1、結(jié)構(gòu)力學(xué)第第8章章 矩陣位移法矩陣位移法 Matrix displacement method1.2同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法應(yīng)用矩陣?yán)碚撘杂?jì)算機(jī)為工具（力學(xué)原理與方法）（結(jié)構(gòu)矩陣分析方法）v 結(jié)構(gòu)矩陣分析方法是利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算的方法。結(jié)構(gòu)矩陣分析方法是利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算的方法。 結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題趨向大型化、復(fù)雜化結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題趨向大型化、復(fù)雜化 提出要求提出要求 計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展突飛猛進(jìn)計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展突飛猛進(jìn) 提供可能提供可能力法力法位移法位移法矩陣力法矩陣力法矩陣位移法矩陣位移法結(jié)構(gòu)分析技術(shù)手段：手算結(jié)構(gòu)分析技術(shù)手段：手算技術(shù)要求：計(jì)算盡可能簡(jiǎn)化技術(shù)要求：計(jì)算

2、盡可能簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)分析技術(shù)手段：電算結(jié)構(gòu)分析技術(shù)手段：電算技術(shù)要求：結(jié)果盡可能精確技術(shù)要求：結(jié)果盡可能精確1940s1950s1940s1950s計(jì)算機(jī)的發(fā)明計(jì)算機(jī)的發(fā)明3同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法v 結(jié)構(gòu)矩陣分析的力學(xué)理論基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)矩陣分析的力學(xué)理論基礎(chǔ) 力法力法 位移法（考慮桿件軸向變形）位移法（考慮桿件軸向變形）未知量數(shù)量未知量數(shù)量 較難判定（多余約束力數(shù)量）較難判定（多余約束力數(shù)量） 極容易判定（節(jié)點(diǎn)位移數(shù)量）極容易判定（節(jié)點(diǎn)位移數(shù)量）基本結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu) 形式形式 多樣（不唯一）多樣（不唯一） 確定的（唯一）確定的（唯一）基本結(jié)構(gòu)內(nèi)力基本結(jié)構(gòu)內(nèi)力 需求解靜定結(jié)構(gòu)需求解靜定結(jié)

3、構(gòu) 套用公式套用公式適用范圍適用范圍 超靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu) 超靜定結(jié)構(gòu)和靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)和靜定結(jié)構(gòu) 4同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法v 矩陣位移法與有限元法（矩陣位移法與有限元法（FEMFEM）的關(guān)系）的關(guān)系有限元分析方法最早是從結(jié)構(gòu)化矩陣分析發(fā)展而來(lái)，逐步推廣到板、有限元分析方法最早是從結(jié)構(gòu)化矩陣分析發(fā)展而來(lái)，逐步推廣到板、殼和實(shí)體等連續(xù)體固體力學(xué)分析，實(shí)踐證明這是一種非常有效的數(shù)值分殼和實(shí)體等連續(xù)體固體力學(xué)分析，實(shí)踐證明這是一種非常有效的數(shù)值分析方法。析方法。矩陣位移法可視為有限單元法在桿系結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用特例。矩陣位移法可視為有限單元法在桿系結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用特例。 v 有限元法

4、的發(fā)展和應(yīng)用有限元法的發(fā)展和應(yīng)用有限元方法已發(fā)展到流體力學(xué)、溫度場(chǎng)、電傳導(dǎo)、磁場(chǎng)、滲流和聲場(chǎng)有限元方法已發(fā)展到流體力學(xué)、溫度場(chǎng)、電傳導(dǎo)、磁場(chǎng)、滲流和聲場(chǎng)等問(wèn)題的求解計(jì)算，最近又發(fā)展到求解幾個(gè)交叉學(xué)科的問(wèn)題（多物理場(chǎng)等問(wèn)題的求解計(jì)算，最近又發(fā)展到求解幾個(gè)交叉學(xué)科的問(wèn)題（多物理場(chǎng)問(wèn)題）。問(wèn)題）。 例如：例如： 當(dāng)氣流流過(guò)一個(gè)很高的鐵塔產(chǎn)生變形，而塔的變形又反過(guò)來(lái)影響到氣流的流動(dòng)當(dāng)氣流流過(guò)一個(gè)很高的鐵塔產(chǎn)生變形，而塔的變形又反過(guò)來(lái)影響到氣流的流動(dòng)這這就需要用固體力學(xué)和流體動(dòng)力學(xué)的有限元分析結(jié)果交叉迭代求解，即所謂就需要用固體力學(xué)和流體動(dòng)力學(xué)的有限元分析結(jié)果交叉迭代求解，即所謂 流固耦合流固耦合 的問(wèn)

5、的問(wèn)題。題。5同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法在大力推廣在大力推廣CADCAD技術(shù)的今天，從自行車到航天飛機(jī)，所有的設(shè)計(jì)制造技術(shù)的今天，從自行車到航天飛機(jī)，所有的設(shè)計(jì)制造都離不開(kāi)有限元分析計(jì)算，都離不開(kāi)有限元分析計(jì)算，F(xiàn)EAFEA在工程設(shè)計(jì)和分析中將得到越來(lái)越廣泛在工程設(shè)計(jì)和分析中將得到越來(lái)越廣泛的重視。的重視。國(guó)際上早在國(guó)際上早在2020世紀(jì)世紀(jì)5050年代末、年代末、6060年代初就投入大量的人力和物力開(kāi)發(fā)年代初就投入大量的人力和物力開(kāi)發(fā)具有強(qiáng)大功能的有限元分析程序。其中最為著名的是由美國(guó)國(guó)家宇航局具有強(qiáng)大功能的有限元分析程序。其中最為著名的是由美國(guó)國(guó)家宇航局（NASANAS

6、A）在）在19651965年委托美國(guó)計(jì)算科學(xué)公司和貝爾航空系統(tǒng)公司開(kāi)發(fā)的年委托美國(guó)計(jì)算科學(xué)公司和貝爾航空系統(tǒng)公司開(kāi)發(fā)的NASTRANNASTRAN有限元分析系統(tǒng)。該系統(tǒng)發(fā)展至今已有幾十個(gè)版本，是目前有限元分析系統(tǒng)。該系統(tǒng)發(fā)展至今已有幾十個(gè)版本，是目前世界上規(guī)模最大、功能最強(qiáng)的有限元分析系統(tǒng)。世界上規(guī)模最大、功能最強(qiáng)的有限元分析系統(tǒng)。目前，世界各地的研究機(jī)構(gòu)和大學(xué)發(fā)展了一批規(guī)模較小但使用靈活、目前，世界各地的研究機(jī)構(gòu)和大學(xué)發(fā)展了一批規(guī)模較小但使用靈活、價(jià)格較低的專用或通用有限元分析軟件，主要有德國(guó)的價(jià)格較低的專用或通用有限元分析軟件，主要有德國(guó)的ASKAASKA、英國(guó)的、英國(guó)的PAFECPAFE

7、C、法國(guó)的、法國(guó)的SYSTUSSYSTUS、美國(guó)的、美國(guó)的ABQUSABQUS、ADINAADINA、ANSYSANSYS、BERSAFEBERSAFE、BOSORBOSOR、COSMOSCOSMOS、ELASELAS、MARCMARC和和STARDYNESTARDYNE等公司的產(chǎn)品。等公司的產(chǎn)品。6同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法v 有限元分析技術(shù)的發(fā)展現(xiàn)狀有限元分析技術(shù)的發(fā)展現(xiàn)狀 由求解線性工程問(wèn)題進(jìn)展到分析非線性問(wèn)題由求解線性工程問(wèn)題進(jìn)展到分析非線性問(wèn)題 線性理論已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足設(shè)計(jì)的要求。線性理論已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足設(shè)計(jì)的要求。 例如：結(jié)構(gòu)工程中的彈塑性分析（物理非線性）；索

8、膜結(jié)構(gòu)（幾何非線性）。例如：結(jié)構(gòu)工程中的彈塑性分析（物理非線性）；索膜結(jié)構(gòu)（幾何非線性）。 非線性的數(shù)值計(jì)算是很復(fù)雜的，很難為一般工程技術(shù)人員所掌握。為此近年非線性的數(shù)值計(jì)算是很復(fù)雜的，很難為一般工程技術(shù)人員所掌握。為此近年來(lái)國(guó)外一些公司花費(fèi)了大量的人力和投資開(kāi)發(fā)諸如來(lái)國(guó)外一些公司花費(fèi)了大量的人力和投資開(kāi)發(fā)諸如MARCMARC、ABQUSABQUS和和ADINAADINA等專長(zhǎng)于求解非線性問(wèn)題的有限元分析軟件，并廣泛應(yīng)用于工程實(shí)踐。等專長(zhǎng)于求解非線性問(wèn)題的有限元分析軟件，并廣泛應(yīng)用于工程實(shí)踐。 增強(qiáng)可視化的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理功能增強(qiáng)可視化的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理功能 隨著數(shù)值分析方法的逐步

9、完善，尤其是計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度的飛速發(fā)展，整個(gè)計(jì)隨著數(shù)值分析方法的逐步完善，尤其是計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度的飛速發(fā)展，整個(gè)計(jì)算系統(tǒng)用于求解運(yùn)算的時(shí)間越來(lái)越少，而數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和運(yùn)算結(jié)果的表現(xiàn)問(wèn)題卻算系統(tǒng)用于求解運(yùn)算的時(shí)間越來(lái)越少，而數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和運(yùn)算結(jié)果的表現(xiàn)問(wèn)題卻日益突出。日益突出。 在現(xiàn)在的工程工作站上，求解一個(gè)包含在現(xiàn)在的工程工作站上，求解一個(gè)包含1010萬(wàn)個(gè)方程的有限元模型只需要用幾萬(wàn)個(gè)方程的有限元模型只需要用幾十分鐘。工程師在分析計(jì)算一個(gè)工程問(wèn)題時(shí)有十分鐘。工程師在分析計(jì)算一個(gè)工程問(wèn)題時(shí)有80%80%以上的精力都花在數(shù)據(jù)準(zhǔn)備以上的精力都花在數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和結(jié)果分析上。和結(jié)果分析上。7同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)

10、 之 矩陣位移法 增強(qiáng)可視化的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理功能增強(qiáng)可視化的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理功能 目前幾乎所有的商業(yè)化有限元程序系統(tǒng)都有功能很強(qiáng)的前置建模和后置數(shù)據(jù)目前幾乎所有的商業(yè)化有限元程序系統(tǒng)都有功能很強(qiáng)的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理模塊。使用戶能以可視圖形方式直觀快速地進(jìn)行網(wǎng)格自動(dòng)劃分，生成有處理模塊。使用戶能以可視圖形方式直觀快速地進(jìn)行網(wǎng)格自動(dòng)劃分，生成有限元分析所需數(shù)據(jù)，并按要求將大量的計(jì)算結(jié)果整理成變形圖、等值分布云限元分析所需數(shù)據(jù)，并按要求將大量的計(jì)算結(jié)果整理成變形圖、等值分布云圖，便于極值搜索和所需數(shù)據(jù)的列表輸出。圖，便于極值搜索和所需數(shù)據(jù)的列表輸出。 與與CADCAD軟件的無(wú)縫集成

11、軟件的無(wú)縫集成 當(dāng)今有限元分析系統(tǒng)的另一個(gè)特點(diǎn)是與通用當(dāng)今有限元分析系統(tǒng)的另一個(gè)特點(diǎn)是與通用CADCAD軟件的集成使用，軟件的集成使用， 即：在用即：在用CADCAD軟件完成部件和零件的造型設(shè)計(jì)后，自動(dòng)生成有限元網(wǎng)格并進(jìn)行計(jì)算，軟件完成部件和零件的造型設(shè)計(jì)后，自動(dòng)生成有限元網(wǎng)格并進(jìn)行計(jì)算，如果分析的結(jié)果不符合設(shè)計(jì)要求則重新進(jìn)行造型和計(jì)算，直到滿意為止，從如果分析的結(jié)果不符合設(shè)計(jì)要求則重新進(jìn)行造型和計(jì)算，直到滿意為止，從而極大地提高了設(shè)計(jì)水平和效率。當(dāng)今所有的商業(yè)化有限元系統(tǒng)商都開(kāi)發(fā)了而極大地提高了設(shè)計(jì)水平和效率。當(dāng)今所有的商業(yè)化有限元系統(tǒng)商都開(kāi)發(fā)了和著名的和著名的CADCAD軟件的接口（例如軟

12、件的接口（例如Pro/ENGINEERPro/ENGINEER、UnigraphicsUnigraphics、SolidEdgeSolidEdge、SolidWorksSolidWorks、IDEASIDEAS、BentleyBentley和和AutoCADAutoCAD等）等） 。8同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法v 有限元分析技術(shù)的應(yīng)用實(shí)例有限元分析技術(shù)的應(yīng)用實(shí)例沉井的有限元分析模型沉井的有限元分析模型9同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法半導(dǎo)體芯片溫度場(chǎng)的數(shù)值仿真半導(dǎo)體芯片溫度場(chǎng)的數(shù)值仿真同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)

13、 之 矩陣位移法10同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法水輪機(jī)葉輪的受力分析模擬應(yīng)力云圖水輪機(jī)葉輪的受力分析模擬應(yīng)力云圖11同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法三林商業(yè)城地下施工對(duì)相鄰建筑物的影響三林商業(yè)城地下施工對(duì)相鄰建筑物的影響有限元模型有限元模型開(kāi)挖狀態(tài)變形圖開(kāi)挖狀態(tài)變形圖位移云圖位移云圖結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖鄰房位移隨施工進(jìn)程變化圖鄰房位移隨施工進(jìn)程變化圖12同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法第一步：離散化，單元分析v 矩陣位移法的解題思路矩陣位移法的解題思路 一般原理：同位移法一般原理：同位移法第二步：按平衡條件組合，整體分析 與位移法不同之處：與位移法

14、不同之處： 一般計(jì)入所有桿件的軸向變形。 基本結(jié)構(gòu)（單元）進(jìn)一步歸于一類桿件兩端固定桿。 所有過(guò)程均采用矩陣的形式表述。進(jìn)一步規(guī)格化單跨超靜定單跨超靜定桿件（單元）桿件（單元）的組合體的組合體結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu) 相當(dāng)于位移法中第相當(dāng)于位移法中第1 1步（判別基本步（判別基本未知量，做基本結(jié)構(gòu)）和第未知量，做基本結(jié)構(gòu)）和第3 3步步（求位移法方程的系數(shù)項(xiàng)和自由（求位移法方程的系數(shù)項(xiàng)和自由項(xiàng)）項(xiàng)） 相當(dāng)于位移法中第相當(dāng)于位移法中第2 2步（建立位移步（建立位移法方程）和第法方程）和第4 4步（解方程求節(jié)點(diǎn)步（解方程求節(jié)點(diǎn)位移）位移）13同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法 結(jié)構(gòu)標(biāo)識(shí)結(jié)構(gòu)標(biāo)識(shí) 坐標(biāo)系

15、的設(shè)定（為了表示力和位移的方向）w整體坐標(biāo)系（結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系）：一般采用右手系，記為Oxy。（圖中黃色） 結(jié)點(diǎn)編號(hào)w構(gòu)造結(jié)點(diǎn)：桿件交匯點(diǎn)、剛度變化點(diǎn)、支承點(diǎn)。 （圖中1 1、2 2、3 3、4 4）w非構(gòu)造結(jié)點(diǎn)：荷載作用點(diǎn)。（化集中荷載為結(jié)點(diǎn)荷載）w構(gòu)造結(jié)點(diǎn)必須作為結(jié)點(diǎn)；非構(gòu)造結(jié)點(diǎn)可以不作為結(jié)點(diǎn)。 單元編號(hào)w單元：兩結(jié)點(diǎn)之間的等截面直桿段等截面直桿段。yx1342v 結(jié)構(gòu)的離散化結(jié)構(gòu)的離散化u局部坐標(biāo)系（單元坐標(biāo)系）：一般也采用右手系，記為 。原點(diǎn)設(shè)在單元的一個(gè)桿端i， 軸與桿軸重合。（圖中橙色橙色）yx ixxy14同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法 變截面和曲桿桿件的離散化處理方式

16、變截面和曲桿桿件的離散化處理方式15同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法v 矩陣位移法的基本方程矩陣位移法的基本方程 單元?jiǎng)偠确匠虇卧獎(jiǎng)偠确匠蘣eeKF （相當(dāng)于位移法中的轉(zhuǎn)角位移方程）單元桿端力向量單元桿端位移向量單元?jiǎng)偠染仃?00KF 結(jié)構(gòu)總的結(jié)點(diǎn)力向量結(jié)構(gòu)總的結(jié)點(diǎn)位移向量原始總剛度矩陣（由單剛形成） 原始總剛度方程原始總剛度方程（結(jié)構(gòu)全部結(jié)點(diǎn)的平衡方程） 位移邊界條件位移邊界條件0CC （已知支座位移）結(jié)構(gòu)剛度方程結(jié)構(gòu)剛度方程FK 結(jié)構(gòu)已知結(jié)點(diǎn)力向量（荷載）結(jié)構(gòu)未知結(jié)點(diǎn)位移向量結(jié)構(gòu)剛度矩陣（相當(dāng)于位移法方程）16同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法 原始總剛度方程無(wú)法

17、直接求解。因?yàn)樵伎倓偠确匠瘫硎窘Y(jié)構(gòu)全部結(jié)點(diǎn)的平原始總剛度方程無(wú)法直接求解。因?yàn)樵伎倓偠确匠瘫硎窘Y(jié)構(gòu)全部結(jié)點(diǎn)的平衡方程，結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)分為兩大類：有約束的支座結(jié)點(diǎn)（如圖示結(jié)構(gòu)的衡方程，結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)分為兩大類：有約束的支座結(jié)點(diǎn)（如圖示結(jié)構(gòu)的1 1、2 2結(jié)結(jié)點(diǎn)）和無(wú)約束的內(nèi)部結(jié)點(diǎn)（如圖示結(jié)構(gòu)的點(diǎn)）和無(wú)約束的內(nèi)部結(jié)點(diǎn)（如圖示結(jié)構(gòu)的3 3結(jié)點(diǎn)）；前類結(jié)點(diǎn)已知結(jié)點(diǎn)位移而結(jié)點(diǎn)）；前類結(jié)點(diǎn)已知結(jié)點(diǎn)位移而未知結(jié)點(diǎn)力（支座反力），后類結(jié)點(diǎn)已知結(jié)點(diǎn)力而未知結(jié)點(diǎn)位移。未知結(jié)點(diǎn)力（支座反力），后類結(jié)點(diǎn)已知結(jié)點(diǎn)力而未知結(jié)點(diǎn)位移。 要求支座反力必須先求后類結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)位移，故，原要求支座反力必須先求后類結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)位移，故，原

18、 始總剛度方程必須考慮邊界位移條件修正為結(jié)構(gòu)剛度始總剛度方程必須考慮邊界位移條件修正為結(jié)構(gòu)剛度 方程后才能求解。方程后才能求解。 根據(jù)支座位移邊界條件的處理方式不同，矩陣位移法根據(jù)支座位移邊界條件的處理方式不同，矩陣位移法 可分為可分為先處理法先處理法和和后處后處 理法理法。v 矩陣位移法基本方程與有限元法基本方程的比較矩陣位移法基本方程與有限元法基本方程的比較 矩陣位移法基本方程矩陣位移法基本方程 有限元法基本方程有限元法基本方程 單元?jiǎng)偠确匠虇卧獎(jiǎng)偠确匠?物理方程（材料本構(gòu)方程）物理方程（材料本構(gòu)方程） 原始原始總剛度方程總剛度方程 平衡方程平衡方程 邊界位移條件邊界位移條件 幾何方程幾何

19、方程 I, AI, AI, AI, AP PMM1 12 23 3v 矩陣位移法的后處理法與先處理法矩陣位移法的后處理法與先處理法17同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法 后處理法（又稱直接剛度法）后處理法（又稱直接剛度法） 結(jié)構(gòu)的支座位移邊界是在總剛度方程形成后引入的，即先形成原始總剛度方原始總剛度方程程，再考慮支座位移邊界對(duì)總剛度方程修正形成結(jié)構(gòu)剛度方程結(jié)構(gòu)剛度方程。 單元分析不考慮任何位移約束，故，單元均為自由式單元（無(wú)桿端約束），單元統(tǒng)一。 先處理法先處理法 在形成單元?jiǎng)偠染仃嚂r(shí)就將實(shí)

20、際的位移邊界條件和位移關(guān)系考慮進(jìn)去，即在總剛度方程形成之前考慮支座位移邊界條件。 單元為有約束單元，每個(gè)單元所受到的位移約束條件不完全相同，故，單元不統(tǒng)一。 由單剛形成的總剛度方程就是結(jié)構(gòu)剛度方程。 后處理法單元統(tǒng)一，更適用于編程、電算；先處理法單元不統(tǒng)一，適用于手后處理法單元統(tǒng)一，更適用于編程、電算；先處理法單元不統(tǒng)一，適用于手算。算。18同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法v 矩陣位移法進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析的步驟矩陣位移法進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析的步驟 后處理法（直接剛度法）的分析步驟后處理法（直接剛度法）的分析步驟 結(jié)構(gòu)離散并進(jìn)行結(jié)構(gòu)標(biāo)識(shí)。 計(jì)算各單元的剛度矩陣。 形成原始總剛度矩陣和原始總剛度方

21、程。 引入位移邊界條件，形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣和剛度方程。 求解結(jié)構(gòu)剛度方程，得未知的結(jié)點(diǎn)位移。 計(jì)算各單元桿端力和支座反力。單元分析結(jié)構(gòu)整體分析 先處理法的分析步驟先處理法的分析步驟 結(jié)構(gòu)離散并進(jìn)行結(jié)構(gòu)標(biāo)識(shí)。 計(jì)算各單元的剛度矩陣。 形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣和剛度方程。 求解結(jié)構(gòu)剛度方程，得未知的結(jié)點(diǎn)位移。 計(jì)算各單元桿端力和支座反力。單元分析結(jié)構(gòu)整體分析19同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法yxijexiiFu ,yjjFv ,jjM,yiiFv ,xjjFu ,iiM, 單元?jiǎng)偠染仃嚕簡(jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚕簡(jiǎn)卧獥U端力與桿端位移之間的關(guān)系矩陣。 桿端力和桿端位移的表示方法桿端力和桿端位移的表示方法

22、正負(fù)號(hào)規(guī)定：無(wú)論是在單元坐標(biāo)系還是在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中，均規(guī)定力和位移分量與坐標(biāo)方向一致為正與坐標(biāo)方向一致為正。 單元坐標(biāo)系中 桿端力向量 桿端位移向量 “”表示單元坐標(biāo)系中的物理量。v 幾個(gè)基本概念幾個(gè)基本概念eTjjjiiivuvueeTjyjxjiyixiMFFMFFeFeeeKF 桿端力向量桿端位移向量單元?jiǎng)偠染仃?0同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法 結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中 桿端力向量 桿端位移向量 eTjjjiiivuvueeTjyjxjiyixiMFFMFFeFyxiiFu ,yjjFv ,jjM,yiiFv ,xjjFu ,iiM,xije 單元坐標(biāo)系和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中，桿端力和桿端位

23、移向量同一分量所表示的物理單元坐標(biāo)系和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中，桿端力和桿端位移向量同一分量所表示的物理含義不同。故，單元坐標(biāo)系和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的單剛不同。含義不同。故，單元坐標(biāo)系和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的單剛不同。21同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法elEAlEAlEAlEA000000000000單剛矩陣桿端位移向量v 單剛導(dǎo)出方法單剛導(dǎo)出方法 靜力法靜力法 虛功原理虛功原理 能量法能量法v 桁架單元的剛度矩陣桁架單元的剛度矩陣0)(0)(eyjeiejexjeyiejeiexiFuulEAFFuulEAFxyxiiFu ,yjjFv ,yiiFv ,xjjFu ,ije 由材料力學(xué)由材料力學(xué)表示為

24、矩陣形式eyjxjyixiFFFFejjiivuvu桿端力向量適用于復(fù)雜單元。（參見(jiàn)：朱伯芳，有限單元法原理與應(yīng)用，中國(guó)水利水電出版社 周競(jìng)歐，結(jié)構(gòu)力學(xué)，同濟(jì)大學(xué)出版社）由靜力平衡條件建立桿端力與桿端位移之間的關(guān)系，從而寫(xiě)出單剛矩陣。適用于簡(jiǎn)單單元。（本課程采用該方法）22同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法v 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換 上述單剛方程是在單元坐標(biāo)系下建立的，單元按結(jié)點(diǎn)平衡拼裝成結(jié)構(gòu)之前，上述單剛方程是在單元坐標(biāo)系下建立的，單元按結(jié)點(diǎn)平衡拼裝成結(jié)構(gòu)之前，由于結(jié)構(gòu)中單元的方位一般不全相同，因此，應(yīng)將桿端位移和桿端力都轉(zhuǎn)換由于結(jié)構(gòu)中單元的方位一般不全相同，因此，應(yīng)將桿端位移和桿端力

25、都轉(zhuǎn)換成統(tǒng)一的、對(duì)整體坐標(biāo)的量，這是同一矢量在不同坐標(biāo)系中的變換問(wèn)題，簡(jiǎn)成統(tǒng)一的、對(duì)整體坐標(biāo)的量，這是同一矢量在不同坐標(biāo)系中的變換問(wèn)題，簡(jiǎn)稱為坐標(biāo)變換。稱為坐標(biāo)變換。 坐標(biāo)變換矩陣坐標(biāo)變換矩陣ojxxyyeiyiFyjFxiFxjFxiFxjFyiFyjF單元系與結(jié)構(gòu)系的關(guān)系： 結(jié)構(gòu)系 軸沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)至單元系 軸所轉(zhuǎn)過(guò)的角度記為 。 單元系下的桿端力結(jié)構(gòu)系下的桿端力xxcossinsincoscossinsincoseyjexjeyjeyjexjexjeyiexieyieyiexiexiFFFFFFFFFFFF表示為矩陣形式23同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法eyjxjyixiey

26、jxjyixiFFFFFFFFcossin00sincos0000cossin00sincoseeTFF eeT 坐標(biāo)變換矩陣T簡(jiǎn)寫(xiě)為同理， 是正交矩陣（Orthogonal matrix）， TTTT1 單元?jiǎng)偠染仃囎鴺?biāo)變換單元?jiǎng)偠染仃囎鴺?biāo)變換eeeKF （單元系單剛方程）eeTFF eeT eeeTKTF 左乘 ，并注意 ，得1TTTT1eeeTKTFT結(jié)構(gòu)系單剛方程eeeKF 24同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法eTsscsscsccsccsscsscsccscclEA22222222TKTKee 結(jié)構(gòu)系單剛矩陣 其中，sincossc25同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之

27、 矩陣位移法同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法v 剛架單元的剛度矩陣剛架單元的剛度矩陣 梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚵簡(jiǎn)卧膭偠染仃?無(wú)結(jié)間荷載梁?jiǎn)卧霓D(zhuǎn)角位移方程為 考慮到桿端力和桿端位移正負(fù)號(hào)規(guī)定的差異，有 所以，無(wú)結(jié)間荷載梁?jiǎn)卧霓D(zhuǎn)角位移方程可改寫(xiě)為2212661266642624lililiVlililiVliiiMliiiMBABABAABBABABAABjijBiAyjBAyiABjBAiABvvFVFVMMMM,同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法26同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃噀lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlE

28、IlEIlEIlEIlEIlEIlEI46266126122646612612222323222323)(1266)(1266)(642)(62432232222eeeeeeeeeeeeeeeeeeeejijiyjjijiyijijijjijiivvlEIlEIlEIFvvlEIlEIlEIFvvlEIlEIlEIMvvlEIlEIlEIM表示成矩陣形式ejyjiyiMFMFejjiivv27同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法剛架單元?jiǎng)偠染仃噭偧軉卧膭偠染仃噭偧軉卧膭偠染仃?剛架單元考慮軸向變形，有elEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEI

29、lEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA460260612061200000260460612061200000222323222323ejieexjxiuulEAlEAlEAlEAFFejyjxjiyixiMFFMFF 其它桿端力與桿端位移的關(guān)系同梁?jiǎn)卧?，所以剛架單元的單剛方程為ejjjiiivuvu28同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法桁架單元單剛方程elEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA460260612061200000260460612061200000222323222323ejyjx

30、jiyixiMFFMFFejjjiiivuvu 剛架單元的單剛矩陣由桁架單元的單剛和梁?jiǎn)卧膯蝿偨M合而成。梁?jiǎn)卧獑蝿偡匠?9同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法2. 方向1. x，y向變換關(guān)系與桁架單元 無(wú)任何區(qū)別。無(wú)任何區(qū)別。結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中剛架單元的剛度矩陣結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中剛架單元的剛度矩陣 根據(jù)單元坐標(biāo)系中的單剛，通過(guò)坐標(biāo)變換計(jì)算。首先確定坐標(biāo)變換矩陣。有無(wú)區(qū)別？不需要變換，因?yàn)閱卧鴺?biāo)系與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系一致。不需要變換，因?yàn)閱卧鴺?biāo)系與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系一致。是否需要變換？為什么？ 所以，坐標(biāo)變換矩陣為1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000s

31、incosT30同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法 按 計(jì)算結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中剛架單元的單剛矩陣為eaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa65465453253242142165465453253242142122eKTKTKeTe,sin6,sin12cos242321lEIalEIlEAa 其中，lEIalEIlEAa4,cos12sin62323cos6,sincos)12(2532lEIalEIlEAa31同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法k35v 單元?jiǎng)偠染仃囋氐奈锢砗x單元?jiǎng)偠染仃囋氐奈锢砗x 單剛元素單剛元素k kmnmn的

32、物理含義：的物理含義： 以剛架單元單剛元素k35為例說(shuō)明。 eejyjxjiyixilEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMFFMFF460260612061200000260460612061200000222323222323ejjjiiivuvu單元第n項(xiàng)桿端位移為1而其它桿端位移均保持為零時(shí)，第m項(xiàng)桿端力的大小。單元?jiǎng)偠确匠蘣010000單元單元j j端發(fā)生端發(fā)生v vj j=1=1而其它桿端位移均為零時(shí)，而其它桿端位移均為零時(shí)，i i端的桿端彎矩大小。端的桿端彎矩大小。32同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué)

33、 之 矩陣位移法 單元坐標(biāo)系和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中單剛元素物理含義的區(qū)別單元坐標(biāo)系和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中單剛元素物理含義的區(qū)別 以剛架單元單剛元素k25和k25為例說(shuō)明。 k25表示單元坐標(biāo)系中，單元只發(fā)生第5號(hào)單位桿端位移（j端沿y軸正向移動(dòng)1）時(shí)，第2號(hào)桿端力（i端沿y軸方向的桿端力剪力）大小。 k25表示結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中，單元只發(fā)生第5號(hào)單位桿端位移（j端沿y軸正向移動(dòng)1）時(shí)，第2號(hào)桿端力（i端沿y軸方向的桿端力剪力）大小。同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法ijyxyiFk251ijxyyiFk251哪個(gè)元素？同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法33同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之

34、矩陣位移法局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系桿端力（位移）的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：jyjxjiyixijjjiiiMlEIlEIlEIlEIFlEIlEIlEIlEIFlEAlEAMlEIlEIlEIlEIFlEIlEIlEIlEIFlEAlEAvuvu460260612061200000260460612061200000222323222323K)()()()()()()()()()()()(jjxjjyjjiixiiyiijjyjjxjjiiyiixiiMFuFvMFuFvMFvFuMFvFu整體系局部系)(460260)(61206120)(0000)(260460)(61206120)(0000)()(

35、)()()()(222323222323jjxjyjyjxjiixiyiyixijjjjjjiiiiiiMMlEIlEIlEIlEIFFlEIlEIlEIlEIFFlEAlEAMMlEIlEIlEIlEIFFlEIlEIlEIlEIFFlEAlEAuvvuuvvuK312lEI)6(2lEI26lEI34同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法v 單剛矩陣的性質(zhì)單剛矩陣的性質(zhì) 固有性固有性 單剛矩陣僅與單元本身的性質(zhì)有關(guān)，與外荷載無(wú)關(guān)。 對(duì)稱性對(duì)稱性 主系數(shù) 或 恒正；副系數(shù) 或 可正，可負(fù)，可零。 奇異性奇異性 矩陣行列式的值為零。（不可逆）同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移

36、法iikjiijjiijkkkk,ijk(反力互等）iik)(jikij同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法35同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法稱為單元桿端位移的結(jié)點(diǎn)子向量；v 單剛矩陣的分塊形式及其對(duì)應(yīng)的單剛方程單剛矩陣的分塊形式及其對(duì)應(yīng)的單剛方程 目的目的 為了建立結(jié)構(gòu)總剛矩陣和表述的方便，單剛矩陣經(jīng)常分塊表示。 分塊原則分塊原則 通常按結(jié)點(diǎn)i和j進(jìn)行分塊。 分塊形式的單剛方程分塊形式的單剛方程 同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法eeejijjjiijiijikkkkFFeeeeeeeeeejjjijijjijiiiikkFkkFeejiFF 、 展開(kāi)后

37、 其中，eeji、eeeejiijjjiikkkk、稱為單元桿端力的結(jié)點(diǎn)子向量；稱為單剛矩陣的子塊。對(duì)應(yīng)于i結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于j結(jié)點(diǎn)同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法36同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法 單剛矩陣子塊單剛矩陣子塊k ke eij ij的物理含義的物理含義 單元j桿端發(fā)生各單位位移時(shí)，i桿端的各桿端力。 根據(jù)單剛矩陣的對(duì)稱性，單剛矩陣子塊有根據(jù)單剛矩陣的對(duì)稱性，單剛矩陣子塊有 Teejiijkk轉(zhuǎn)置v 本節(jié)小結(jié)本節(jié)小結(jié) 兩種單元：平面桁架單元、平面剛架單元兩種單元：平面桁架單元、平面剛架單元 對(duì)于平面剛架，矩陣位移法取兩端固端梁作為基本結(jié)構(gòu)，即所有桿端位移均作為

38、基本未知量（包括靜定桿件），與位移法相比，基本結(jié)構(gòu)統(tǒng)一成一種。分析過(guò)程規(guī)格化，易于編程。 要求要求 兩種單元在單元坐標(biāo)系中的單剛矩陣。 單剛矩陣元素及子塊的物理含義。 坐標(biāo)變換。 單剛矩陣的性質(zhì)。 37同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法結(jié)點(diǎn)位移向量ni21ni21nnnin2n1iniii2i12n2i22211n1i1211FFFFKKKKKKKKKKKKKKKK 有有n n個(gè)結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣按結(jié)點(diǎn)分塊形式個(gè)結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣按結(jié)點(diǎn)分塊形式v 結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的形成結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的形成總剛度矩陣結(jié)點(diǎn)荷載向量 為第i個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移子向量； 為第i個(gè)結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)力子向量； 為結(jié)構(gòu)總剛

39、度矩陣的子矩陣。iiFijK K Kij ij的物理含義：的物理含義：結(jié)構(gòu)第j號(hào)結(jié)點(diǎn)發(fā)生各單位位移，而其余結(jié)點(diǎn)位移均為零時(shí)，第i號(hào)結(jié)點(diǎn)上的各結(jié)點(diǎn)力。 38同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法 結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的形成結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的形成 根據(jù)總剛矩陣子塊的物理含義可知，總剛矩陣子塊由結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下相關(guān)單元的單剛矩陣子塊疊加形成。 例：左圖所示結(jié)構(gòu)總剛矩陣子塊K22由結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下 單元的單剛矩陣子塊K 22 和 單元的單剛矩陣子塊K 22疊加形成。即： K22 K 22 K 22可由2結(jié)點(diǎn)力的平衡條件證明（略）。 由單剛矩陣形成結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的原則由單剛矩陣形成結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的原則 對(duì)號(hào)入座

40、，同號(hào)相加?！疤?hào)”是指矩陣元素的下標(biāo)。 39同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法結(jié)點(diǎn)號(hào)ijjjjiijiiKKKKKe0Knij21nij21jiji結(jié)構(gòu)總剛度矩陣單元?jiǎng)偠染仃?1同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法 111K0K12341234 例：圖示平面剛架，結(jié)構(gòu)離散化如圖。例：圖示平面剛架，結(jié)構(gòu)離散化如圖。各單元在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚫鲉卧诮Y(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚍闉?1222112111kkkkK 3444334333kkkkK 2333223222kkkkK形成結(jié)構(gòu)總剛度矩陣為形成結(jié)構(gòu)總剛度矩陣為 344343334333233232223222122

41、121112111KKKKKKKKKKKKK0 112K42同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法 例：圖示平面剛架，結(jié)構(gòu)離散化如圖。例：圖示平面剛架，結(jié)構(gòu)離散化如圖。單元?jiǎng)偠染仃嚍閱卧獎(jiǎng)偠染仃嚍?1222112111kkkkK 3444334333kkkkK 2333223222kkkkK形成結(jié)構(gòu)總剛度矩陣為形成結(jié)構(gòu)總剛度矩陣為 344343334333233232223222122121112111KKKKKKKKKKKKK043同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法 思考題思考題1 1：已知變剛度梁的結(jié)點(diǎn)位移編號(hào)如圖所示，問(wèn)結(jié)構(gòu)剛度矩陣的元素：已知變剛度梁的結(jié)點(diǎn)位移編號(hào)如

42、圖所示，問(wèn)結(jié)構(gòu)剛度矩陣的元素k k1111和和k k1212各為多少？各為多少？LLEI2EI12EI2EI11k131136LEIk212LEI212LEI26LEI26LEIEI2EI12k121218LEIkLEI4LEI8LEI4LEI244同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法 思考題思考題2 2： 思考題思考題3 3：45同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 之 矩陣位移法v 邊界條件的處理邊界條件的處理？ 結(jié)構(gòu)原始總剛度矩陣結(jié)構(gòu)原始總剛度矩陣 的階數(shù)的階數(shù)0K（結(jié)點(diǎn)總數(shù)）（結(jié)點(diǎn)總數(shù)）（一個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移分量數(shù)）（一個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移分量數(shù)） 由于直接剛度法各單元均采用自由式單元，其集合而成的結(jié)構(gòu)無(wú)任何約束，由于直接剛度法各單元均采用自由式單元，其集合而成的結(jié)構(gòu)無(wú)任何約束，故由單剛集成的故由單剛集成的原始總剛度矩陣是奇異的原始總剛度矩陣是奇異的，結(jié)構(gòu)的原始總剛度方程，結(jié)構(gòu)的原始總剛度方程 不能求解，必