1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末考試試題（A）專業(yè)、班級：姓名：學(xué)號(hào)：題號(hào)一二二四五六七八九十一十二總成績得分11 / 10、單項(xiàng)選擇題(每題3分共18分)1 . D 2. A 3. B 4, A5. A 6. B(1)(2)設(shè)隨機(jī)變量X其概率分布為則 PX 1.5()。(A)0.6(B) 1(C) 0X -1 0 1 2P 0.2 0.3 0.1 0.4(D)(3)設(shè)事件A1與A2同時(shí)發(fā)生必導(dǎo)致事件A發(fā)生，則下列結(jié)論正確的是(A)P(A)P(A1A2)(B)P(A)P(A1)P(A2)1(C)P(A)P(A1 A2)(D)P(A)P(A1)P(A2)1(4)設(shè)隨機(jī)變量 XN( 3, 1), Y N(2,

2、 1),且X與Y相互獨(dú)立，令 Z X 2 Y 7,則 Z().(A) N(0, 5);(B) N(0, 3);(C) N(0, 46);(D) N(0, 54).(5)設(shè) X1X2,Xn為正態(tài)總體N( , 2)的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本，其中2,未知，則()是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量n(Xi i 1)2(A)Xi22(B)i 1(C) X(D)設(shè)樣本Xi,X2, ,Xn來自總體XN(, 2), 2未知。統(tǒng)計(jì)假設(shè)為H0：0( 0已知)Hi：0。則所用統(tǒng)計(jì)量為()(A)UX7(B) T 上萬,nS nf1© 2 (n 1)S2ZD 21n2(C)2(D)2(Xi )i 1二、填空題(每空3分共15分)xex

3、x 02 c1 4. t(9)1.P(B) 2. f (x), 3e 3.0x 0P(A),則 P(B|A)(1)如果 P(A 0, P(B) 0, P(AB)(2)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為0, F(x) 1 (1x x)e x, x0, 0.P(X 2)則X的密度函數(shù)f(x)(3)XiX9(4)設(shè)總體X和Y相互獨(dú)立，且都服從N(0,1) , Xi,X2, X9是來自總體X的樣本，丫1,丫2, X是來自總體Y的樣本，則統(tǒng)計(jì)量服從 分布(要求給出自由度)。三、(6 分)設(shè) A, B 相互獨(dú)立，P(A) 0.7, P(A B) 0.88,求 P(A B).解： 0.88=P(A B) P(A) P

4、(B) P(AB)= P(A) P(B) P(A)P(B) (因?yàn)锳, B相互獨(dú)立).2分= 0.7 P(B) 0.7P(B)3 分則P(B) 0.6 .4 分P(A B) P(A) P(AB) P(A) P(A)P(B)0.7 0.7 0.6 0.28 6 分四、(6分)某賓館大樓有4部電梯，通過調(diào)查，知道在某時(shí)刻 T,各電梯在 運(yùn)行的概率均為0.7,求在此時(shí)刻至少有1臺(tái)電梯在運(yùn)行的概率。解：用X表示時(shí)刻T運(yùn)行的電梯數(shù)，則Xb(4, 0.7).2分所求概率P X 1 1 P X 04分1 C0(0.7)0(1 0.7)4=0.9919 .6 分e x x 0五、(6分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度

5、為f(x) ,0, 其它求隨機(jī)變量Y=2X+1的概率密度。解：因?yàn)閥 2x 1是單調(diào)可導(dǎo)的，故可用公式法計(jì)算 .1分當(dāng)X 0時(shí)，Y 1 .2分y 11由 y 2x1, 得 x , x' 4 分22“?)2 y 1從而Y的密度函數(shù)為fY(y).5分1”2-e 22y 1.6 分0y 1六、(8分)已知隨機(jī)變量X和Y的概率分布為X101Y01P111P1142422而且 P XY 0 1.(1)求隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布；(2)判斷X與Y是否相互獨(dú)立？解：因?yàn)镻 XY 01 ,所以P XY 00(1)根據(jù)邊緣概率與聯(lián)合概率之間的關(guān)系得出XY-10101011414210201211J424

6、.4分111(2)因?yàn)?P X 0,Y 00 P X 0 P Y 0224所以 X與Y不相互獨(dú)立8分七、（8分）設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為12e(3x4y), x 0,y 0, f (x, y)0,其他.求：(1) P(0 X 1,0 Y 2) ; (2)求X的邊緣密度12.2分解：(1) P(0 X 1,0 Y 2) dx 12e (3x 4y)dy001 3x3e02 4ydx 04e dy=3x 1 4y 2e 0 e 0=1 e31 e8(2) fX(x)12e (3x4y)dy3e3x x 00 x 0.4分.6 分.8 分八、（6分）一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命 X （

7、以年計(jì)）服從參數(shù)為1的指數(shù)分 4布。工廠規(guī)定，出售的設(shè)備在售出一年之內(nèi)損壞可予以調(diào)換。 若工廠售出一臺(tái)設(shè) 備盈利100元，調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠方需花費(fèi)300元，求工廠出售一臺(tái)設(shè)備凈盈利的 期望。解:因?yàn)閄 e(1)4得 f (x).2分用Y表示出售一臺(tái)設(shè)備的凈盈利100 Y100 300所以P(Y100)200EY1164dxx14 .-e 4dx41100 e 4200) (11e 4).4分1300e 4 20033.64 (元).6分九、(8分)設(shè)隨機(jī)變量X與Y的數(shù)學(xué)期望分別為2和2,方差分別為1和4,而相關(guān)系數(shù)為 0.5,求E(2X Y), D(2X Y)。解：已知 EX 2, EY 2,

8、DX 1, DY 4, XY 0.5則 E(2X Y) 2EX EY 2 ( 2) 26.4 分D(2X Y) D(2X) DY 2cov(2X,Y).5 分2DX DY 4 cov( X, Y).6 分2DX DY 4VDXVDY xy=12 .8 分十、（7分）設(shè)供電站供應(yīng)某地區(qū)1 000戶居民用電，各戶用電情況相互獨(dú)立。已 知每戶每日用電量（單位：度）服從0, 20上的均勻分布，利用中心極限定 理求這1 000戶居民每日用電量超過10 100度的概率。（所求概率用標(biāo)準(zhǔn)正 態(tài)分布函數(shù)（x）的值表示）.解：用Xi表示第i戶居民的用電量，則Xi U 0,20一-20 20(20 0)100今E

9、X i 10 DX i 2 萬21231000則1000戶居民的用電量為X Xi,由獨(dú)立同分布中心極限定理i 1P X 101001 P X 101003 分X 1000 P 10100 1000310100 1000 101003100010100 1000 101()1001000 13.6分=1卜一、（7 分）設(shè) Xi,X2,Xn是取自總體X的一組樣本值,X的密度函數(shù)為其中 0未知，求解：最大似然函數(shù)為、（1）xf （X）0,的最大似然估計(jì),0x1, 其他，nL(Xi, Xn, ) f (Xi)i 1(1)Xi.2分=(1)n(X1,Xn )In L(xi,Xn, ) nln( 1)ln(x，Xn)0 Xi, Xn1 .4分a d In L n令 ln(x1,xn) 0.5 分d1于是的最大似然估計(jì)：lnln(xi,Xn)十二、(5分)某商店每天每百元投資的利潤率 X N( ,1)服從正態(tài)分布，均值為,長期以來方差2穩(wěn)定為1,現(xiàn)隨機(jī)抽取的100天的利潤，樣本均值為X 5,試求 的置信水平 為95%的置信區(qū)間。