1、 靜力學(xué)中研究了剛體和剛體系統(tǒng)的平衡問題。對于一般的靜力學(xué)中研究了剛體和剛體系統(tǒng)的平衡問題。對于一般的非自由質(zhì)點（包括可變形的剛體系統(tǒng)）而言，其平衡條件比剛非自由質(zhì)點（包括可變形的剛體系統(tǒng)）而言，其平衡條件比剛體復(fù)雜。體復(fù)雜。 例如，以無重剛體連接的兩質(zhì)點在等值，反向，共線的兩例如，以無重剛體連接的兩質(zhì)點在等值，反向，共線的兩軸向拉力和壓力的作用下均可平衡，但是若將剛桿換為柔繩，軸向拉力和壓力的作用下均可平衡，但是若將剛桿換為柔繩，則在軸向壓力下，雖然力系也滿足平衡條件，但此兩質(zhì)點所組則在軸向壓力下，雖然力系也滿足平衡條件，但此兩質(zhì)點所組成的系統(tǒng)卻不能平衡。成的系統(tǒng)卻不能平衡。 由此可見，剛體

2、平衡必要充分條件對一般的非自由質(zhì)點系由此可見，剛體平衡必要充分條件對一般的非自由質(zhì)點系統(tǒng)來說就不是充分的。因此，不能只依靠剛體平衡必要充分條統(tǒng)來說就不是充分的。因此，不能只依靠剛體平衡必要充分條件去解決非自由質(zhì)點系的平衡問題。件去解決非自由質(zhì)點系的平衡問題。 本章介紹本章介紹虛位移原理虛位移原理，又稱為，又稱為分析靜力學(xué)分析靜力學(xué)。 虛位移原理是非自由質(zhì)點系平衡的一般規(guī)律，它給出了任虛位移原理是非自由質(zhì)點系平衡的一般規(guī)律，它給出了任一非作自由質(zhì)點系平衡的必要與充分條件，是解答平衡問題一非作自由質(zhì)點系平衡的必要與充分條件，是解答平衡問題的最一般的原理。的最一般的原理。 剛體在力的作用下不變形，在

3、剛體靜力學(xué)中僅從作用于剛剛體在力的作用下不變形，在剛體靜力學(xué)中僅從作用于剛體上的力系的簡化結(jié)果就可得出剛體的平衡條件。體上的力系的簡化結(jié)果就可得出剛體的平衡條件。 由于非自由質(zhì)點系中各質(zhì)點間的相對位置可以改變，并且由于非自由質(zhì)點系中各質(zhì)點間的相對位置可以改變，并且相對位置的改變又因約束的存在而受到某些限制，問題較為復(fù)相對位置的改變又因約束的存在而受到某些限制，問題較為復(fù)雜。必須首先研究約束對質(zhì)點運動的影響，以及質(zhì)點系中各質(zhì)雜。必須首先研究約束對質(zhì)點運動的影響，以及質(zhì)點系中各質(zhì)點所可能發(fā)生的位移等。點所可能發(fā)生的位移等。 約束與約束方程約束與約束方程, ,自由度與廣義坐標自由度與廣義坐標 在靜力

4、學(xué)中，曾經(jīng)將限制某物體運動的其它物體稱為在靜力學(xué)中，曾經(jīng)將限制某物體運動的其它物體稱為約束，約束對被約束物體的作用表現(xiàn)為約束反力。約束，約束對被約束物體的作用表現(xiàn)為約束反力。 現(xiàn)在從運動學(xué)的觀點來看約束的作用，給約束下一廣義現(xiàn)在從運動學(xué)的觀點來看約束的作用，給約束下一廣義的的： 如一非自由質(zhì)點系的位置和速度受到某些預(yù)定條件的如一非自由質(zhì)點系的位置和速度受到某些預(yù)定條件的限制，這種限制條件稱為約束。限制，這種限制條件稱為約束。例如，車輪限制在直線軌跡上作無滑動例如，車輪限制在直線軌跡上作無滑動的滾動，這時約束就表現(xiàn)為限制車輪中的滾動，這時約束就表現(xiàn)為限制車輪中心到軌跡的距離不變，車輪上每瞬時與心

5、到軌跡的距離不變，車輪上每瞬時與軌跡接觸點（瞬心）的速度為軌跡接觸點（瞬心）的速度為 0 0。該限。該限制條件就是約束。制條件就是約束。 o yc(x ,y )cc rvc x 約束對質(zhì)點系運動的限制以通過質(zhì)點系中各質(zhì)點的坐標約束對質(zhì)點系運動的限制以通過質(zhì)點系中各質(zhì)點的坐標和速度的數(shù)學(xué)方程來表示，這方程稱為約束方程。和速度的數(shù)學(xué)方程來表示，這方程稱為約束方程。（1 1）按約束的作用分：）按約束的作用分： 幾何約束幾何約束只限制質(zhì)點和質(zhì)點系幾何位置的只限制質(zhì)點和質(zhì)點系幾何位置的 約束；約束； 運動約束運動約束能限制質(zhì)點系中質(zhì)點速度的約束；能限制質(zhì)點系中質(zhì)點速度的約束； 即質(zhì)點或質(zhì)點系中各質(zhì)點的坐

6、標在約束的限制即質(zhì)點或質(zhì)點系中各質(zhì)點的坐標在約束的限制條件下所必須滿足的條件。條件下所必須滿足的條件。 例如圖示小球借剛例如圖示小球借剛桿而懸于桿而懸于 o o，小球運動限，小球運動限制在圖示鉛垂平面內(nèi)繞點制在圖示鉛垂平面內(nèi)繞點作以桿長作以桿長L L為半徑的圓周為半徑的圓周運動。運動。 yom(x,y)xL則其約束方程為確定則其約束方程為確定M M點位置的方程：點位置的方程：222lyxM M點在任何位置都滿足這一方程點在任何位置都滿足這一方程。 又如：圖示曲柄又如：圖示曲柄連桿機構(gòu)，可簡化連桿機構(gòu)，可簡化為由曲柄銷為由曲柄銷 A A和滑和滑塊塊 B B兩個質(zhì)點所組兩個質(zhì)點所組成的質(zhì)點系。軸承

7、成的質(zhì)點系。軸承，剛性桿，剛性桿 A A和和ABAB以以及滑道形成了對質(zhì)及滑道形成了對質(zhì)點系的約束，點系的約束，yA(x ,y )oLxB(x ,y )AArBB其相應(yīng)的約束方程為：其相應(yīng)的約束方程為： 0)()(222222BABABAAylyyxxryx(b) (b) 運動約束的約束方程：運動約束的約束方程： 約束方程中含有質(zhì)點系中質(zhì)點的速度稱為運動約束方程中含有質(zhì)點系中質(zhì)點的速度稱為運動約束。例如：約束。例如： 沿直線軌道沿直線軌道只滾不滑的車輪只滾不滑的車輪 o y xc rcvc(x ,y )c約束的限制條件為：約束的限制條件為：限制輪緣上與地面相限制輪緣上與地面相接觸點接觸點I I

8、的速度為的速度為0 0，其約束方程為：其約束方程為： 0rxrycc為輪半徑為輪子的角速度，的速度，為輪心其中rCxc 完整約束完整約束可積分的運動約束和幾何約束可積分的運動約束和幾何約束 非完整約束非完整約束不可積分的運動約束不可積分的運動約束 如以下的運動方程中：如以下的運動方程中：為積分常數(shù)）為積分常數(shù)）積分可得：積分可得：CCrxrxcc(, 0 式中雖然有對時間式中雖然有對時間t t的微分項，但可以積分的微分項，但可以積分為有限形式。為有限形式。 定常約束定常約束質(zhì)點系所受對其運動的限制條件質(zhì)點系所受對其運動的限制條件 不隨時間變化的約束。不隨時間變化的約束。 非定常約束非定常約束凡

9、約束條件隨時間變化的約束。凡約束條件隨時間變化的約束。 定常約束，即質(zhì)點系所受對其運動的限制條件定常約束，即質(zhì)點系所受對其運動的限制條件不隨時間變化的約束稱為定常約束，定常約束的約不隨時間變化的約束稱為定常約束，定常約束的約束方程中不含時間變量，如前面幾個例子中的約束束方程中不含時間變量，如前面幾個例子中的約束均為定常約束均為定常約束 。 tayOsin 非定常約束的約束方程中顯含時間變量非定常約束的約束方程中顯含時間變量 t,t,例如圖示擺，其懸掛點例如圖示擺，其懸掛點oo沿鉛垂方向按沿鉛垂方向按 規(guī)律運動規(guī)律運動LM(x,y)yxxooyo,質(zhì)點質(zhì)點M M的約束方程為：的約束方程為： 22

10、2sinltayx式中顯含時間式中顯含時間t t，屬于非定常約束。，屬于非定常約束。 雙側(cè)約束雙側(cè)約束（固執(zhí)約束）（固執(zhí)約束）約束方程是等式的約束方程是等式的（同時限制質(zhì)點某方向及相反方向運動的約束）（同時限制質(zhì)點某方向及相反方向運動的約束）單側(cè)約束單側(cè)約束（非固執(zhí)單側(cè)約束）（非固執(zhí)單側(cè)約束）約束方程為約束方程為不等式的。不等式的。（只能限制質(zhì)點某方向的運動，不能限制其相（只能限制質(zhì)點某方向的運動，不能限制其相反方向的運動）反方向的運動）本章只討論定常的雙側(cè)、完整、幾何約束；本章只討論定常的雙側(cè)、完整、幾何約束； 在一般情況下，若由在一般情況下，若由n n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，受到個質(zhì)點組成的質(zhì)

11、點系，受到S S個個定常完整約束的限制，則其約束方程為：定常完整約束的限制，則其約束方程為： Szyxzyxzyxfnnn.3 , 2 , , 10,;.,;,222111 此即確定質(zhì)點系位置的此即確定質(zhì)點系位置的3n3n個坐標所應(yīng)滿足的個坐標所應(yīng)滿足的S S個關(guān)系式。個關(guān)系式。由此可見，如果在由此可見，如果在3n3n個坐標個坐標x xi i、y yi i、z zi i(i=1,2,n)(i=1,2,n)中知道中知道了了3n-S3n-S個彼此獨立的坐標，并利用此個彼此獨立的坐標，并利用此S S個約束方程，即可解個約束方程，即可解出其余出其余S S個未知的坐標，于是，便可完全確定質(zhì)點系的位置。個

12、未知的坐標，于是，便可完全確定質(zhì)點系的位置。 確定具有完整約束的質(zhì)點系位置所需的獨立坐標數(shù)稱為確定具有完整約束的質(zhì)點系位置所需的獨立坐標數(shù)稱為該質(zhì)點系的該質(zhì)點系的自由度數(shù)自由度數(shù)。以。以 k k表示自由度數(shù)，則上述具有表示自由度數(shù)，則上述具有S S個完個完整約束并由整約束并由n n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系的自由度數(shù)：個質(zhì)點組成的質(zhì)點系的自由度數(shù)： k k3n3nS , S , 具有具有k k個自由度個自由度 （平面（平面k k2n2nS S ） 例如：雙擺的約束方程為：例如：雙擺的約束方程為： B(x ,y )yo12L2A(x ,y )L1xAABB22222122lyyxxlyxABABAA約束

13、為完整約束，所以在約束為完整約束，所以在確定雙擺位置的確定雙擺位置的 4 4個坐標個坐標x xA A,y,yA A,x,xB B,y,yB B中只有中只有 2 2 個是個是獨立的（如獨立的（如x xA A, y, yB B），因此，雙擺的自由度為：），因此，雙擺的自由度為：k=2n-2=2k=2n-2=2 事實上，該例中只要確定事實上，該例中只要確定1 1、2 2，那么，那么A.BA.B的位置坐標的位置坐標也就完全確定了，位置坐標可表示為：也就完全確定了，位置坐標可表示為： 22112211111coscossinsincossinllyllxlylxBBAA 1 1、2 2起到了確定該質(zhì)點位

14、置的作用，稱為廣義坐標。起到了確定該質(zhì)點位置的作用，稱為廣義坐標。 B(x ,y )yo12L2A(x ,y )L1xAABB 凡能借以確定質(zhì)點系位置的獨立參變量稱為凡能借以確定質(zhì)點系位置的獨立參變量稱為質(zhì)點系的廣義坐標。質(zhì)點系的廣義坐標。 廣義坐標可以是直角坐標廣義坐標可以是直角坐標x x，y y，z z，球坐標或，球坐標或柱坐標，弧坐標，轉(zhuǎn)角等，也可以是其它的任何柱坐標，弧坐標，轉(zhuǎn)角等，也可以是其它的任何確定質(zhì)點系位置的量，甚至還可以是壓強和體積。確定質(zhì)點系位置的量，甚至還可以是壓強和體積。 而且，對于完整約束的質(zhì)點系，其而且，對于完整約束的質(zhì)點系，其自由度數(shù)自由度數(shù)與廣義坐標數(shù)相等與廣義

15、坐標數(shù)相等。如前例中雙擺，自由度數(shù)為。如前例中雙擺，自由度數(shù)為2 2，廣義坐標亦為，廣義坐標亦為2 2。 一般來說，由一般來說，由n n個質(zhì)點組成的并具有定常的個質(zhì)點組成的并具有定常的完整約束的質(zhì)點系，若自由度數(shù)為完整約束的質(zhì)點系，若自由度數(shù)為k k，則可選取，則可選取k k個獨立的參變量個獨立的參變量q q1 1,q,q2 2,q,qk k作為其廣義坐標。作為其廣義坐標。 此即用廣義坐標表示的此即用廣義坐標表示的n n個質(zhì)點位置的一般表達式，個質(zhì)點位置的一般表達式，其中隱含了約束條件。其中隱含了約束條件。 kkiikiikiiqqqqqqzzqqqyyqqqxx.,.,.,.,2121212

16、1i ii ir rr r即：即：于是有：于是有：在某瞬時，質(zhì)點在約束允許的條件下，所可能在某瞬時，質(zhì)點在約束允許的條件下，所可能發(fā)生的任何的微小位移稱為質(zhì)點的虛位移。發(fā)生的任何的微小位移稱為質(zhì)點的虛位移。xzwyrs如圖所示的質(zhì)點，如圖所示的質(zhì)點，受一曲面約束，質(zhì)點在此曲面受一曲面約束，質(zhì)點在此曲面上運動，在法線上運動，在法線w w方向上，約束方向上，約束質(zhì)點限制運動。質(zhì)點限制運動。 約束所能允許的微小位移約束所能允許的微小位移（ 虛位移）只能沿切平面。虛位移）只能沿切平面。 （1 1）虛位移和實位移都是約束所允許的位移。）虛位移和實位移都是約束所允許的位移。（2 2）在定常約束條件下，實位

17、移是若干虛位移中的）在定常約束條件下，實位移是若干虛位移中的一個。一個。質(zhì)點在一定的時間內(nèi)所完成的真實位移，可以是質(zhì)點在一定的時間內(nèi)所完成的真實位移，可以是有限量，也可以是無限量的，決定于物體的主動力和約束條有限量，也可以是無限量的，決定于物體的主動力和約束條件，初始條件（初速度，初位移等）件，初始條件（初速度，初位移等）不受時間限制，與力的作用無關(guān)，決定于約束的不受時間限制，與力的作用無關(guān)，決定于約束的幾何位置，只要約束允許，其虛位移即可以沿不同的方向，幾何位置，只要約束允許，其虛位移即可以沿不同的方向，但只能是微小量。但只能是微小量。 （1 1）虛位移是假想的，實位移是真實的。）虛位移是假

18、想的，實位移是真實的。（2 2）虛位移可以朝約束允許的任意方向運動，實位）虛位移可以朝約束允許的任意方向運動，實位移只有一運動方向。移只有一運動方向。（3 3）靜止時，可以有虛位移，而無實位移。）靜止時，可以有虛位移，而無實位移。（4 4）實位移可以是微小值實位移可以是微小值dr,也可能是有限值也可能是有限值r，虛位移只能是虛位移只能是r。（5 5）完成實位移需要時間，而虛位移不同的瞬時處）完成實位移需要時間，而虛位移不同的瞬時處于不同位置就有不同的虛位移。于不同位置就有不同的虛位移。BoxyrArAdrArBArB例如：曲柄連桿機構(gòu)：例如：曲柄連桿機構(gòu)： 如果如果方向確定了，方向確定了，A

19、A點及點及B B 點的實際位移方向就決定于點的實際位移方向就決定于的轉(zhuǎn)向。而虛位移則不論的轉(zhuǎn)向。而虛位移則不論的方向如何，只要是約束允許的的方向如何，只要是約束允許的即可隨意假設(shè)。符號區(qū)別：即可隨意假設(shè)。符號區(qū)別： zyxsrdzdydxddsdr,虛位移：虛位移：實位移：實位移： 定常約束情況下，實位移是所有虛位移中的一個。對于定常約束情況下，實位移是所有虛位移中的一個。對于非定常約束，虛位移指某一個瞬時將時間固定，約束所能允非定常約束，虛位移指某一個瞬時將時間固定，約束所能允許的微小位移。而實位移是不能固定時間的。許的微小位移。而實位移是不能固定時間的。 幾何法：幾何法： 非自由質(zhì)點系在中

20、各質(zhì)點的相對應(yīng)位置必須非自由質(zhì)點系在中各質(zhì)點的相對應(yīng)位置必須滿足相應(yīng)的約束條件，因而在各點虛位移之間就滿足相應(yīng)的約束條件，因而在各點虛位移之間就存在著一定的關(guān)系。存在著一定的關(guān)系。 對于剛體或剛體系統(tǒng)而言，各點虛位移之間對于剛體或剛體系統(tǒng)而言，各點虛位移之間的關(guān)系與該點運動時各點速度之間的關(guān)系相同。的關(guān)系與該點運動時各點速度之間的關(guān)系相同。如上述曲柄連桿機構(gòu)：若給如上述曲柄連桿機構(gòu)：若給A點虛位移點虛位移rA，則曲柄的虛轉(zhuǎn)角，則曲柄的虛轉(zhuǎn)角為：為： rA r。曲柄上各點的虛位移與定軸轉(zhuǎn)動剛體各點的速度一樣求法，曲柄上各點的虛位移與定軸轉(zhuǎn)動剛體各點的速度一樣求法，為到轉(zhuǎn)軸的距離為到轉(zhuǎn)軸的距離。同

21、理，由于連桿同理，由于連桿AB的限制，的限制，A,B兩點間的距離不能改變，兩點間的距離不能改變，故可以認為故可以認為B點與點與rA 相應(yīng)相應(yīng)的虛位移的虛位移rB是由于連桿是由于連桿AB繞瞬心繞瞬心I轉(zhuǎn)過一虛轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)過一虛轉(zhuǎn)角I 而得到的，且：而得到的，且： AIrAIyCIrALorAIIBxrB-9090-oo從而得到從而得到B B點的虛位移點的虛位移r rB B 為：為： AAIBrrAIBIBIrcos)sin( 顯然，顯然，A,BA,B兩點虛位移之間的關(guān)系與速度關(guān)系完全相同。兩點虛位移之間的關(guān)系與速度關(guān)系完全相同。對于作平面運動的對于作平面運動的A,BA,B桿上其余各點的虛位移可以同樣求

22、得。桿上其余各點的虛位移可以同樣求得。（用速度瞬心法）（用速度瞬心法） oBArIC0-90L90-0yrArBIxIcos)sin(coscoscos)90sin(cos)sin()90sin()sin(AIBIlAIlAIlBIlBIoooBArIC0-90L90-0yrArBIxI 解析法是將質(zhì)點系中各質(zhì)點的位置坐標以廣義坐標表示，解析法是將質(zhì)點系中各質(zhì)點的位置坐標以廣義坐標表示，對廣義坐標求偏導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)之和表示其虛位移。對廣義坐標求偏導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)之和表示其虛位移。 如前述的復(fù)擺，自由度為如前述的復(fù)擺，自由度為2(k=2n-2=2),2(k=2n-2=2),約束方程為約束方程為2 2，

23、這，這時，只要選擇了兩個廣義坐標時，只要選擇了兩個廣義坐標1 1，2 2，A,BA,B兩質(zhì)點的位置即兩質(zhì)點的位置即可完全確定?？赏耆_定。2y1oxA(x ,y )B(x ,y )AABBll1211111221122sincossinsincoscosAABBxlylxllyll兩質(zhì)點虛A,B沿x,y方向的位移可以求得：位位移移。兩兩質(zhì)質(zhì)點點用用坐坐標標表表示示的的虛虛即即求求得得BAllyyyllxxxlyyylxxxBBBBBBAAAAAA,sinsincoscossincos22211122112221112211111221111122112y1oxA(x ,y )B(x ,y )A

24、ABBll1211111221122sincossinsincoscosAABBxlylxllyll 設(shè)質(zhì)點系由設(shè)質(zhì)點系由n n個質(zhì)點組成，并且由個質(zhì)點組成，并且由S S個完整約束，自由度個完整約束，自由度k k3n3nS S，選擇，選擇k k 個廣義坐標個廣義坐標q q1 1，q q2 2，q qk k以表示質(zhì)點系中以表示質(zhì)點系中k k個質(zhì)點的位置。個質(zhì)點的位置。 若給質(zhì)點系以任意的虛位移，則各廣義坐標均應(yīng)有相應(yīng)的若給質(zhì)點系以任意的虛位移，則各廣義坐標均應(yīng)有相應(yīng)的微小改變（稱為廣義虛位移），并分別以微小改變（稱為廣義虛位移），并分別以q q1 1，q q2 2，q qk k表示。質(zhì)點系中任一

25、點表示。質(zhì)點系中任一點M Mi i的任一坐標，如的任一坐標，如x xi i 就有相應(yīng)的微小改就有相應(yīng)的微小改變量變量x xi i，則，則M Mi i 以廣義坐標表示的位置坐標為：以廣義坐標表示的位置坐標為：iii1122kkxxxqq ,qq ,.,qq 利用多元函數(shù)的臺勞級數(shù)展開，并略去二階以上的微量，利用多元函數(shù)的臺勞級數(shù)展開，并略去二階以上的微量，則有：則有： kki2i11ik21iiqqx.qxqqxq,.,q,qxxxiiii1k12kiiii1k12kiiii1k12kxxxxq.qqqqyyyyq.qqqqzzzzq.qqqq推得到解析法求虛位移的公式推得到解析法求虛位移的公式

26、kki2i11ik21iiqqx.qxqqxq,.,q,qxxx其表達式為其表達式為 01niiNirF 約束反力在質(zhì)點系的任何虛位移上所作元功約束反力在質(zhì)點系的任何虛位移上所作元功為為0 0的約束稱為理想約束。的約束稱為理想約束。 換言之：理想約束的換言之：理想約束的約束反力在質(zhì)點系的任何虛位移上不作功。約束反力在質(zhì)點系的任何虛位移上不作功。 （1 1）光滑支承面約束：）光滑支承面約束： rNF0r rF FF Fr rNNW(2) (2) 中間鉸（包括固定鉸支座，軸承，活動鉸等）中間鉸（包括固定鉸支座，軸承，活動鉸等）NNrFF F FN N和和F FN N為其兩桿反力，為其兩桿反力，且且

27、有有 F FN NF FN N ，二力的，二力的作用點在作用點在O O點的虛位移所作點的虛位移所作的元功之和為的元功之和為0 0，即：，即： 0 r rF Fr rr rF FNNNNFF(3)(3)連桿（二力桿）連接兩質(zhì)點連桿（二力桿）連接兩質(zhì)點 A,B兩質(zhì)點以無重剛體相連，所受的約束反力兩質(zhì)點以無重剛體相連，所受的約束反力分別為：分別為： rNABNBrFFA0rFrFrrBA,FFFFBNBANAABBABANBNANBNA即：故兩點距離不能改變，和(4)(4)連接兩點不可伸長的的柔性約束連接兩點不可伸長的的柔性約束 兩質(zhì)點兩質(zhì)點A A和和B B以不可伸長且跨過滑輪的受拉柔繩以不可伸長且

28、跨過滑輪的受拉柔繩相連，繩對質(zhì)點的拉力分別為：相連，繩對質(zhì)點的拉力分別為： FTFATBABrr0rFrFABFFFFBTBATATBTATBTA：所作的功之和為所作的功之和為0 0，即，即約束反力在虛位移上約束反力在虛位移上從而，可得出：從而，可得出：繩上的投影應(yīng)相等，繩上的投影應(yīng)相等，兩點的虛位移在兩點的虛位移在繩子不可伸長，繩子不可伸長，（大小相等）（大小相等），且有：且有：與與1 1 虛位移原理：虛位移原理： 具有定常、理想約束的質(zhì)點系處于平衡位置的具有定常、理想約束的質(zhì)點系處于平衡位置的必要充分條件是作用于質(zhì)點系上的所有主動力在質(zhì)必要充分條件是作用于質(zhì)點系上的所有主動力在質(zhì)點處于該位

29、置時的任何虛位移上所作的元功之和為點處于該位置時的任何虛位移上所作的元功之和為0 0。 其數(shù)學(xué)表達式為：其數(shù)學(xué)表達式為： 0rFin1ii注：注：“處于平衡位置處于平衡位置”是指質(zhì)點系在該位置所受是指質(zhì)點系在該位置所受的主動力與約束反力相平衡，從而質(zhì)點系的加速的主動力與約束反力相平衡，從而質(zhì)點系的加速度為度為0 0，如速度亦為，如速度亦為0 0，則質(zhì)點系靜止。，則質(zhì)點系靜止。 如圖示單擺：如圖示單擺：在在OAOA位置，位置， 平衡平衡與與g gF FmTyAM oxT1TmgmgFF OAOA為平衡位置。為平衡位置。如采用直角坐標，如采用直角坐標，則得虛位移原理則得虛位移原理的解析表達式為：的

30、解析表達式為： 01niiiiiiizzyyxx2 2 原理的證明：原理的證明： （1 1）必要性）必要性 即要證明：若質(zhì)點系處于平衡即要證明：若質(zhì)點系處于平衡位置，上式必然成立。位置，上式必然成立。 若質(zhì)點系處于平衡位置，其中任一質(zhì)點所受的若質(zhì)點系處于平衡位置，其中任一質(zhì)點所受的主動力主動力F Fi i與約束反力與約束反力F FNiNi互成平衡，即有：互成平衡，即有： 0FFiNi主動力與約束反力在質(zhì)點的虛位移上作的元功：主動力與約束反力在質(zhì)點的虛位移上作的元功： 對于每個質(zhì)點寫一個該方程（即認為對于每個質(zhì)點寫一個該方程（即認為i i1 1，2 2，n n）, ,然后連加起來得：然后連加起來

31、得： 0rFFiiNi)(0rFFn1iiiNi)(必要性得證,故得：,理想約束，有：又0rFrFin1iiiiN（2 2）充分性：即要證明若）充分性：即要證明若 成立，成立，質(zhì)點必平衡。質(zhì)點必平衡。采用反證法，設(shè)質(zhì)點不平衡，有采用反證法，設(shè)質(zhì)點不平衡，有 成立，那么質(zhì)點系從靜止開始運動，并在微元時間成立，那么質(zhì)點系從靜止開始運動，并在微元時間內(nèi)發(fā)生微小實位移，則有微小動能：內(nèi)發(fā)生微小實位移，則有微小動能： 0)(NFF01niii ir rF F 0) 1 ()()21(12是理想約束，是理想約束，jNjjNjmjjjjvmddTr rF Fr rF FF F211:()()(2)200mk

32、kkNkkkjjknmdTdm vvv設(shè)有個質(zhì)點不動，即而，F(xiàn)FrFFr充分性得證。必有質(zhì)點系處于平衡，要上式成立，必有與原題假設(shè)不和，且則質(zhì)點系總動能：式相加式和0, 0:, 000,)2() 1 (avdTiiir rF Fr rF F3 3 討論：討論：（1 1）如果質(zhì)點系有摩擦力和彈性力，則將其看作）如果質(zhì)點系有摩擦力和彈性力，則將其看作 主動力，同樣應(yīng)用虛位移原理；主動力，同樣應(yīng)用虛位移原理；（2 2）如質(zhì)點系的主動力包括有主動力矩，那么相）如質(zhì)點系的主動力包括有主動力矩，那么相 應(yīng)的虛位移應(yīng)為虛轉(zhuǎn)角。應(yīng)的虛位移應(yīng)為虛轉(zhuǎn)角。4 4 虛位移原理的應(yīng)用虛位移原理的應(yīng)用（1 1）利用原理求

33、物體系統(tǒng)平衡時，各質(zhì)點間的位置；）利用原理求物體系統(tǒng)平衡時，各質(zhì)點間的位置；（2 2）利用原理求物體系統(tǒng)平衡時，未知的約束力。）利用原理求物體系統(tǒng)平衡時，未知的約束力。 例題例題1 1 在曲柄式壓榨機在曲柄式壓榨機OABOAB的中間銷釘?shù)闹虚g銷釘A A上作用一上作用一 水平力水平力F F，此力位于，此力位于OABOAB平面內(nèi)，如平面內(nèi)，如AOBlABOA 求物體求物體M M所受的壓力。所受的壓力。設(shè)設(shè)O O為光滑鉸鏈，壓板為光滑鉸鏈，壓板D D與鉛垂接觸面間為光滑與鉛垂接觸面間為光滑接觸，且板和桿的質(zhì)量接觸，且板和桿的質(zhì)量均不計。均不計。 yB90MRBA90IOx2rrA00090FFll解

34、：（解：（1 1）研究由桿）研究由桿OAOA，OBOB和壓板和壓板D D所組成的系統(tǒng)所組成的系統(tǒng) 的平衡的平衡 （2 2）建立圖示坐標，受力分析）建立圖示坐標，受力分析( (主動力主動力) ) （3 3）約束分析：）約束分析： 因光滑鉸且光滑接觸，因光滑鉸且光滑接觸，所以均是定常的理想約束，所以均是定常的理想約束，如對其建立約束方程，則如對其建立約束方程，則方程中不會顯含方程中不會顯含t t ，所以，所以可用虛位移解題?？捎锰撐灰平忸}。 yB90MRBA90IOx2rrA00090FFll（4 4）求出虛位移：質(zhì)點系為一曲柄滑塊機構(gòu)，其）求出虛位移：質(zhì)點系為一曲柄滑塊機構(gòu)，其 自由度為自由度為

35、1 1，選，選為廣義坐標，由解析法可得：為廣義坐標，由解析法可得： cos2sinlylxBAsin2coslyylxxBBAAyB90MRBA90IOx2rrA00090FFll(5) (5) 應(yīng)用虛位移原應(yīng)用虛位移原理求解理求解 ctgFFlFFlRR20sin2cossin2coslylxBAyB90MRBA90IOx2rrA00090FFllsin2)90sin(2sin:0lrrAIBIrABIAAB瞬心，故有：瞬心，故有：桿的速度桿的速度點為點為又又如用幾何法求解：如用幾何法求解： 給一虛位移轉(zhuǎn)角給一虛位移轉(zhuǎn)角，則，則A點虛位移點虛位移lrA的大小為的大小為yB90MRBA90IO

36、x2rrA00090FFllctgFFlFlFRRDA20sin2cos:00:或或得：得：由虛位移原理由虛位移原理r rF FF Fr rF FR R與用幾何法求解的結(jié)果一樣。與用幾何法求解的結(jié)果一樣。 yB90MRBA90IOx2rrA00090FFll例例2 2 圖示為一多跨靜定梁，試求支座圖示為一多跨靜定梁，試求支座B B的約束反力。的約束反力。 4mrAA4m3mBD3mrr1BB3mr2D33mE6mErEGG4r4m1F2F3F4F123FFF4FHHFRB解：為求支座解：為求支座B B的反力，應(yīng)撤去支座的反力，應(yīng)撤去支座B B而代之以相應(yīng)而代之以相應(yīng)的反力的反力R RB B，視

37、其為主動力之一，于是系統(tǒng)可有微小，視其為主動力之一，于是系統(tǒng)可有微小的移動（轉(zhuǎn)動）給系統(tǒng)以虛位移，如圖（注意虛位的移動（轉(zhuǎn)動）給系統(tǒng)以虛位移，如圖（注意虛位移應(yīng)是約束允許的，移應(yīng)是約束允許的，故不能破壞其約束）故不能破壞其約束），由虛位移原理得：，由虛位移原理得：443322114433221110rFrFrFrFrFrFrFrFrFrFBBRBBR4mrAA4m3mBD3mrr1BB3mr2D33mE6mErEGG4r4m1F2F3F4F123FFF4FHHFRB241181163346118113681121842244223321BEEBBBBBrrrrrrrrrrrrrrrrrr，各虛

38、位移的關(guān)系：各虛位移的關(guān)系：43212411161181121FFFFFBR：故得4mrAA4m3mBD3mrr1BB3mr2D33mE6mErEGG4r4m1F2F3F4F123FFF4FHHFRB例例 均質(zhì)桿均質(zhì)桿OAOA及及ABAB在在A A點用鉸鏈連接，并在點用鉸鏈連接，并在O O處用處用固定鉸支座支承，兩桿長度分別為固定鉸支座支承，兩桿長度分別為2a2a和和2b2b，重分別，重分別為為G G1 1 和和G G2 2，設(shè)在，設(shè)在B B點點施加一水平力施加一水平力F F，求，求系統(tǒng)平衡時兩桿與系統(tǒng)平衡時兩桿與鉛垂線的夾角鉛垂線的夾角和和。BADC0G12GFxy解：這是一個具有兩個自由度

39、的系統(tǒng)，取廣義坐標解：這是一個具有兩個自由度的系統(tǒng)，取廣義坐標和和，建立坐標如圖。采用解析法求虛位移：，建立坐標如圖。采用解析法求虛位移：sin2sin2coscos2cosbaxbayayBDcBADC0G12GFxycos2cos2sinsin2sinbaxbayayBDc0cos2sincos2sin2sin0)cos2cos2()sinsin2()sin(22121）（）（bFbGaFaGaGbaFbaGaG整理得：由虛位移原理得：BADC0G12GFxy于是有：，相互獨立，并且：與由于：,000cos2sin0cos2sin2sin221bFbGaFaGaG0cos2sincos2s

40、in2sin221）（）（bFbGaFaGaG221G2Farctan,2GG2Farctan：解得BO1OAMF例：例： 機構(gòu)如圖，已知：機構(gòu)如圖，已知：OA=O1BL，O1BOO1，作用于，作用于OA上的力偶矩為上的力偶矩為M，試用虛位移原理求機構(gòu)在圖示位置平衡時，試用虛位移原理求機構(gòu)在圖示位置平衡時F力的大小。力的大小。ABFOO1MrrAerrrB解：解：A點的虛位移如圖所示，點的虛位移如圖所示，sinsinLrrAe1sineerro ALLLrLBoreBsin10BrFMLMF/4m3m3m 3m3m6m4mF1F32F4mM例例 圖示為一多跨靜定梁，試求圖示為一多跨靜定梁，試求

41、B B處約束反力。處約束反力。rMFBrr rr12BE32F3FF1解要求支座解要求支座B B處反力，處反力，應(yīng)將支座應(yīng)將支座B B除去，代之除去，代之以相應(yīng)的約束反力以相應(yīng)的約束反力F FB B，并將其視為主動力之一。并將其視為主動力之一。此時系統(tǒng)變?yōu)橐粋€自由度此時系統(tǒng)變?yōu)橐粋€自由度系統(tǒng)，選系統(tǒng)，選r rB B為獨立虛位為獨立虛位移。給移。給B B點一虛位移點一虛位移r rB B ，則系統(tǒng)有相應(yīng)的虛位移如則系統(tǒng)有相應(yīng)的虛位移如圖中虛線所示形狀。圖中圖中虛線所示形狀。圖中各主動力作用點處的虛位各主動力作用點處的虛位移分別用移分別用r r1 1、r r2 2 、r r3 3 及及表示。表示。1

42、24111,828BBrrrr33223 11116 816BBrrrrrr23111166696EBBBrrrrrrMFBrr rr12BE32F3FF1由虛位移原理有由虛位移原理有0332211MrFrFrFrFBB解得解得BBBBBrMrrFrrFrrFF332211MFFFFB9611161181121321從而有從而有kN801FkN602FkN/m10qq21FF2m3m3m2m1m4m例例5 圖示為一多跨靜定梁，試求圖示為一多跨靜定梁，試求A A端處約束反力偶矩及鉛垂反端處約束反力偶矩及鉛垂反力。已知力。已知q21FF2m3m3m2m1m4m解要求解要求A A端約束反力偶矩，端約

43、束反力偶矩，可將固定端支座變成固定鉸可將固定端支座變成固定鉸支座，用約束反力偶矩支座，用約束反力偶矩M MA A代之去掉的相應(yīng)約束，并視代之去掉的相應(yīng)約束，并視為主動力之一。為主動力之一。此時系統(tǒng)變?yōu)橐粋€自由度系此時系統(tǒng)變?yōu)橐粋€自由度系統(tǒng)，選統(tǒng)，選為獨立虛位移，為獨立虛位移，給給ABAB梁一虛位移梁一虛位移，則系，則系統(tǒng)有相應(yīng)的虛位移如圖虛線統(tǒng)有相應(yīng)的虛位移如圖虛線所示。所示。 M123F12Fqrrr圖中各主動力作用點的虛位移分別用圖中各主動力作用點的虛位移分別用 、 和和 表示。表示。由虛位移原理，得由虛位移原理，得M123F12Fqrrr1r2r3r0432211rqrFrFMA3121

44、24ArrrMFFq解得解得224336, 4236, 3321rrrmkN40084321qFFMA由圖知由圖知從而有從而有要求要求A A處鉛垂反力，可將固定端支座變成定向支座，用鉛垂處鉛垂反力，可將固定端支座變成定向支座，用鉛垂約束反力約束反力F FAYAY代之去掉的相應(yīng)約束，并視為主動力。此時系統(tǒng)代之去掉的相應(yīng)約束，并視為主動力。此時系統(tǒng)變?yōu)橐粋€自由度系統(tǒng)，選變?yōu)橐粋€自由度系統(tǒng)，選r rA A為獨立虛位移，給為獨立虛位移，給ABAB梁梁A A處一處一虛位移虛位移r rA A，則系統(tǒng)有相應(yīng)的虛位移如圖中虛線所示。，則系統(tǒng)有相應(yīng)的虛位移如圖中虛線所示。FAFyF1q1A230432211rqrFrFrFAAy-AAAAyrrqrrFrrFF32211412321,32 11323AAArrrrrrkN7 .1063143221qFFFAy同理，由虛位移原理可得同理，由虛位移原理可得解得解得由圖知由圖知從而有從而有1FF2hahh 剛架受荷載如圖所示，試求支座剛架受荷載如圖所示，試求支座B B處水平反力。處水平反力。r1FrF2rEChBrBxFahh,解解 將將B B處的水平約束解除，處的水平約束解除，代之以相應(yīng)的水平反