1、第一章 行列式1.1 行列式的概念一、本次課主要內容介紹行列式的起源，總結學習二階行列式和三階行列式，學習全排列和逆序數，歸納n階行列式的定義。二、教學目的與要求掌握二階、三階及n階行列式的概念，掌握逆序數的計算。三、教學重點難點1、二階、三階行列式的定義、計算；2、逆序數的計算；3、n階行列式的定義。四、教學方法和手段課堂講授、提問、討論，總結歸納。五、作業(yè)與習題布置P22 習題1（6）、2（3），3§1. 1 行列式的概念對于方程組用消元法，當方程組有唯一解和。觀察上面鏈各個式子的分母，發(fā)現是一樣的。而且兩個式子的分子和分母在型式上也是有相似之處的。一、二階行列式的概念設有數表

2、，兩邊加上豎線變?yōu)?，記注意?階的行列式一共能分成2=2!項相加相減（一項加一項減）。每一項里面有2個不同行，不同列的元素相乘。簡單介紹對角線法其中表示的是第i行，第j列的元素。i和j分別稱為行坐標和列坐標。D稱為行列式的值，是的計算結果。有兩行兩列，所以稱之為二階行列式。如同水有氣體，液體，固體三種表現形式一樣。一個行列式也可以表現為三種形式：行列式，組成行列式的元素的計算式，和行列式的值。例如：二元一次 方程組的求解公式對于方程組，當方程組有唯一解和。記 ，注意和就是用和分別替換原來中第一，第二列元素所得的行列式。則此時有，這個就是克萊姆法則。我們將在第四節(jié)的時候再一次講到它。P2例題1二

3、、三階行列式的概念設有數表，兩邊加上豎線變?yōu)椋浄Q這個式子就是對應于前面數表的三階行列式。繼續(xù)補充對角線法則講解。3階的行列式一共能分成6=3!項相加相減（三項加三項減） 。每一項里面有3個不同行，不同列的元素相乘。有三行三列，所以稱之為三階行列式。對于線性方程組，當時。方程組有唯一解，記，其中、和就是用、和分別替換原來中第一，第二，第三列元素所得的行列式P4例2往n階行列式推廣對角線法寫行列式僅限于兩階和三階行列式，比三階高的都不能用。行列式的階數：行列式的行數或者列數。有幾行或者幾列就是幾階。n階的行列式一共能分成n!項相加相減。每一項里面有n個不同行，不同列的元素相乘。接下來就是介紹為什

4、么n階行列式有n!項相加相減，到底哪一項前面是+，哪一項是-號 三、排列與逆序數<1> 由自然數1, 2, , n 組成的一個有序數組i1, i2, , in稱為一個n級排列例如，由1，2，3可組成的三級排列共有3!6個，分別為1 2 3; 1 3 2; 2 1 3; 2 3 1; 3 1 2; 3 2 1; n級排列的總數為n!個。<2> 一個排列中，若較大的數 is 排在較小的數 it 的前面 ( is > it ) 時，稱這一對數 is it 構成一個逆序。 一個排列中逆序的總數，稱為它的逆序數。記為t(i1, i2, in)，簡記為t 。例如 t(1 2

5、3)=0, t(3 1 2)=2, t(4 5 2 1 3)=7,奇排列與偶排列 逆序數為偶數的排列稱為偶排列，逆序數為奇數的排列稱為奇排列 對換 將一個排列中兩個位置上的數互換，而其余不動，則稱對該排列作了一次對換。定理 1 每一個對換改變排列的奇偶性結論：在 n ( ³ 2) 級排列中，奇偶排列各有個。 前三項的列排列的逆序都為偶數，前面的符號為+。后面三項的列排列都為奇數，前面的符號為。所以式子用連加符號表示為類似的，而階行列式也可以表示為對于n階行列式注意到這里的行坐標是按照自然順序來的，列坐標是亂序的。n階行列式的定義也可寫成注意到這里的列坐標是按照自然順序來的，行坐標是亂

6、序的?；蛘哌@里的行列坐標排列都是亂序。例4，附帶講解上，下三角行列式和對角行列式。教學后記：第一章 行列式1.2行列式的性質一、本次課主要內容介紹行列式的性質，并利用行列式的性質進行計算。二、教學目的與要求掌握n階行列式的性質概念，并能利用這些性質進行行列式的計算。三、教學重點難點1、n階行列式的性質；2、利用行列式的性質進行計算；四、教學方法和手段課堂講授、提問，總結歸納。五、作業(yè)與習題布置P22-23 習題1 4（1）、（3）、（7），5（2）§1. 2 行列式的性質第一章 行列式性質1：將行列式的行、列互換，行列式的值不變則。行列式稱為行列式 D 的轉置行列式。即把行列式的行變

7、成列，列變成行。講解三種轉置的記憶方法。顯然有 ，即證性質2 互換行列式的兩行(列)，行列式僅改變符號 則。（D和M就是呼喚了P，q兩行得到）在 M 中第 p 行元素，第 q 行元素證明完畢推論1：若行列式中有兩行(列)對應元素相同，則行列式為零交換行列式這兩行，有D = D，故D = 0性質3 若行列式某一行(列)的所有元素都乘以數 k，等于該行列式乘以數 k，即： 證明：推論2：若行列式中的某行(列)全為零，則行列式為零。推論3：若行列式中有兩行(列)的對應元素成比例，則該行列式為零。性質4 若行列式中某一行(列)的各元素都是兩個數的和，則該行列式等于兩個行列式的和。即證明：一些符號P11

8、例題（1）（2）（3）教學后記：1.3 行列式按一行（列）展開一、本次課主要內容行列式的余子式、代數余子式，n階行列式按行（列）展開。二、教學目的與要求掌握余子式、代數余子式的概念，掌握行列式按行（列）展開。三、教學重點難點1、余子式、代數余子式的概念、計算；2、行列式按行（列）展開；四、教學方法和手段課堂講授、提問、討論，總結歸納。五、作業(yè)與習題布置P23 習題1 6（3）、7（2）、（4）§1. 3 行列式按一行（列）展開一.拉普拉斯展開定理在行列式中劃去元素所在的行和列，余下的元素按原來順序構成的一個n1階行列式。稱為元素的余子式，記作。余子式帶上符號稱為的代數余子式，記作。寫

9、一個三階行列式，略做練習考察三階行列式發(fā)現三階行列式可用其二級子式的線性組合表示這個是按照第i行展開這個是按照第j列展開二階行列式也是一樣定理1 (Laplace展開定理) 行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應的代數余子式乘積之和。即或者證明：證明步驟分為三步走首先證明：（展開即得）其次（一共是做i-1次相鄰兩行交換，j-1次相鄰兩列交換）最后利用行列式的性質5即證推論 行列式的任一行(列)的各元素與另一行(列)的對應元素的代數余子式乘積之和等于零。即或者利用講解帶入理解法P16例題（1）（2）求用帶入理解法（3）講解地推的理念得到了地推公式，后就能開始從第2項遞推，略講解為什么是從第二

10、項開始。證明四階范德蒙行列式證畢，n階范德蒙德行列式依次遞推即得。教學后記：第一章 行列式1.4 克萊姆法則一、本次課主要內容克萊姆法則的內容以及應用克萊姆法則求解線性方程組。二、教學目的與要求掌握克萊姆法則，并能用克萊姆法則求解線性方程組。三、教學重點難點1、克萊姆法則的內容及其證明；2、能利用克萊姆法則求解線性方程組；3、n階線性方程組解的判定。四、教學方法和手段課堂講授、提問、討論，總結歸納。五、作業(yè)與習題布置P23 習題1 8（2），9§1. 4 克萊姆法則設線性方程組的系數行列式,則方程組有唯一解，且解可表示為：其中是用常數項代替中第i列各元素而得到的n階行列式，即：(i=

11、1, 2,n)證明：分為兩步走（1）先證明是解，（2）證明解一定能寫成這個形式。將帶入方程組的第i個方程得將按照第j列展開得到帶入之前的式子得交換連加連乘順序括號里面的是第i行元素和第s行元素的代數余子式的乘積之和，所以當s不等于i的時候值為0,故關于s的連加里面僅有一項非0的乘積，即s=i時的那一項。接下來證明解一定是這個形式給出：由行列式的性質將第s列乘以 加到第j列（）此時在第i行的第j列個元素就變成了原來方程組的第i個方程的左邊部分，代入方程的值即得即P20例題解：所以使用克萊姆法則時要注意：（1）未知量的個數等于方程的個數；（2）系數行列式如果不滿足這些條件的話，那么方程組的求解就必

12、須用其他的方法解決，這個以后再說。注：在方程組中，若所有的常數項b1= b2 = = bn = 0，則方程組稱為n元齊次線性方程組。 如顯然有零解 x1 = x2 = = xn = 0結論1：若齊次線性方程組(3)的系數行列式，則方程組只有零解。平凡解結論2：若齊次線性方程組(3)有非零解，則系數行列式 D = 0。非平凡解P21例題為何值時，其次線性方程組有非零解解：方程組的系數行列式因為要有非零解，所以，得教學后記：第二章 矩陣2.1 矩陣的概念2.2矩陣的運算（1）一、本次課主要內容矩陣的定義；矩陣的加法運算、數乘運算、乘法運算。二、教學目的與要求掌握矩陣的概念，掌握矩陣的加法運算、數乘

13、運算和乘法運算。三、教學重點難點1、矩陣的加法運算；2、矩陣的乘法運算。四、教學方法和手段課堂講授、提問、討論，總結歸納。五、作業(yè)與習題布置P54 習題2 1，2（3）、（6），3§2. 1 矩陣的概念定義 由m×n個數有次序地排成m行(橫排)n列(豎排)的數表 稱為一個m行n列的矩陣，簡記通常用大寫字母A，B，C，表示，m行n列的矩陣A也記為Am×n，構成矩陣A的每個數稱為矩陣A的元素，而aij表示矩陣第 i 行、第 j 列的元素。 注意矩陣與行列式有本質的區(qū)別，行列式是一個算式，一個數字行列式經過計算可求得其值，而矩陣僅僅是一個數表，它的行數和列數可以不同.行

14、數與列數都等于 n 的矩陣 A，稱為n 階矩陣或 n 階方陣. 也可記作。(1) 只有一行的矩陣稱為行矩陣(2) 只有一列的矩陣，稱為列矩陣同型 兩個矩陣的行數相等,列數相等時,稱為同型矩陣.例如兩個矩陣為同型矩陣,并 且對應元素相等,即則稱矩陣相等,記作元素全為0的矩陣稱為零矩陣，記作O，不同型的零矩陣是不相等的。例如方陣稱為單位矩陣（或單位陣）。僅在主對角線上有非0元素，且全部為1.注意：不同階數的單位矩陣是不相等的.形如的矩陣稱為對角矩陣(或對角陣）. 記作當所有的都相等的時候，變?yōu)?，稱為數量矩陣。方陣稱為上三角矩陣。方陣稱為下三角矩陣。上三角與下三角陣統(tǒng)稱為三角形矩陣（或三角陣）教學后

15、記：§2. 1 矩陣的運算（1）一、矩陣的加，數乘運算 兩矩陣同型：與的行數，列數分別相等。兩矩陣相等：。定義2 兩矩陣加法：。定義3 數乘矩陣 加，數乘（稱為線性運算）滿足下列運算律： 加法交換律： 加法結合律： 矩陣： 負矩陣： ，則。 恒等性：。 數結合律：。 分配律：。 分配律：。設是矩陣的集合，在上述矩陣的加法、數乘定義下，且滿足了上述8條運算，我們稱是一個矩陣空間。例1：，求。二、兩矩陣的乘法。1規(guī)則：行乘列定義4 其中 （“行乘列”） 即乘積等于的第行元素與的第列對應元素積之和。 例2：，求。 解： 但不存在。 可乘條件為：的列數=的行數。 乘積階數為：的行數=的行數，

16、的列數=的列數。 2矩陣乘法應注意下面三點：1）乘法交換律一般不成立，即。在中：稱左乘，或為左因子陣。稱右乘，或為右因子陣。特別：若，稱與乘法可交換，或與可換。2）消去律一般不成立，即，不一定。（即使，也不一定有）3），不一定有。3矩陣乘法運算律為：（與數運算律相同）1）結合律：。2）分配律：，。3）數乘結合律：。4）恒等性：。4方陣的冪及多項式矩陣。設的多項式為：，則稱為的次多項式矩陣。5一般線性方程組的矩陣表示 例3：（1）（2）（3），求。例4：， 求及。求。例5：，為階方陣，例6：設，證明。例7：，為階方陣，證明的主對角線上元素之和等于的主對角線上元素之和。證：的第i行元素與的第i列的

17、元素積之和 主對角線元素之和的主對角線元素之和。教學后記：第二章 矩陣2.2矩陣的運算（2）2.3矩陣的逆一、本次課主要內容矩陣的轉置；矩陣的分塊；矩陣的逆的定義、存在的充要條件、求解方法。二、教學目的與要求掌握矩陣的轉置，了解矩陣的分塊，掌握矩陣的逆以及其存在的充要條件和計算方法。三、教學重點難點1、矩陣的逆；2、矩陣的逆及存在的充要條件、計算。四、教學方法和手段課堂講授、提問、討論，總結歸納。五、作業(yè)與習題布置P55-56 習題2 8（3）、（6），15（1）、（3），18, 22§2. 1 矩陣的運算（2）三、轉置矩陣行轉成列得 1定義1 稱為的轉置陣，為階，為階。轉置性質：（

18、1），（2）（3）， （4） ：。2定義2 矩陣，若有，稱為對稱陣。為對稱陣。矩陣，若有，則稱為反對稱陣。為反對稱陣定義3 對于階方陣，若有稱為正交矩陣。 例 與皆為階對稱陣，則 （）+為對稱陣； （）但不一定為對稱陣。例 但為矩陣，則（或）為對稱陣。例 與皆為正交陣，則 （）+不一定為正交陣； （）必為正交陣。四、分塊矩陣1、分塊矩陣的加，數乘，轉置1）分塊加法：+=，使與分法相同。2）數乘分塊陣：。3）分塊陣轉置：。2、兩矩陣的分塊乘法 分塊原則：列分法與的行分法相同，即滿足可乘條件的列塊數=的行塊數。的子塊的列數=的子塊的行數。其中子塊。分塊乘法與矩陣普通乘法形式相同。例1：，分塊為 其

19、中的列數等于的行數，則例2：列分塊為，則非齊次線性方程組可轉換為。例3：矩陣方程，列分塊為，列分塊為，則 得 。則討論矩陣方程可轉化為研究個線性方程組。例4：，為階方陣且，求？練習：1 ，求。2設，對任意，證明。3，求。§2.3 方陣的逆矩陣一、方陣的行列式階方陣，稱為的行列式，也記。方陣的行列式性質：設，為階方陣：（1）。（2）。（3）。應注意：。例1：為矩陣，證明是對稱矩陣。例2：證明。例3：1）階方陣，求_。 2）設_。例4：，證明。例5：，為階方陣，求。例6：維列向量，。證明。例7：為3階方陣，是3維列向量。，求。例8：，證明。二、階方陣逆的定義定義1 階方陣，若有階方陣，使

20、得稱可逆，有逆，或滿秩，非奇異，就是的逆。若可逆，的逆是唯一的，故記。即。三、逆的求法及判別1定義2 對于，設為的元素的代數余子式，構造矩陣：， 稱為的伴隨矩陣。例如： 。 。（準確求是求逆的關鍵）注意：準確求出。 中的排法。2定理 可逆證明思路：（1）利用逆的定義； （2）利用行列式展開公式及推論。例9：求上述兩矩陣的逆。，則。例10：（1）可逆，。注意：，不一定有。（2）。例11：，為階方陣，可逆可逆，且也可逆。（同理不可逆，至少有一個矩陣不可逆。）例12：可逆，則四、逆的運算性質（1），（2），（3）， （4），（5）。例13：，為3階方陣，求。例14：，為階方陣，可逆，且，證明可逆。例

21、15：，為階方陣，可逆，且，證明可逆。例16：，（1）證明可逆，求。（2）證明可逆，求。五、解矩陣方程三種形式：設A，B可逆例17：，求。例18：，求。例19：，求。例20： ，求。例21：，求 。六、分塊矩陣的逆形如：，稱，為分塊對角陣，其中皆為子方塊，若的階數相同，則。，若，則 ， ，特別。四塊的塊三角矩陣：為方子塊，則。例22：，求。例23：為可逆陣：為方子塊，證明，并求的逆。例24：，求。練習：1可逆，證明 。若 ，求。2，及皆為階可逆矩陣，求。3，求。4，求。教學后記：第二章 矩陣2.4 矩陣的秩與初等變換一、本次課主要內容矩陣的秩的概念；矩陣的初等變換；初等矩陣。二、教學目的與要求

22、掌握矩陣的秩概念，掌握矩陣的初等變換和初等矩陣。三、教學重點難點1、矩陣的秩；2、矩陣的初等變換。四、教學方法和手段課堂講授、提問、討論，總結歸納。五、作業(yè)與習題布置P58 習題2 33（2）、34（2）§2.4 矩陣的秩與初等變換一、矩陣的秩的概念定義1 中取行列這些行列交叉處元素按原順序構成的階子行列式稱為的一個階子式。的階子式共有個，我們關心的是階子式的值為零或非零。定義2 中，非零子式的最高階數稱為的秩，記為，記。理解秩的含義：（1）。（2），。（3）。（4）有一個階子式，則。（5）所有階子式，則。（6）至少有一個階子式，所有階子式。二、矩陣的初等變換定義1 矩陣的初等變換是

23、指下列三種變換（）對換變換：互換矩陣兩行（列）的位置。（）數乘變換：用一個非零的數乘矩陣的第行（列）。（）倍加（消元）變換：將矩陣第行（列）元素的倍加到第行（列）上。對矩陣的行做初等變換稱為初等行變換，對列做初等變換稱為初等列變換。注意：下面三點變換用號數乘變換不記錄且對換不記錄負號定義2 （）矩陣階梯形 一般形如特點：1）如果存在零行，則零行全在矩陣下方。 2）從第一行起，每行第一個非零元前面零的個數逐行遞增。簡化階梯形如：特點：階梯形中非零行第一個非零元素為1，其對應的列的其他元素為0。標準形為 特點：矩陣的左上角對角元有個為1，其他皆為零。定理 1）初等變換可把化為標準形。2）初等行變換

24、可把化為階梯形或簡化階梯形。例1：用初等行變換把化為階梯形例2：用初等變換把化為標準形三、初等矩陣 定義1 單位矩陣I經過一次初等變換所得的矩陣稱初等矩陣 （1）對換初等矩陣：單位陣I的行（列）互換。 （2）數乘初等矩陣：單位陣的I的行（列）的倍。 （3）消元初等矩陣：單位陣的I的行（列）倍加到行（列）上。定理1 對矩陣做一次初等行（列）變換，相當于用相應的初等矩陣左（右）乘。 簡言之：“左乘行變，右乘列變”。例3： ，用初等矩陣表示把化為標準形。解：思考：左乘或右乘一系列初等矩陣化為標準形。一些結論定理2 對于矩陣，必存在可逆矩，使定理3 為可逆矩陣，則可表成有限個初等矩陣之積，即(為初等陣

25、)。四、初等變換求的逆。原理：，（為初等陣）。則即：（1）式表一些行變換把化為單位陣（2）式表這些行變換把化為可逆陣例4：求下列矩陣的逆（1）（2） （3）例5：，求初等矩陣。例6：可逆矩陣的第行與第行對換變?yōu)?，則逆陣與的關系如何？教學后記：第二章 矩陣2.5線性方程組有解的判別法一、本次課主要內容消元法與矩陣的初等變換；線性方程組有解的判定。二、教學目的與要求掌握矩陣的初等變換，掌握線性方程組有解的判定。三、教學重點難點1、矩陣的初等變換；2、線性方程組有解的判定。四、教學方法和手段課堂講授、提問、討論，總結歸納。五、作業(yè)與習題布置P58 習題2 35（3）、36§2.5 線性方程

26、組有解的判別法一、求解非齊次線性方程組：系數矩陣 ：增廣矩陣解方程組等價于對增廣陣做行初等變換化為階梯形或簡化階梯形。設的左上角的階子式。，對應于一個簡化的方程組，與原方程組同解。（1），方程組無解。（2），則有解。設為自由取值，解得個自由取值定理1 當時，無解。當時，有解。（1）若時，有唯一解。（2）若時，有無窮多解。求解非齊次方程組步驟為：1步：把用初等行變換化為階梯形或簡化階梯形。2步：求，。3步：由未知數個數，討論。解：（），則無解。 （）4步：取自由量，求解方程組。二、求解齊次線性方程組：（總有解）1，稱為零解。2下面解決兩個問題：1）在何條件？僅有零解。2）在何條件？有非零解（無窮

27、多解）。定理2 ，當有無窮多解。當僅有零解。推論1：有 非零解。僅零解。推論2：，當，則有非零解。例1：求解方程組例2：求解非齊次方程組及對應的齊次方程組例3：求解非齊次方程組及對應的齊次方程組例4：，為何值，則（1）有唯一解，（2）無解，（3）有非唯一解，并求解。解：，討論：或的情況（1）當，且方程組有唯一的解。（2）當無解。（3）當，無窮多解，。 教學后記：第三章 向量的線性相關性與線性方程組解的結構3.1 n維向量空間與向量的線性相關性一、本次課主要內容n維向量的概念；n維向量空間；線性相關性。二、教學目的與要求了解n維向量和向量空間的概念，掌握線性相關性的概念和判斷。三、教學重點難點1

28、、線性相關和線性無關的概念；2、線性相關性的判斷。四、教學方法和手段課堂講授、提問、討論，總結歸納。五、作業(yè)與習題布置P82 習題3 3（3）、（6），6,8（1），9§3.1 n維向量空間與向量的線性相關性一、n維向量定義1： 個有序的數組成的數組，把它們排成一行：，稱為維行向量（一行陣）排成一列：，稱為維列向量（一列陣）設 加法：數乘：滿足下八條運算律：1） 2）3） 4）5） 6）7） 8）設集合中定義上述的加法數乘，且滿足上面八條運算律，稱為在實數域上的向量空間。二、向量的線性表示（線性組合）定義2 設為維列向量，若有稱為（或可由）的線性表示（組合），為線性表示系數。令，則上

29、式等價于 線性表示轉化為非齊次方程組的解。例1： 求在下的表示式。例2：, , 求在下的表示式。 （為任意數）三、向量組的線性相關性定義3 設維向量，若存在不全為零的數，使得稱 線性相關，否則稱線性無關。解釋：若能尋找到一組不全為零的，使上式成立，稱該向量組相關；若當且僅當才使上式成立，則稱向量組線性無關。令 ，由上式為 （i）若有非零解相關。（ii）若僅有零解無關。例3：中， ，稱為基本向量組（標準正交基），它們是線性無關的。例4：觀察法判別下列向量組線性關系（1） （相關）（2） （相關）（3） （相關）例5：判別下列向量組線性相關性 （無關） （相關）例6：線性無關，證明線性無關。線性相

30、關一些性質：1）含0向量的向量組必線性相關2）含兩成比例的向量的向量組必線性相關3）有部分向量線性相關，則全體向量線性相關。全體向量線性無關，則任一部分向量線性無關。4）向量組中向量數大于維數則線性相關，（個維向量的向量組線性相關）。四、線性表示與線性相關性的關系 定理 向量組線性相關至少有一個向量是其余向量的線性表示。解釋：1）向量的線性表示，必可推出該組向量線性相關。但由線性相關，要推出某一個向量是其它向量線性表示，就得根據問題的條件來考慮。2）線性相關，不一定能推出“每一個”向量都可由其余向量線性表示。例7：（1）線性相關，則可由線性表示嗎？舉例說明之。(2) 線性相關，又線性無關，則可

31、由線性表示嗎？ 例8：線性無關，且線性相關，求的值。（）例9：為的方陣，維列向量線性相關，證明線性相關。例10：線性無關；線性相關，則可由唯一線性表示。例11：線性無關，,線性相關，不能由的線性表示，證明線性無關。（其中為任意常數）。證：因線性相關，而線性無關，必有：（1）又因不能由線性表示，則有，線性無關。設（2）（1）代入（2）：因，線性無關，則上式系數為0，即故由（2）式知，線性無關。教學后記：第三章 向量的線性相關性與線性方程組解的結構3.2 向量組的極大線性無關組與秩一、本次課主要內容向量組與矩陣；極大線性無關組與向量組的秩；向量組的秩與矩陣的秩的關系。二、教學目的與要求掌握極大線性

32、無關組與向量組的秩的概念、求解，了解向量組的秩與矩陣的秩的關系。三、教學重點難點1、極大線性無關組的概念；2、向量組極大線性無關組的求解。四、教學方法和手段課堂講授、提問、討論，總結歸納。五、作業(yè)與習題布置P83 習題3 21（2）、22，23§3. 2 向量組的極大線性無關組與秩一、兩向量組等價定義1 與互相線性表示，稱兩向量組等價。 設 ， 即 等價性質（1）自反性；（2）對稱性；（3）傳遞性。二、向量組V的極大無關組與秩。定義2 設向量組V中一個組，滿足 1）若線性無關；2）對V中任一個向量，可由此向量組線性表示，即，稱 為向量組的一個極大無關組.理解:1)極大無關組定義是把線

33、性表示與線性無關結合起來的一個概念.2)定義中條件是必備的,條件可換為另一些說法.定義2 是V的極大無關組線性無關,且對V中任一個,則這個向量線性相關。線性無關，且V中任個向量線性相關。一些結論：1）向量組V中的極大無關組的組數不唯一。 2）向量組V中每一個極大無關組含向量個數唯一。 3）向量組V與極大無關組等價。 4）向量組V中的任兩個極大無關組是等價的。定理1 向量組可由線性表示 且， 則線性相關。推論1：（等價命題） 向量組線性無關，且可由線性表示，則。推論2：V中兩極大無關組含向量個數相等。定義3 V中的一個極大無關組所含向量個數稱為向量組的秩。記為秩，“秩”是向量組的一個數字特征。例

34、1： 中，為的一個極大無關組，秩。 ，極大無關組為，故。推理3：向量組（）可由向量組（）線性表示，則秩()秩（）。推論4：兩等價的向量組的秩相等。例2：擴充（剔除）法求極大無關組。 求，的一個極大無關組。三、向量組的秩與矩陣秩的關系矩陣列向量組。定理2 矩陣A的秩等于A的列（行）向量組的秩。推論：A列分塊為 ，求A的秩，當 線性相關。線性無關。（）判別向量組線性相關性方法把向量組排成矩陣為階梯形求，由推論可得相關性。例3 判別，的相關性。（）求極大無關組方法 設向量組方法1： 1步： 階梯形求秩 2步： 從向量組中挑出，判別無關性。若這r個向量無關，則為極大無關組。方法2：引理：矩陣A經初等行

35、變換化為B，則A的列向量組與B的對應列向量組有相同線性關系。1步：把排成矩陣，用初等行變換把A化為階梯形或簡化階梯形。（階梯形）2步：求的階梯數，易從B中的列知線性無關，為一個極大無關組。例4：求，的一個極大無關組，并求其余向量由此極大無關組的線性表示。練習：求的一個極大無關組（本身）。例5：向量組的秩為2，求t = （2） 。例6：設 證明線性相關。例7：設 ，與，的秩相等，且可由線性表示，求a, b。例8：（單位陣），證B的m個列線性無關。例9：設向量組若線性無關，則線性無關。即線性無關向量組延長分量得新向量組仍線性無關。 教學后記： 第三章 向量的線性相關性與線性方程組解的結構3.3 向

36、量空間的基、維數與坐標一、本次課主要內容向量空間的基、維數與坐標的定義；講解3.1、3.2中部分典型例題。二、教學目的與要求了解向量空間的基、維數和坐標的定義，理解向量空間的基與向量組的極大線性無關組之間的關系。三、教學重點難點1、向量空間基、維數、坐標的定義；2、向量空間基、維數的求法。四、教學方法和手段課堂講授、提問、討論，總結歸納。五、作業(yè)與習題布置P83-84 習題3 24，26,28§3.3 向量空間的基、維數與坐標一、向量空間的定義 定義1 非空的n維向量集合V及數域F，定義兩種運算加法：，有。（加封閉）數乘：，有。（數乘封閉）稱V為數域F上的向量空間，F取實域R稱V為實

37、向量空間。是一個空間稱零空間。（僅一個元素構成）空間必包含0元素。（唯一）空間中任一元必有負元。例1：。（是空間） 。（不是空間） 。（不是空間） 。（不是空間）生成空間 二、空間的基，維數，坐標定義2 設向量空間V中，線性無關，有（唯一）。稱為空間V的基（空間一個坐標系）。稱r為空間V的維數，記為dimV= r，稱V為r維空間。稱線性表示系數為在基下的坐標。記，向量與坐標一一對應。幾個概念的比較向量空間V（看做）向量組V空間V的基極大無關組維數向量組V的秩坐標唯一的線性表示定理 n維向量空間中任n個線性無關的向量都是向量空間V的基。（判別基的定理）例2：求 的基，維數。中，證明是的基。中，證

38、明，是的基。例3：求在基，下的坐標。三、實向量空間中向量的內積，長度，正交性設 （1）向量內積定義1 ，稱數為向量的內積（實向量空間內積）內積性質：1），2）3）4）。（2）向量的長度 定義2 稱為的長度。當，稱長度為1的為單位向量。一般：就是的單位向量。，稱為的夾角。（3）向量的正交性定義3 設向量，若, 稱與正交，記為。若向量組兩兩正交，稱此向量組為正交組，又若它們都是單位向量，則稱此向量組為標準（規(guī)范）正交組。例4：求與向量正交的向量集合。Schmidt正交化（把一個無關組變換為一個標準正交組）。為簡單起見只對線性無關向量正交化為正交組。第一步：設 。第二步：求，使與正交，即，令：上式兩

39、邊與做內積，得 。第三步：求，使之與正交，即滿足。設 ，。得最后把已正交的向量組單位化：。為標準正交組。例5：用Schmidt正交化方法把下列向量組化為標準正交組。（1）（2）。教學后記：第三章 向量的線性相關性與線性方程組解的結構3.4 線性方程組解的結構一、本次課主要內容齊次線性方程組解的結構、非齊次線性方程組解的結構。二、教學目的與要求掌握齊次線性方程組解的結構、非齊次線性方程組解的結構。三、教學重點難點1、齊次線性方程組解的結構；2、非齊次線性方程組解的結構。四、教學方法和手段課堂講授、提問、討論，總結歸納。五、作業(yè)與習題布置P84 習題3 31（2）、34 §3.4 線性方

40、程組解的結構 一、的解結構1），等價：定理1 2）的基礎解系的解集記為性質：1）解，則。 2）解，則。故是一個向量空間，稱為的解空間。定義 的解空間的基稱為基礎解系。若解是基解系，則應滿足：1）線性無關；2）中任一解可由此組線性表示。求的基礎解系。由前知識知任一解（1）把上面?zhèn)€解排成矩陣注意到的第行下方的階子式得 解線性無關（2）由（1），（2）知：為的基礎解系。定理2 ，則。即解空間含有個線性無關的解向量。，則僅零解。例1：求基礎解系（1）（2）例2：設三階方陣的三個列是下列方程組的解，求。例3： 的解空間維數為2，求及求解該方程組。例4：設是的基礎解系，證明：也是的基礎解系。例5*：證明：

41、，則有。二、的解的結構。1）。定理3 若對于 2）解結構定理引理：的任兩解之差是的解。定理4 其中是的基礎解系。例6：求通解。例7：設，。問取何值？（1）可由唯一線性表示。（2）不能由線性表示。（3）可由非唯一線性表示，并寫出表示式。例8：（1），則解空間維數為_。（2），則有_解。（3）的每一行元素之和為，則非齊次方程組，有一個解為_。例9：是的基礎解系，證明：線性無關。例10：取何值？方程組有唯一解，無解，無窮多解。例11：設為的三個線性無關的解，求的通解。例12：設4元線性方程組為（）又已知4元線性方程組（）的通解為（1）求線性方程組（）的通解。（2）求線性方程組（）和（）的所有公共解。

42、解：方程組（）的通解為解：把（）的通解代入（），則有：得時，公共解為：。例* 有一堆桃子，要分給5只猴子，第一只猴子先來了，它把桃子平分為5分，還多一個，扔了，然后拿走了自己的一份；第二只猴子來了，又把桃子分成5份，又多一個，也扔了，同樣拿走自己的一份；以后其余的三只猴子先后到來，做了同樣的事情，問原來至少有多少個桃子？最后至少有多少個桃子？解：設共有個桃子，第只猴子拿走了個桃子，則列出5個方程的6元非齊次方程組。 即為 因6元方程組系數矩陣與增廣陣的秩都為5，即中，故有解，且有無窮多解，通解為其中是對應的齊次方程組的一個非零解，為非齊次方程組的一個特解，（i）從觀察知，要求非齊次方程組的一個

43、特解，可令，得，即（ii）考慮對應的齊次方程組 左右兩邊相乘，約分得因4與5互質，可取。得因而齊次方程組的一個非零解為：。故非齊次線性方程組的通解為原來桃子個數，第5只猴子有桃子為個，取最少正整數，即，則則原來至少要有3121個桃子，最后還剩下4×255=1020個桃子。教學后記：第四章 矩陣的特征值與特征向量4.1 方陣的特征值與特征向量一、本次課主要內容方陣特征值與特征向量的定義及其性質。二、教學目的與要求掌握方陣的特征值與特征向量的定義及求解，了解其相關性質。三、教學重點難點1、方陣的特征值、特征向量的求解；2、方陣的特征值與特征向量的性質。四、教學方法和手段課堂講授、提問、討

44、論，總結歸納。五、作業(yè)與習題布置P104 習題4 1，2§4.1 方陣的特征值與特征向量一、方陣的特征值與特征向量定義1 設方陣，若存在數及維向量，使得：稱數是的一個特征值，稱為的特征值對應的特征向量。幾何代數解釋： 像與原像平行。 表示像與原像的放縮系數。定義2 稱為的特征多項式，其個根為的個特征值，（包括重根，復根）。稱為的特征矩陣。則齊次方程組的非零解集是的特征值對應的特征向量集。求的特征值與特征向量（1）由特征多項式，求出特征值。（2）對每一個，由齊次方程組，解得的非零解集就是對應的特征向量。（轉化為計算行列式與解齊次線性方程組）例1：求下列矩陣特征值（1），（2）例2：求的

45、特征值及特征向量。例3：求下面矩陣的特征值與特征向量。（1），（2）二、特征值與特征向量性質1特征值的性質設的個特征值為（1）（2） （稱為的跡）推論：可逆的個特征值非零。2特征向量的性質（1）設的特征值對應的特征向量為，則其非零的線性組合仍為的特征向量。（2）的不同特征值對應的特征向量是線性無關的。（3）* 設的兩不同特征值，又設的無關特征向量為，的無關特征向量為，則 線性無關。例4：（1），則的一個特征值為_。（2），則的特征值為_。 （3）的特征值為1，2，3，則|=_。 （4）有非零解，則有一個特征值為_。例5：，若是的一個特征向量，求及對應的特征值。例6：是的一個特征值，求及對應的特

46、征向量。例7：設是矩陣的一個特征值，對應的特征向量為，證明： 是的一個特征值。 是的一個特征值。 若可逆，則是的一個特征值。 若，則是多項式矩陣的特征值。它們的特征向量皆為例8：設的三個特征值為1，2，3，求（1）的特征值，。（2）的特征值。 （3）教學后記：第四章 矩陣的特征值與特征向量4.2 向量的內積與向量組的正交規(guī)范化一、本次課主要內容向量的內積；正交向量組與向量組的正交規(guī)范化；正交矩陣。二、教學目的與要求掌握向量的內積；掌握正交向量組的概念和向量組的正交規(guī)范化；會求正交矩陣。三、教學重點難點1、正交向量組和向量組的正交規(guī)范化；2、求解正交矩陣。四、教學方法和手段課堂講授、提問、討論，

47、總結歸納。五、作業(yè)與習題布置P104 習題4 5（1），6§4.2 向量的內積與向量組的正交規(guī)范化一、向量組的內積在空間幾何中，內積描述了向量的度量性質，如長度、夾角等.由內積的定義：，可得且在直角坐標系中將上述三維向量的內積概念自然地推廣到n維向量上，就有如下定義。定義1 設有n維向量，稱為與的內積.內積是向量的一種運算，用矩陣形式可表為.例1 計算，其中x , y如下：(1) x（，），y（，）；(2) x（，），y（，）.解 (1) x , y·（）··（）（）·；(2) x , y（）··（）··

48、.若、為n維實向量，為實數，則下列性質從內積的定義可立刻推得.(i) x , yy , x，(ii)x , yx , y，(iii)x+y , zx , zy , z.同三維向量空間一樣，可用內積定義n維向量的長度和夾角.定義2 稱為向量x的長度(或范數)，當x1時稱x為單位向量.從向量長度的定義可立刻推得以下基本性質：（） 非負性： 當x0時，x，當x時x.（）齊次性： xx.（）三角不等式： xyxy.（）柯西-許瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式: x，yxy.由柯西-許瓦茨不等式可得（x·y）.于是我們定義，當，0時，稱為x與y的夾角.二、正交向量組與向量組的正交規(guī)范化當x，y0時，稱向量x與向量y正交.顯然，n維零向量與任意n維向量正