1、2018 年全國普通高等學(xué)校高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（一）一、選擇題：本大題共12 個(gè)小題，每小題5 分，共 60 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.（分）已知集合2+4x0 ， C= x| x=2n， n1 5A= x| xN ，則（ AB） C=（）A 2，4 B 0，2C 0，2，4D x| x=2n，nN2（5 分）設(shè) i 是虛數(shù)單位，若，x，yR，則復(fù)數(shù) x+yi 的共軛復(fù)數(shù)是（）A2i B 2iC 2+iD 2+i3（5 分）已知等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和是 Sn ，且 a4+a5+a6+a7 =18，則下列命題正確的是（）Aa5 是常數(shù)BS5 是常數(shù)C

2、a10 是常數(shù)DS10 是常數(shù)4（5 分）七巧板是我們祖先的一項(xiàng)創(chuàng)造，被譽(yù)為“東方魔板 ”，它是由五塊等腰直角三角形（兩塊全等的小三角形、一塊中三角形和兩塊全等的大三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊形組成的如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（）ABCD5（5 分）已知點(diǎn) F 為雙曲線 C：（a0，b0）的右焦點(diǎn)，直線x=a與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為A，若 AF 的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）ABCD第 1頁（共 27頁）6（5 分）已知函數(shù)則（）A2+BCD7（5 分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S 的值為（）ABCD8（5 分）已知函數(shù)

3、（0）的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)差的絕對(duì)值為，則函數(shù) f（ x）的圖象（）A可由函數(shù) g（x） =cos4x的圖象向左平移個(gè)單位而得B可由函數(shù) g（ x） =cos4x的圖象向右平移個(gè)單位而得C可由函數(shù) g（ x） =cos4x的圖象向右平移個(gè)單位而得D可由函數(shù) g（x） =cos4x的圖象向右平移個(gè)單位而得9（5 分）的展開式中剔除常數(shù)項(xiàng)后的各項(xiàng)系數(shù)和為（）A 73 B 61C 55D 6310（5 分）某幾何體的三視圖如圖所示， 其中俯視圖中六邊形 ABCDEF是邊長(zhǎng)為1 的正六邊形，點(diǎn) G 為 AF的中點(diǎn)，則該幾何體的外接球的表面積是（）ABCD第 2頁（共 27頁）11（ 5 分）已知拋物線C：y

4、2=4x 的焦點(diǎn)為 F，過點(diǎn) F 分別作兩條直線 l1，l 2，直線 l與拋物線C交于、兩點(diǎn)，直線l2與拋物線C交于、兩點(diǎn)，若l1與l21A BD E的斜率的平方和為1，則 | AB|+| DE| 的最小值為（）A16B20C24D3212（ 5 分）若函數(shù) y=f（x），x M，對(duì)于給定的非零實(shí)數(shù) a，總存在非零常數(shù) T，使得定義域 M 內(nèi)的任意實(shí)數(shù) x，都有 af（x）=f（x+T）恒成立，此時(shí) T 為 f （x）的類周期，函數(shù) y=f（x）是 M 上的 a 級(jí)類周期函數(shù)若函數(shù) y=f（ x）是定義在區(qū) 間 0 ， + ） 內(nèi)的 2 級(jí)類 周 期 函 數(shù) ， 且 T=2， 當(dāng) x 0 ，

5、2 ） 時(shí)，函數(shù)若 ? x1 6，8 ，? x2（ 0， +），使 g（x2） f（x1） 0 成立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（）ABCD二、填空題（每題5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上）13（5分）已知向量，且，則=14（ 5 分）已知x，y 滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為15（5 分）在等比數(shù)列 a 中，a ?a =2a ，且 a與 2a 的等差中項(xiàng)為 17，設(shè) b =an23147n 2n 1 a2n， N*，則數(shù)列n的前2n項(xiàng)和為n b 16（ 5 分）如圖，在直角梯形 ABCD中， AB BC，ADBC，點(diǎn)E 是線段 CD 上異于點(diǎn) C，D 的動(dòng)點(diǎn)， EF AD 于點(diǎn) F

6、，將 DEF沿 EF折起到 PEF的位置，并使 PFAF，則五棱錐 PABCEF的體積的取值范圍為第 3頁（共 27頁）三、解答題（本大題共5 小題，共 70 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 .）17（ 12 分）已知 ABC 的內(nèi)角 A， B， C 的對(duì)邊 a，b，c 分別滿足c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又點(diǎn) D 滿足（ 1）求 a 及角 A 的大??；（ 2）求的值18（12 分）在四棱柱 ABCDA1B1C1 D1 中，底面 ABCD是正方形，且， A1AB=A1AD=60（ 1）求證： BDCC1；（ 2）若動(dòng)點(diǎn) E 在棱 C1D1 上，試確定點(diǎn)

7、E 的位置，使得直線 DE與平面 BDB1 所成角的正弦值為 19（ 12 分） “過大年，吃水餃 ”是我國不少地方過春節(jié)的一大習(xí)俗2018 年春節(jié)前夕，A 市某質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取了 100 包某種品牌的速凍水餃，檢測(cè)其某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，第 4頁（共 27頁）（ 1）求所抽取的100 包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表） ；（ 2）由直方圖可以認(rèn)為，速凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值 Z 服從正態(tài)分布 N（，2），利用該正態(tài)分布，求 Z 落在（ 14.55， 38.45）內(nèi)的概率；將頻率視為概率，若某人從某超市購買了4 包這種品牌的速凍水餃，記這4包速凍水餃中這種質(zhì)量

8、指標(biāo)值位于（10，30）內(nèi)的包數(shù)為 X，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望附：計(jì)算得所抽查的這100 包速凍水餃的質(zhì)量指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為；若，則 P（Z+）=0.6826，P（2 Z+2）=0.954420（12 分）已知橢圓 C：的離心率為，且以兩焦點(diǎn)為直徑的圓的內(nèi)接正方形面積為2（ 1）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ 2）若直線 l： y=kx+2 與橢圓 C 相交于 A，B 兩點(diǎn)，在 y 軸上是否存在點(diǎn) D，使直線 AD 與 BD 的斜率之和 kAD+kBD 為定值？若存在， 求出點(diǎn) D 坐標(biāo)及該定值， 若不存在，試說明理由21（ 12 分）已知函數(shù) f （x）=ex2（a1）x b，其中 e 為自然對(duì)

9、數(shù)的底數(shù)（ 1）若函數(shù) f（ x）在區(qū)間 0，1 上是單調(diào)函數(shù)，試求實(shí)數(shù) a 的取值范圍；（ 2）已知函數(shù) g（x）=ex（ a1）x2 bx1，且 g（ 1） =0，若函數(shù) g（x）在區(qū)間 0， 1 上恰有 3 個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍請(qǐng)考生在 22、 23 兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分. 選第 5頁（共 27頁）修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 22（ 10 分）在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，圓 C1 的參數(shù)方程為（為參數(shù)， a 是大于 0 的常數(shù)）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓 C2 的極坐標(biāo)方程為（ 1）求圓 C1 的極坐標(biāo)方程和圓 C2

10、的直角坐標(biāo)方程；（ 2）分別記直線 l：，R 與圓 C1、圓 C2 的異于原點(diǎn)的焦點(diǎn)為 A，B，若圓 C1 與圓 C2 外切，試求實(shí)數(shù)a 的值及線段 AB 的長(zhǎng) 選修 4-5：不等式選講 23已知函數(shù) f （x）=| 2x+1| （ 1）求不等式 f （x） 10 | x3| 的解集；（ 2）若正數(shù) m，n 滿足 m+2n=mn，求證： f（ m）+f（ 2n） 16第 6頁（共 27頁）2018 年全國普通高等學(xué)校高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（一）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12 個(gè)小題，每小題5 分，共 60 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.（分）已知集合2

11、+4x0 ， C= x| x=2n， n1 5A= x| xN ，則（ AB） C=（）A 2，4B 0，2C 0， 2， 4 D x| x=2n，nN【分析】 由二次不等式的解法和指數(shù)不等式的解法，化簡(jiǎn)集合A，B，再由并集和交集的定義，即可得到所求集合【解答】 解： A= x| x2 +4x0 = x| 0x 4 ，= x| 3 4 3x33 = x| 4x3 ，則 AB= x| 4 x4 ，C= x| x=2n，nN ，可得（ AB） C= 0， 2， 4 ，故選 C2（5 分）設(shè) i 是虛數(shù)單位，若，x，yR，則復(fù)數(shù) x+yi 的共軛復(fù)數(shù)是（）A2i B 2iC 2+iD 2+i【分析】

12、把已知等式變形， 利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得答案【解答】 解：由，得 x+yi=2+i，復(fù)數(shù) x+yi 的共軛復(fù)數(shù)是 2i 故選： A第 7頁（共 27頁）3（5 分）已知等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和是 Sn ，且 a4+a5+a6+a7 =18，則下列命題正確的是（）Aa5 是常數(shù)BS5 是常數(shù)C a10 是常數(shù)DS10 是常數(shù)【分析】 推導(dǎo)出 a1+a10=9，從而=45【解答】 解：等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和是 Sn，且 a4+a5+a6+a7=18， a4+a5+a6+a7 =2（ a1+a10）=18， a1+a10=9，=45故選： D4（5 分）七

13、巧板是我們祖先的一項(xiàng)創(chuàng)造，被譽(yù)為 “東方魔板 ”，它是由五塊等腰直角三角形（兩塊全等的小三角形、一塊中三角形和兩塊全等的大三角形） 、一塊正方形和一塊平行四邊形組成的 如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（）ABCD【分析】設(shè)邊長(zhǎng) AB=2，求出 BCI和平行四邊形 EFGH的面積，計(jì)算對(duì)應(yīng)的面積比即可【解答】 解：設(shè) AB=2，則 BC=CD=DE=EF=1，SBCI=，S平行四邊形 EFGH=2S BCI=2=，所求的概率為P=第 8頁（共 27頁）故選： A5（5 分）已知點(diǎn) F 為雙曲線 C：（a0，b0）的右焦點(diǎn)，直線x=a與雙曲線的漸近線在第一象限的

14、交點(diǎn)為A，若 AF 的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）ABCD【分析】設(shè)出雙曲線的右焦點(diǎn)和漸近線方程，可得將交點(diǎn) A 的坐標(biāo)，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得中點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，結(jié)合離心率公式，計(jì)算即可得到所求值【解答】 解：設(shè)雙曲線 C：的右焦點(diǎn) F（c，0），雙曲線的漸近線方程為y=x，由 x=a 代入漸近線方程可得y=b，則 A（a，b），可得 AF的中點(diǎn)為（，b），代入雙曲線的方程可得=1，可得 4a22acc2=0，由 e= ，可得 e2+2e4=0，解得 e= 1（ 1舍去），故選： D6（5 分）已知函數(shù)則（）A2+BCD【分析】 由2，得到=cos=tdt=第 9頁（共 2

15、7頁）=（）+（ cosx），由此能求出結(jié)果【解答】 解：， 2= costdt=，=（）+（ cosx）= 2故選： D7（5 分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S 的值為（）ABCD【分析】由已知中的程序框圖可知： 該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量 S 的值，模擬程序的運(yùn)行過程，可得答案【解答】 解：第 1 次循環(huán)后， S=，不滿足退出循環(huán)的條件，k=2；第 2 次循環(huán)后， S= ，不滿足退出循環(huán)的條件， k=3；第 3 次循環(huán)后， S= =2，不滿足退出循環(huán)的條件， k=4；第 n 次循環(huán)后， S=，不滿足退出循環(huán)的條件， k=n+1；第 2018 次循環(huán)后， S=，不滿足退出

16、循環(huán)的條件，k=2019第10頁（共 27頁）第 2019 次循環(huán)后， S=2，滿足退出循環(huán)的條件，故輸出的 S值為 2，故選： C8（5 分）已知函數(shù)（0）的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)差的絕對(duì)值為，則函數(shù) f（ x）的圖象（A可由函數(shù) g（x） =cos4x的圖象向左平移B可由函數(shù) g（ x） =cos4x的圖象向右平移C可由函數(shù) g（ x） =cos4x的圖象向右平移）個(gè)單位而得個(gè)單位而得個(gè)單位而得D可由函數(shù) g（x） =cos4x的圖象向右平移個(gè)單位而得【分析】 利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的零點(diǎn)求出，可得函數(shù)解析式，再利用y=Asin（x+）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論【 解 答 】

17、 解 ： 函 數(shù)=sin （ 2x） ?+=sin（ 2x）（0）的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)差的絕對(duì)值為，?=， =2，f（ x） =sin（4x）=cos （4x） =cos（ 4x）故把函數(shù) g（ x） =cos4x的圖象向右平移個(gè)單位，可得 f （x）的圖象，故選： B9（5 分）的展開式中剔除常數(shù)項(xiàng)后的各項(xiàng)系數(shù)和為（）A 73B 61C 55D 63【分析】求出展開式中所有各項(xiàng)系數(shù)和， 以及展開式中的常數(shù)項(xiàng)，再求展開式中剔除常數(shù)項(xiàng)后的各項(xiàng)系數(shù)和第11頁（共 27頁）【解答】解：展開式中所有各項(xiàng)系數(shù)和為（2 3）（1+1）6= 64；=（2x 3）（1+ ），其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為3+12=9，所求展

18、開式中剔除常數(shù)項(xiàng)后的各項(xiàng)系數(shù)和為 649=73故選： A10（5 分）某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖中六邊形ABCDEF是邊長(zhǎng)為1 的正六邊形，點(diǎn)G 為 AF的中點(diǎn)，則該幾何體的外接球的表面積是（）ABCD【分析】可得該幾何體是六棱錐，底面是正六邊形，有一條側(cè)面垂直底面過底面中心 N 作底面垂線，過側(cè)面PAF的外心 M 作面 PAF的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)求出球的半徑即可【解答】解：如圖，可得該幾何體是六棱錐PABCDEF，底面是正六邊形，有一PAF側(cè)面垂直底面，且 P 在底面的投影為 AF 中點(diǎn)，過底面中心N 作底面垂線，過側(cè)面 PAF的外心 M 作面 PAF的垂

19、線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心O，設(shè) PAF的外接圓半徑為 r，解得 r=，則該幾何體的外接球的半徑 R=，表面積是則該幾何體的外接球的表面積是2S=4R=故選： C第12頁（共 27頁）11（ 5 分）已知拋物線C：y2=4x 的焦點(diǎn)為 F，過點(diǎn) F 分別作兩條直線 l1，l 2，直線 l與拋物線C交于、兩點(diǎn)，直線l2與拋物線C交于、兩點(diǎn)，若l1與l21A BD E的斜率的平方和為1，則 | AB|+| DE| 的最小值為（）A16B20C24D32【分析】設(shè)直線 l1，l2 的方程，則，將直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)，即可求得 | AB|+| DE| ，利用基本不等式的

20、性質(zhì)，即可求得 | AB|+| DE| 的最小值【解答】 解：拋物線 C：y2=4x 的焦點(diǎn) F（1，0），設(shè)直線 l1：y=k1（ x1），直線l2：y=k2（x1），由題意可知，則，聯(lián)立，整理得： k122（ 2k12+4） x+k12 ，x=0設(shè) A（x1，1）， （2， 2 ），則1 2，yB xyx +x =設(shè) D（x3，3）， （4， 4），同理可得：3 4，yE xyx +x =2+由拋物線的性質(zhì)可得：丨AB 丨=x1 2，丨DE丨 3 4，+x +p=4+=x +x +p=4+第13頁（共 27頁）| AB|+| DE| =8+=，當(dāng)且僅當(dāng)= 時(shí)，上式 “=成”立 | AB|+

21、| DE| 的最小值 24，故選： C12（ 5 分）若函數(shù) y=f（x），x M，對(duì)于給定的非零實(shí)數(shù) a，總存在非零常數(shù) T，使得定義域 M 內(nèi)的任意實(shí)數(shù) x，都有 af（x）=f（x+T）恒成立，此時(shí) T 為 f （x）的類周期，函數(shù) y=f（x）是 M 上的 a 級(jí)類周期函數(shù)若函數(shù) y=f（ x）是定義在區(qū) 間 0 ， + ） 內(nèi)的 2 級(jí)類 周 期 函 數(shù) ， 且 T=2， 當(dāng) x 0 ， 2 ） 時(shí)，函數(shù)若 ? x1 6，8 ，? x2（ 0， +），使 g（x2） f（x1） 0 成立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（）ABCD【分析】 根據(jù)題意，由函數(shù)f （x）在 0，2）上的解析式，

22、分析可得函數(shù)f（ x）在 0，2）上的最值，結(jié)合a 級(jí)類周期函數(shù)的含義，分析可得f （x）在 6，8 上的最大值，對(duì)于函數(shù) g（x），對(duì)其求導(dǎo)分析可得 g（x）在區(qū)間（ 0，+）上的最小值；進(jìn)而分析，將原問題轉(zhuǎn)化為 g（ x）minf（ x）max 的問題，即可得 +m8，解可得 m 的取值范圍，即可得答案【解答】解：根據(jù)題意，對(duì)于函數(shù) （f x），當(dāng) x 0，2）時(shí)，分析可得：當(dāng) 0x1 時(shí)， f（ x） = 2x2，有最大值 f （0）=，最小值 f（ 1）=，當(dāng) 1x 2 時(shí)，f（x）=f（2x），函數(shù) f（x）的圖象關(guān)于直線 x=1 對(duì)稱，則此時(shí)有 f （x） ，又由函數(shù) y=f（x）

23、是定義在區(qū)間 0，+）內(nèi)的 2 級(jí)類周期函數(shù)，且 T=2；則在 6，8）上， f （x）=23?f（x6），則有 12f （x） 4，第14頁（共 27頁）則 f（ 8） =2f（ 6） =4f（ 4） =8f（ 2） =16f（0）=8，則函數(shù) f（x）在區(qū)間 6， 8 上的最大值為 8，最小值為 12；對(duì)于函數(shù)，有 g（x）=+x+1=，分析可得：在（ 0，1）上， g（x） 0，函數(shù) g（x）為減函數(shù)，在（ 1，+）上， g（x） 0，函數(shù) g（x）為增函數(shù)，則函數(shù) g（x）在（ 0，+）上，由最小值f （1）=+m ，若 ? x1 6，8 ， ? x2（ 0，+），使 g（x2） f（

24、x1） 0 成立，必有 g（x）min f（x）max，即 +m 8，解可得 m，即 m 的取值范圍為（， ；故選： B二、填空題（每題5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上）13（ 5 分）已知向量，且，則=【分析】 根據(jù)題意，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算公式可得? =2sin cos=0，則有 tan =，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式分析可得sin 、cos的值，即可得的坐標(biāo)，向量模的計(jì)算公式計(jì)算可得答案【解答】 解：根據(jù)題意，向量，若，則? =2sin cos=0，則有 tan =，又由 sin2+cos2 =1，則有或，則 =（，）或（，），則|=，則=2+22?=；第15頁（共 27頁

25、）故答案為：14（ 5 分）已知 x，y 滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為【分析】 由約束條件作出可行域，令t=5x3y，化為 y=，求出其最小值，即可求得目標(biāo)函數(shù)的最小值【解答】 解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得 A（2，4），=，令 t=5x 3y，化為 y=，由圖可知，當(dāng)直線y=過 A 時(shí)，直線在 y 軸上的截距最大， t 有最小值為 2目標(biāo)函數(shù)的最小值為故答案為：15（5 分）在等比數(shù)列 a 中，a ?a =2a ，且 a與 2a的等差中項(xiàng)為 17，設(shè) b =an23147n 2n 1 a2n， N*，則數(shù)列n的前2n項(xiàng)和為n b 第16頁（共 27頁）【分析】首先求出數(shù)列的通

26、項(xiàng)公式， 進(jìn)一步利用等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式求出結(jié)果【解答】 解：等比數(shù)列 an 中， a2?a3=2a1，且 a4 與 2a7 的等差中項(xiàng)為 17，設(shè)首項(xiàng)為 a1，公比為 q，則：，整理得：，解得：則：，所以： bn=a2n1 a2n=22n 4，則： T2n=故答案為：16（ 5 分）如圖，在直角梯形ABCD中， AB BC，ADBC，點(diǎn)E 是線段 CD 上異于點(diǎn) C，D 的動(dòng)點(diǎn)， EF AD 于點(diǎn) F，將 DEF沿 EF折起到 PEF的位置，并使 PFAF，則五棱錐 PABCEF的體積的取值范圍為（0，）【分析】 設(shè) DF=x，得出棱錐的體積V 關(guān)于 x 的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和x

27、的范圍得出結(jié)論【解答】 解： PFAF， PFEF，AF EF=F， PF平面 ABCD第17頁（共 27頁）設(shè) PF=x，則 0x1，且 EF=DF=x五邊形 ABCEF的面積為 S=S梯形 ABCDSDEF= （ 1+2） 1 x2=（ 2）3x五棱錐 PABCEF的體積 V=（3x2）x=（3x x3），設(shè) f（ x）=（ 3xx3），則 f （ x） = （ 3 3x2） =（ 1 x2），當(dāng) 0x1 時(shí)， f （ x） 0， f（x）在（ 0， 1）上單調(diào)遞增，又 f（0）=0， f（1）= 五棱錐 PABCEF的體積的范圍是（ 0， ）故答案為：三、解答題（本大題共 5 小題，共

28、70 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 .）17（ 12 分）已知 ABC 的內(nèi)角 A， B， C 的對(duì)邊 a，b，c 分別滿足c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又點(diǎn) D 滿足（ 1）求 a 及角 A 的大?。唬?2）求的值【分析】（1）運(yùn)用正弦定理和誘導(dǎo)公式、 兩角和的正弦公式， 化簡(jiǎn)可得角 A 的值，再由余弦定理，可得 a；（ 2）運(yùn)用向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到所求值【解答】 解：（1）由 2bcosA+acosC+ccosA=0及正弦定理得 2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，即 2sinBcosA=s

29、in（ A+C）=sinB，在 ABC中， sinB 0，所以第18頁（共 27頁）又 A（ 0，），所以在 ABC中， c=2b=2，由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=b2+c2+bc=7，所以（2）由，得=，所以18（12 分）在四棱柱 ABCDA1B1C1 D1 中，底面 ABCD是正方形，且， A1AB=A1AD=60（ 1）求證： BDCC1；（ 2）若動(dòng)點(diǎn) E 在棱 C1D1 上，試確定點(diǎn) E 的位置，使得直線 DE與平面 BDB1 所成角的正弦值為 【分析】（1）連接 A1B，A1D， AC，則 A1AB 和 A1AD 均為正三角形，設(shè) AC與 BD 的交點(diǎn)為 O，連接

30、 A1O，則 A1OBD，由四邊形 ABCD是正方形，得 ACBD，從而 BD平面 A1AC進(jìn)而 BD AA1，由此能證明 BD CC1（ 2）推導(dǎo)出 A1BA1D，A1O AO，A1OBD，從而 A1O底面 ABCD，以點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?x 軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，利用向量法能求出當(dāng) E 為 D1 1 的中點(diǎn)時(shí)，直線DE與平面1 所成角的正弦值為CBDB【解答】 解：（1）連接 A1 ， 1 ，BADAC第19頁（共 27頁）因?yàn)?AB=AA1=AD， A1AB= A1AD=60，所以 A1AB 和 A1AD 均為正三角形，于是 A1B=A1D設(shè) AC與 BD 的

31、交點(diǎn)為 O，連接 A1O，則 A1OBD，又四邊形 ABCD是正方形，所以 ACBD，而 A1OAC=O，所以 BD平面 A1AC又 AA1? 平面 A1AC，所以 BDAA1，又 CC1AA1，所以 BDCC1（ 2）由，及，知 A1BA1D，于是，從而 A1OAO，結(jié)合 A1O BD，AO AC=O，得 A1O底面 ABCD，所以 OA、OB、OA1 兩兩垂直如圖，以點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?x 軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O xyz，則 A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），C（ 1，0，0），由，得 D1（ 1， 1， 1）設(shè)（ 0，1 ），則

32、（ xE+1， yE+1，zE1）=（ 1，1，0），即 E（ 1， 1， 1），所以設(shè)平面 B1BD 的一個(gè)法向量為，由得令 x=1，得，設(shè)直線 DE與平面 BDB1 所成角為 ，則，第20頁（共 27頁）解得或（舍去），所以當(dāng) E為 D1 1的中點(diǎn)時(shí)，直線DE與平面1所成角的正弦值為CBDB19（ 12 分） “過大年，吃水餃 ”是我國不少地方過春節(jié)的一大習(xí)俗2018 年春節(jié)前夕，A 市某質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取了100 包某種品牌的速凍水餃，檢測(cè)其某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，（ 1）求所抽取的100 包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表） ；（ 2）由直方圖可以認(rèn)為，速

33、凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值Z 服從正態(tài)分布 N（，2），利用該正態(tài)分布，求Z 落在（ 14.55， 38.45）內(nèi)的概率；將頻率視為概率，若某人從某超市購買了4 包這種品牌的速凍水餃，記這4包速凍水餃中這種質(zhì)量指標(biāo)值位于（10，30）內(nèi)的包數(shù)為 X，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望附：計(jì)算得所抽查的這100 包速凍水餃的質(zhì)量指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為；若，則 P（Z+）=0.6826，P（2 Z+2）=0.9544【分析】（ 1）所抽取的100 包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為第21頁（共 27頁）（ 2） P（14.55Z38.45）=P（26.5 11.95Z26.5+11.95）=0.6826，根據(jù)題意

34、得XB（4，），；即可求得 X 的分布列、期望值【解答】 解：（1）所抽取的100 包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為2（ 2） Z 服從正態(tài)分布 N（ ， ），且 =26.5，11.95， P（ 14.55Z 38.45）=P（ 26.511.95 Z 26.5+11.95）=0.6826， Z 落在（ 14.55，38.45）內(nèi)的概率是 0.6826根據(jù)題意得XB（4，），； X 的分布列為X01234P20（12 分）已知橢圓 C：的離心率為，且以兩焦點(diǎn)為直徑的圓的內(nèi)接正方形面積為2（ 1）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ 2）若直線 l： y=kx+2 與橢圓 C 相交于 A，B 兩點(diǎn)，

35、在 y 軸上是否存在點(diǎn) D，使直線 AD 與 BD 的斜率之和 kAD+kBD 為定值？若存在， 求出點(diǎn) D 坐標(biāo)及該定值， 若不存在，試說明理由第22頁（共 27頁）【分析】（1）根據(jù)題意，由橢圓的幾何性質(zhì)分析可得，解可得 a、b 的值，將 a、b 的值代入橢圓的方程，即可得答案；（ 2）聯(lián)立直線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得（ 1+2k2） x2+8kx+6=0，分析可得可得 k 的范圍，設(shè)存在點(diǎn) D（0，m），由此表示 KAD 與 KBD，由根與系數(shù)的關(guān)系分析可得只需 6k 4k（2m） =6k8k+4mk=2（2m 1），據(jù)此分析可得答案【解答】 解：（1）由已知可得解得 a2，22，=2 b

36、=c =1所求橢圓方程為（ 2）由得（ 1+2k2）x2+8kx+6=0，則 =64k224（1+2k2）=16k2 240，解得或設(shè) A（x1，y1），B（x2， y2 ），則，設(shè)存在點(diǎn) D（0，m），則，所以=要使 kAD+kBD 為定值，只需6k4k（ 2 m）=6k8k+4mk=2（2m1）， k 與參數(shù)k 無關(guān)，故 2m1=0，解得，當(dāng)時(shí)， kAD+kBD=0綜上所述，存在點(diǎn)，使得 kAD BD 為定值，且定值為0+k第23頁（共 27頁）21（ 12 分）已知函數(shù) f （x）=ex2（a1）x b，其中 e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（ 1）若函數(shù) f（ x）在區(qū)間 0，1 上是單調(diào)函數(shù)，試

37、求實(shí)數(shù)a 的取值范圍；（ 2）已知函數(shù) g（x）=ex（ a1）x2 bx1，且 g（ 1） =0，若函數(shù) g（x）在區(qū)間 0， 1 上恰有 3 個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍【分析】（1）根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式計(jì)算可得 f（x），由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分 2 種情況分析討論，求出 a 的取值范圍，綜合即可得答案；（ 2）根據(jù)題意，對(duì) g（ x）求導(dǎo)分析可得 f（ x）=g（x），由 g（ 0）=g（1）=0，知 g（ x）在區(qū)間（ 0，1）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，由（ 1）的結(jié)論，分析 g（x）的極值，綜合即可得答案【解答】 解：（1）根據(jù)題意，函數(shù) f （x）=ex2（a 1） x b

38、，其導(dǎo)數(shù)為 f （x） =ex 2（ a 1），當(dāng)函數(shù) f（x）在區(qū)間 0，1 上單調(diào)遞增時(shí)， f（x）=ex 2（ a 1） 0 在區(qū)間 0，1 上恒成立， 2（ a1）（ ex）min（其中x，1），解得；=1 0當(dāng)函數(shù) f（x）在區(qū)間 0， 1 單調(diào)遞減時(shí)， f（x）=ex2（ a 1） 0 在區(qū)間 0，1 上恒成立， 2（ a1）（ ex）（其中 ，1），解得max=ex 0綜上所述，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ 2）函數(shù) g（x）=ex（ a 1） x2bx1，則 g（x）=ex2（a1）x b，分析可得 f（ x）=g（x）由 g（0）=g（1）=0，知 g（ x）在區(qū)間（ 0， 1）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為 x0，則 g（x）在區(qū)間（ 0，x0）內(nèi)不單調(diào)，所以 f （x）在區(qū)間（ 0，x0）內(nèi)存在零點(diǎn) x1，同理， f（x）在區(qū)間（ x0，1）內(nèi)存在零點(diǎn) x2，所以 f （x）在區(qū)間（ 0，1）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)由（ 1）知，當(dāng)時(shí)， f（x）在區(qū)間 0， 1 上單調(diào)遞增，故f（x）在區(qū)間（ 0，第24頁（共 27頁）1）內(nèi)至多有一個(gè)