最長(zhǎng)邊為a，那么以其余兩邊為邊所作的正方形面積分別為 10、有兩根木條，長(zhǎng)分別為60cm和80cm，現(xiàn)再截一根木條做一個(gè)鈍角三角形，則第三根木條x長(zhǎng)度的取值范圍 三解答題1、如如圖要建一個(gè)苗圃，它的寬是a=4.8厘米，高b=3.6米.苗圃總長(zhǎng)是10米（1）求苗圃的占地面積（2）覆蓋在頂上的塑料薄膜需要多少平方米?2、如圖在四邊形ABCD中，求正方形DCEF的面積 3、如

17、圖在銳角ABC中，高AD=12，AC=13，BC=14求AB的長(zhǎng) 4、八年級(jí)學(xué)生準(zhǔn)備測(cè)量校園人工湖的深度，他們把一根竹竿插到離湖邊1米的水底，只見竹竿高出水面1尺，把竹竿的頂端拉向湖邊（底端不變）竿頂和湖沿的水面剛好平齊，求湖水的深度和竹竿的長(zhǎng)5、如圖己知在ABC中，垂直平分AB，E為垂足交BC于D，BD=16cm，求AC長(zhǎng) 6、某校要把一塊形狀是直角三角形的廢地開發(fā)為生物園，如圖米，BC=60米，若線段CD為一條水渠，且D在邊AB上，己知水渠的造價(jià)是10元/米，則點(diǎn)D在距A點(diǎn)多遠(yuǎn)，水渠的造價(jià)最低，最低價(jià)是多少？ 勾股定理及應(yīng)用 勾股定理是數(shù)學(xué)史上一顆璀璨的明珠，在西方數(shù)學(xué)史上稱之為“畢達(dá)哥拉

18、斯定理” 例1 已知一直角三角形的斜邊長(zhǎng)是2，周長(zhǎng)是2+，求這個(gè)三角形的面積 分析 由斜邊長(zhǎng)是2，周長(zhǎng)是2+，易知兩直角邊的和是，又由勾股定理可知兩直角邊的平方和為4，列關(guān)于兩直角邊的方程，只需求出兩直角邊長(zhǎng)的積，即可求得三角形的面積本題中用到數(shù)學(xué)解題中常用的“設(shè)而不求”的技巧，要熟練掌握 解：設(shè)直角三角形的兩直角邊為a、b，根據(jù)題意列方程得： 即 式兩邊同時(shí)平方再減去式得： 2ab=2， ab= S=因此，這個(gè)三角形的面積為 練習(xí)11已知：如圖2-1，AD=4，CD=3，ADC=90°，AB=13，ACB=90°，求圖形中陰影部分的面積2-12已知：長(zhǎng)方形ABCD，ABC

19、D，ADBC，AB=2，ADDC，長(zhǎng)方形ABCD的面積為S，沿長(zhǎng)方形的對(duì)稱軸折疊一次得到一個(gè)新長(zhǎng)方形，求這個(gè)新長(zhǎng)方形的對(duì)角線的長(zhǎng) 3若線段a、b、c能組成直角三角形，則它們的比值可以是（ ） A1：2：4 B1：3：5 C3：4：7 D5：12：13 例2 如圖2-2，把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊起來，使其對(duì)角頂點(diǎn)A、C重合，若其長(zhǎng)BC為a，寬AB為b，則折疊后不重合部分的面積是多少？ 分析 圖形沿EF折疊后A、C重合，可知四邊形AFED與四邊形CFED全等，則對(duì)應(yīng)邊、角相等，AF=FC，且FC=AE，則ABFADE，由三角形面積公式不難求出不重合部分的面積 解：圖形沿EF折疊后A、C重合，

20、2-2 四邊形AFED與CFED關(guān)于EF對(duì)稱， 則四邊形AFED四邊形CFED AFE=CFE AF=FC，D=D=B=90° AB=CD=AD ADBC， AEF=EFC AEF=AFE 則AE=AF RtABFRtADE 在RtABF中，B=90°， AB2+BF2=AF2 設(shè)BF=x，b2+x2=（a-x）2， x= 2-3 S=2SABF=2×bx=2×·b·= 練習(xí)21如圖2-3，把矩形ABCD沿直線BD向上折疊，使點(diǎn)C落在C的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分EBD的面積為_2如圖2-4，一架長(zhǎng)2.5m的梯子，斜放在

21、墻上，梯子的底部B離墻腳O的距離是0.7m，當(dāng)梯子的頂部A向下滑0.4m到A時(shí)，梯子的底部向外移動(dòng)多少米？2-4 3如圖2-5，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3，BC=4，若將該矩形折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則折疊后痕跡EF的長(zhǎng)為（ ）A3.74 B3.75 C3.76 D3.77例3 試判斷，三邊長(zhǎng)分別為2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n為正整數(shù)）的三角形是否是直角三角形？ 分析 先確定最大邊，再利用勾股定理的判定定理判斷是否為直角三角形 解：n為正整數(shù)， （2n2+2n+1）-（2n2+2n） =2n2+2n+1-2n2-2n=1>0， （2n2+2n+1）-（2n+1）=2n2+

22、2n+1-2n-1=2n2>0 2n2+2n+1為三角形中的最大邊 又（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1， （2n2+2n）2+（2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1 （2n2+2n+1）2=（2n2+2n）2+（2n+1）2這個(gè)三角形是直角三角形 練習(xí)3 1若ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，則ABC是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C銳角三角形 D鈍角三角形2如圖2-6，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且EC=BC，猜想AF與EF的位置關(guān)系，并說明理由 2-6 3ABC中的三邊分別是m2-1，

23、2m，m2+1（m>1），那么（ ） AABC是直角三角形，且斜邊長(zhǎng)為m2+1 BABC是直角三角形，且斜邊長(zhǎng)為2m CABC是直角三角形，但斜邊長(zhǎng)由m的大小而定 DABC不是直角三角形 例4 已知：如圖2-7所示，ABC中，D是AB的中點(diǎn)，若AC=12，BC=5，CD=65 求證：ABC是直角三角形 分析 欲證ABC是直角三角形，在已知兩邊AC、BC的情況下求邊AB的長(zhǎng)，比較困難；但注意到CD是邊AB的中線，我們延長(zhǎng)CD到E，使DE=CD，從而有BDEADC，這樣AC、BC、2CD就作為BCE的三邊，再用勾股定理的逆定理去判定 證明：延長(zhǎng)CD到E，使DE=CD，連結(jié)BE 2-7 AD=BD，CD=ED，ADC=BDE ADCBDE（SAS） BE=AC=12 A=DBE ACBE 在BCE中，BC2+BE2=52+122=169 CE2=（2CD）2=（2×6.5）2=169 BC2+BE2=CE2 EBC=90° 又ACBE， ACB=180°-EBC=90° ABC是直角三角形 練習(xí)4 1已知a、b