1、第二型曲線積分與曲面積分的計(jì)算方法摘要 :本文主要利用化為參數(shù)的定積分法，格林公式，積分與路徑無關(guān)的方法解答第二型曲線積分的題目；以及利用曲面積分的聯(lián)系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面積分的題目?關(guān)鍵詞：曲面積分；曲線積分1 引言第二型曲線積分與曲面積分是數(shù)學(xué)分析中的重要知識(shí)章節(jié)，是整本教材的重點(diǎn)和難點(diǎn) ?掌握其基本的計(jì)算方法具有很大的難度，給不少學(xué)習(xí)者帶來了困難? 本文通過針對(duì)近年來考研試題中常見的第二型曲線積分與曲面積分的計(jì)算題目進(jìn)行了認(rèn)真分析，并結(jié)合具體實(shí)例以及教材總結(jié)出其特點(diǎn)，得出具體的計(jì)算方法? 對(duì)廣大學(xué)生學(xué)習(xí)第二型曲線積分與第二型曲面積分具有重要的指導(dǎo)意義.2 第二

2、型曲線積分例 1 求 Iexsiny b x y dx e x cosy ax dy ，其中 a， b 為正的常數(shù)， L為從點(diǎn) A（ 2a， 0）沿曲線 y=、 2ax x 2 到點(diǎn) o （ 0， 0） 的弧 .方法一：利用格林公式法LPdxQdy dxdy ， P（x， y）， Q（ x， y ）以及它們的一階偏導(dǎo)數(shù)D x y在 D 上連續(xù)， L 是域 D 的邊界曲線， L 是按正向取定的 .解：添加從點(diǎn)o （ 0 , 0）沿 y=0 到點(diǎn) A（ 2a,0 ）的有向直線段L.,Iexsin yb x ydxxax dye cosyLUL 1exb x ydxxax dyL 1i sin ye

3、 cosy記為 111I2，則由格林公式得 :QPx e cosy aex cosy b dxdyI1dxdyxyDDb adxdya2baD2其中D為L(zhǎng)iUL所圍成的半圓域，直接計(jì)算丨2,因?yàn)樵贚i 時(shí)， y 0, 所以dy=0因而：丨2 bxdx 2a 2b，從而I I1 I2 aba 2a b2 22b2 a1 22方法二：應(yīng)用積分與路徑無關(guān)化為參數(shù)的定積分法求解（ 1若PQ （與路徑無關(guān)的條件）， 則）yxAX1,%為y1B 冷，PdxQdyP x,y 0 dxQ N,y dyx0yy°(2)xt ,ytABPdxQdyP t , t ' tQ t , t't

4、 dt是起點(diǎn)是終點(diǎn)解： I L exsin y b x y dx e xcosy ax dyLexsin ydx e x cosydyLb x y dx axdy記為 I Ii I2 ,對(duì)于 I1 ，積分與路徑無關(guān)，所以exsin ydx e x cos ydy e x siny 2：00對(duì)于 I2，取 L 的參數(shù)方程 x a asint ， t 從 0 到，得y asintLb x y dx axdy2222323a bsint a bsintcost a bsin t a cos t a cost dt0對(duì)于空間第二曲線一般的解題過程為：LPdx Qdy Rdz若 L 閉合， P,Q,R

5、對(duì)各元偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)從而 I2 a2bdydz dzdx dxdy2 1 22a b a2歡迎下載1LPdx Qdy Rdz 一xyzP Q R若 L 非閉，其參數(shù)方程為Pxt,yt,zt x' t Qxt,yt,zt y't R x t ,y t ,z t z't dtx x t其中：y y t ,分別為 L 的起點(diǎn)，終點(diǎn)參數(shù)值.z z t例 2 計(jì)算空間曲線積分I= ? y z dx z x dy x y dz , 其中曲線 L.222x z為圓柱面 x y a 與平面1 的交線 a 0,h 0 ，從 X 軸正向看，a h曲線是逆時(shí)針方向 .方法一：化為參數(shù)的定積分計(jì)算

6、，對(duì)于這種封閉的曲線要充分利用0,2 上三角函數(shù)的正交性.解 :令 x a cost, y a si nt， 貝 Uz h 1xa cost, 一h 1ah 1 costa于是 I=asi nt h 1 costasi nth 1costacost a cost acost asint hsint dt2 a a hdydzdzdxdxdy方法二：解：I2 dydz dzdx dxdyxyzy zz xx y21,1,1h -.dxdy2-1 dxdy 2 a h a,0,Dxy1aD a3 第二型曲面積分歡迎下載2例 3 計(jì)算曲面積分z x dydz zdxdy，其中為旋轉(zhuǎn)拋物面z 1 x2

7、 y2 介于平面 z=0 及 z=1 之間的部分的下側(cè).方法一：利用兩類曲面積分的聯(lián)系Pdydz Qdzdx RdxdyPcos Qcos Rcos ds其中 cos,cos ,cos是有向曲面上點(diǎn)（ x,y, z）處的法向量的方向余弦.解： nx,y, 1 ,cos ,cos,cosx22x yx dydz zdxdyz2xzdsx22y22x z.7 ds22x y2 1 2x x 21 x2y2 ,1 x 2 y2 dxdydxdy22r rdr 8方法二 :分面投影法如果z x,y給出，則x, y, zdxdyR x, y, zx,y dxdyDxy如果由 x x y,z給出，則d 2

8、 cos 20歡迎下載3P x, y,z dydzP x y,z ,y,z dydzDyz如果由 y y z,x給出，則Q x, y.z dzdxQ x, y z, x , z dzdxD zx等式右端的符號(hào)這樣規(guī)定：如果積分曲面是由方程x x z,y yy x,z ,z z x,y所給出的曲面上（前 ,右側(cè)，應(yīng)取否則取“ ”）解:z2x dydz zdxdyx dydzzdxdy22 zx dydzz2 x dydzz x dydz前后z2.2 z y2 dyd zz2 、2z y 2 dydzDDyzyz2、2z ydz 4 0 dy y.2z y 2dz4D 'yz2d：2zdx

9、dy12 1 2 y2 dxdydr3dr42 x2 D xy2 o02所以z x dydz zdxdy 8方法三：合一投影法前面我們看到，按分面投影發(fā)計(jì)算曲面積分時(shí)，對(duì)不同類型的積分項(xiàng)必須將曲面用不同的方程表示，然后轉(zhuǎn)化為不同坐標(biāo)面上的二重積分，這種方式形式上雖然簡(jiǎn)單但計(jì)算比較繁瑣 ?事實(shí)上，如果的方程 z z x,y ， x, y ，（ Dxy 是 在 xoy 面上的投影區(qū)域），函數(shù)P,Q,R 在 上連續(xù)時(shí)，則單位法向量為ure cos ,cos ,cos歡迎下載4Z2Zy21乙 y ZX， Z： Zy21 /JZy21x2由于投影元素 dydz cos ds , dzdxcos ds ，

10、 dxdycos于是得到ds ，cosdscos dxdyZx dxdydydz cos dscoscoscoscosdscosdxdyZydxdydzdx cos dscoscoscos所以P x,y,z dydzQ x, y,z dzdxx,y,z dxdyP x, y,z x, yZx x,yx,y,z x, yZy x,y R x,y,z x, ydxdyDxyP 乙 QZy R dxdyDxy等式右端的符號(hào)這樣確定：如果是由方程所給出的曲面上側(cè)，取“”，否則取“” .當(dāng)可用顯示方程y yz,x 或 x x y, z 表示時(shí)，只需注意到此時(shí)的法向量為yx,1 y, y x 或 1, x

11、y , xz，可得相應(yīng)公式 .上述方法將上式中的三種類型積分轉(zhuǎn)化為同一坐標(biāo)面上的二重積分，故名為合一投影法.解： z 1 x2 y2 ， 在 xoy 面上的投影區(qū)域：Dxy = x, y x 2 y24 ，2歡迎下載5又的下側(cè)， Zx x，故由上式可得：21222x x1 2 2z x dydz zdxdyx yx y dxdy 2D xy421 22x-x ydxdyD xy222 2 22rdr8dr coso02方法四： 咼斯公式b Pdydz QdzdxRdxdyP Q,R dvJx yz解：曲面不是封閉曲面，不能直接利用高斯公式，應(yīng)補(bǔ)面1 z2 的上側(cè)，則歡迎下載62 用高斯公式1z

12、 x dydz zdxdy0dv 0所以22z x dydz zdxdyz x dydz zdxdy12zdxdy 2 dxdy 8z x dydz zdxdy 0Dxy12所以z x dydz zdxdy 84 小結(jié)從以上對(duì)試題的分析，發(fā)現(xiàn)不同年份的命題，多次考到相同的知識(shí)點(diǎn)，并且吻合于通用教材教學(xué)中的難點(diǎn)重點(diǎn)，雖然考試題目千變?nèi)f化，但教材的內(nèi)容相對(duì)穩(wěn)定，因此只有吃透教材，抓住重點(diǎn)難點(diǎn)，克服盲點(diǎn)復(fù)習(xí)，達(dá)到以靜制動(dòng)?過本 文的分析，希望對(duì)大家有一定的指導(dǎo)作用?（指導(dǎo)教師：呂國(guó)亮）參考文獻(xiàn)1 華東師大數(shù)學(xué)系 ?數(shù)學(xué)分析 （下）M ，第三版 .高等教育出版社， 2001 ， 224-231.2 劉玉璉，傅沛仁等 .數(shù)學(xué)分析講義 （下）M ，第四版 .高等教育出版社， 2003 ，375-388.3 林源渠，方企勤 .數(shù)學(xué)分析解題指南 M. 北京大學(xué)出版社， 2001 ， 338-362.4 陳文燈 .數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南 M. 世界圖書出版社， 2000 ， 276-287.田勇 .碩士研究生入學(xué)考試歷年真題解析M. 機(jī)械工業(yè)出版社，2002 ， 175