1、因動點產生的等腰三角形問題例1（2011年湖州市中考第24題）如圖1，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點P(0,m)是線段OC上一動點（C點除外），直線PM交AB的延長線于點D（1）求點D的坐標（用含m的代數式表示）；（2）當APD是等腰三角形時，求m的值；（3）設過P、M、B三點的拋物線與x軸正半軸交于點E，過點O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2）當點P從O向C運動時，點H也隨之運動請直接寫出點H所經過的路長（不必寫解答過程） 圖1 圖2滿分解答（1）因為PC/DB，所以因此PMDM，CPBD2m所以AD4m于是得到點D的坐標為(2，4m)（2

2、）在APD中，當APAD時，解得（如圖3）當PAPD時，解得（如圖4）或（不合題意，舍去）當DADP時，解得（如圖5）或（不合題意，舍去）綜上所述，當APD為等腰三角形時，m的值為，或圖3 圖4 圖5（3）點H所經過的路徑長為考點伸展第（2）題解等腰三角形的問題，其中、用幾何說理的方法，計算更簡單：如圖3，當APAD時，AM垂直平分PD，那么PCMMBA所以因此，如圖4，當PAPD時，P在AD的垂直平分線上所以DA2PO因此解得第（2）題的思路是這樣的：如圖6，在RtOHM中，斜邊OM為定值，因此以OM為直徑的G經過點H，也就是說點H在圓弧上運動運動過的圓心角怎么確定呢？如圖7，P與O重合時，

3、是點H運動的起點，COH45°，CGH90°圖6 圖7例2（2011年鹽城市中考第28題）如圖1，已知一次函數yx7與正比例函數 的圖象交于點A，且與x軸交于點B（1）求點A和點B的坐標；（2）過點A作ACy軸于點C，過點B作直線l/y軸動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿OCA的路線向點A運動；同時直線l從點B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點Q當點P到達點A時，點P和直線l都停止運動在運動過程中，設動點P運動的時間為t秒當t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三

4、角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由 圖1 滿分解答（1）解方程組 得 所以點A的坐標是(3，4)令，得所以點B的坐標是(7，0)（2）如圖2，當P在OC上運動時，0t4由，得整理，得解得t2或t6（舍去）如圖3，當P在CA上運動時，APR的最大面積為6因此，當t2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8圖2 圖3 圖4我們先討論P在OC上運動時的情形，0t4如圖1，在AOB中，B45°，AOB45°，OB7，所以OBAB因此OABAOBB如圖4，點P由O向C運動的過程中，OPBRRQ，所以PQ/x軸因此AQP45°保持不變，PAQ越來越大，所以只存在AP

5、QAQP的情況此時點A在PQ的垂直平分線上，OR2CA6所以BR1，t1我們再來討論P在CA上運動時的情形，4t7在APQ中， 為定值，如圖5，當APAQ時，解方程，得如圖6，當QPQA時，點Q在PA的垂直平分線上，AP2(OROP)解方程，得如7，當PAPQ時，那么因此解方程，得綜上所述，t1或或5或時，APQ是等腰三角形 圖5 圖6 圖7考點伸展當P在CA上，QPQA時，也可以用來求解例3（2010年上海市閘北區(qū)中考模擬第25題）如圖1，在直角坐標平面內有點A(6, 0)，B(0, 8)，C(4, 0)，點M、N分別為線段AC和射線AB上的動點，點M以2個單位長度/秒的速度自C向A方向作勻

6、速運動，點N以5個單位長度/秒的速度自A向B方向作勻速運動，MN交OB于點P(1)求證：MNNP為定值；(2)若BNP與MNA相似，求CM的長；(3)若BNP是等腰三角形，求CM的長 圖1滿分解答(1)如圖2，圖3，作NQx軸，垂足為Q設點M、N的運動時間為t秒在RtANQ中，AN5t，NQ4t ，AQ3t在圖2中，QO63t，MQ105t，所以MNNPMQQO53在圖3中，QO3t6，MQ5t10，所以MNNPMQQO53(2)因為BNP與MNA有一組鄰補角，因此這兩個三角形要么是一個銳角三角形和一個鈍角三角形，要么是兩個直角三角形只有當這兩個三角形都是直角三角形時才可能相似如圖4，BNPM

7、NA，在RtAMN中，所以解得此時CM 圖2 圖3 圖4(3)如圖5，圖6，圖7中，即所以當N在AB上時，在BNP中，B是確定的，()如圖5，當BPBN時，解方程，得此時CM()如圖6，當NBNP時，解方程，得此時CM()當PBPN時，解方程，得t的值為負數，因此不存在PBPN的情況如圖7，當點N在線段AB的延長線上時，B是鈍角，只存在BPBN的可能，此時解方程，得此時CM 圖5 圖6 圖7考點伸展如圖6，當NBNP時，NMA是等腰三角形，這樣計算簡便一些例4（2010年南通市中考第27題）如圖1，在矩形ABCD中，ABm（m是大于0的常數），BC8，E為線段BC上的動點（不與B、C重合）連結

8、DE，作EFDE，EF與射線BA交于點F，設CEx，BFy（1）求y關于x的函數關系式； （2）若m8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使DEF為等腰三角形，m的值應為多少？圖1滿分解答(1)因為EDC與FEB都是DEC的余角，所以EDCFEB又因為CB90°，所以DCEEBF因此，即整理，得y關于x的函數關系為(2)如圖2，當m8時，因此當x4時，y取得最大值為2(3) 若，那么整理，得解得x2或x6要使DEF為等腰三角形，只存在EDEF的情況因為DCEEBF，所以CEBF，即xy將xy 2代入，得m6（如圖3）；將xy 6代入，得m2（如圖4） 圖2 圖3 圖

9、4考點伸展本題中蘊涵著一般性與特殊性的辯證關系，例如：由第（1）題得到，那么不論m為何值，當x4時，y都取得最大值對應的幾何意義是，不論AB邊為多長，當E是BC的中點時，BF都取得最大值第（2）題m8是第（1）題一般性結論的一個特殊性再如，不論m為小于8的任何值，DEF都可以成為等腰三角形，這是因為方程總有一個根的第（3）題是這個一般性結論的一個特殊性例5（2009年重慶市中考第26題）已知：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA2，OC3，過原點O作AOC的平分線交AB于點D，連接DC，過點D作DEDC，交OA于點E（1）求過點E、

10、D、C的拋物線的解析式；（2）將EDC繞點D按順時針方向旋轉后，角的一邊與y軸的正半軸交于點F，另一邊與線段OC交于點G如果DF與（1）中的拋物線交于另一點M，點M的橫坐標為，那么EF2GO是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）對于（2）中的點G，在位于第一象限內的該拋物線上是否存在點Q，使得直線GQ與AB的交點P與點C、G構成的PCG是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在成立，請說明理由 圖1 圖2 滿分解答（1）由于OD平分AOC，所以點D的坐標為（2，2），因此BCAD1由于BCDADE，所以BDAE1，因此點E的坐標為（0，1）設過E、D、C三點的拋物線的

11、解析式為，那么 解得，因此過E、D、C三點的拋物線的解析式為（2）把代入，求得所以點M的坐標為如圖2，過點M作MNAB，垂足為N，那么，即解得因為EDC繞點D旋轉的過程中，DCGDEF，所以CGEF2因此GO1，EF2GO（3）在第（2）中，GC2設點Q的坐標為如圖3，當CPCG2時，點P與點B（3，2）重合，PCG是等腰直角三角形此時，因此。由此得到點Q的坐標為如圖4，當GPGC2時，點P的坐標為（1，2）此時點Q的橫坐標為1，點Q的坐標為如圖5，當PGPC時，點P在GC的垂直平分線上，點P、Q與點D重合此時點Q的坐標為（2，2） 圖3 圖4 圖5考點伸展在第（2）題情景下，EDC繞點D旋轉

12、的過程中，FG的長怎樣變化？設AF的長為m，那么點F由E開始沿射線EA運動的過程中，FG先是越來越小，F與A重合時，FG達到最小值；F經過點A以后，FG越來越大，當C與O重合時，FG達到最大值4例6（2009年上海市中考第24題）在平面直角坐標系內，O為原點，點A的坐標為（1，0），點C的坐標為（0，4），直線CM/x軸（如圖1所示）點B與點A關于原點對稱，直線yxb（b為常數）經過點B，且與直線CM相交于點D，聯(lián)結OD（1）求b的值和點D的坐標；（2）設點P在x軸的正半軸上，若POD是等腰三角形，求點P的坐標；（3）在（2）的條件下，如果以PD為半徑的圓與圓O外切，求圓O的半徑 圖1滿分解答（1）因為點A的坐標為（1，0），點B與點A關于原點對稱，所以點B的坐標為（1，0）將B（1，0）代入yxb，得b1將y4代入yx1，得x3所以點D的坐標為（3，4）（2）因為D（3，4），所以OD5，如圖2，當PDPO時，作PEOD于E在RtOPE中，所以此時點P的坐標為如圖3，當OPOD5時，點P的坐標為如圖4，當DODP時，點D在OP的垂直平分線上，此時點P的坐標為 圖2 圖3