1、 在上一節(jié)我們已經(jīng)看到，直接用定義計(jì)算定積分是十分繁難的，因此我們期望尋求一種計(jì)算定積分的簡(jiǎn)便而又一般的方法。我們將會(huì)發(fā)現(xiàn)定積分與不定積分之間有著十分密切的聯(lián)系，從而可以利用不定積分來計(jì)算定積分。微積分基本公式微積分基本公式變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系 設(shè)設(shè)某某物物體體作作直直線線運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)，已已知知速速度度)(tvv 是是時(shí)時(shí)間間間間隔隔,21TT上上t的的一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，且且0)( tv，求求物物體體在在這這段段時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)所所經(jīng)經(jīng)過過的的路路程程.變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為 21)(TTdttv另一方面這段路程可表示為

2、另一方面這段路程可表示為)()(12TsTs ).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其其中中 一、問題的提出一、問題的提出 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，并并且且設(shè)設(shè)x為為,ba上上的的一一點(diǎn)點(diǎn)， xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)( 如如果果上上限限x在在區(qū)區(qū)間間,ba上上任任意意變變動(dòng)動(dòng)，則則對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)，.)()( xadttfx記記積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) 二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)

3、數(shù)abxyo定理定理 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是數(shù)是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 積分上限函數(shù)的性質(zhì)積分上限函數(shù)的性質(zhì)xx )(x x一般情況一般情況 如如果果)(tf連連續(xù)續(xù)，)(xa、)(xb可可導(dǎo)導(dǎo)， 則則dttfxFxbxa )()()()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(xF 為為 )()()()(xbxadttfdxdxF )()()()(xaxafxbxbf 注注此定理表明連續(xù)函數(shù)取變上限定積分再對(duì)此定理表明連續(xù)函數(shù)取變上限定積分再對(duì)上限自變量上限自變

4、量 x 求導(dǎo)，其結(jié)果就等于被積求導(dǎo)，其結(jié)果就等于被積函數(shù)在上限自變量函數(shù)在上限自變量 x 處的函數(shù)值處的函數(shù)值若上限不是若上限不是 x 而是而是 x 的函數(shù)的函數(shù) a(x)，則求導(dǎo)時(shí)必須按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行則求導(dǎo)時(shí)必須按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行 )()()()(xaaxaxafdttfdxd例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 00分析分析：這是：這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2

5、cos0 .21e 例例 2 2 設(shè)設(shè))(xf在在),( 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，且且0)( xf.證證明明函函數(shù)數(shù) xxdttfdtttfxF00)()()(在在),0( 內(nèi)內(nèi)為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù).證證 xdtttfdxd0)()(xxf xdttfdxd0)(),(xf ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF,0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 內(nèi)內(nèi)為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)

6、數(shù).例例 3 3 設(shè)設(shè))(xf在在1 , 0上連續(xù)，且上連續(xù)，且1)( xf.證明證明 1)(20 dttfxx在在1 , 0上只有一個(gè)解上只有一個(gè)解.證證令令, 1)(2)(0 dttfxxFx, 1)( xf, 0)(2)( xfxF)(xF在在1 , 0上上為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù)., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf所所以以0)( xF即即原原方方程程在在1 , 0上上只只有有一一個(gè)個(gè)解解.0 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù). .定理

7、的重要意義：定理的重要意義：（1肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系間的聯(lián)系. 定理定理2 2原函數(shù)存在定理）原函數(shù)存在定理） 前述變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題表明：前述變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題表明：定積分的值等于被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)定積分的值等于被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)在時(shí)間區(qū)間上的增量，這個(gè)事實(shí)啟發(fā)我在時(shí)間區(qū)間上的增量，這個(gè)事實(shí)啟發(fā)我們?nèi)タ疾煲话愕那闆r，得到肯定的回答。們?nèi)タ疾煲话愕那闆r，得到肯定的回答。這就是微積分基本公式。這就是微積分基本公式。定理定理 3 3微積分基本公式）微積分基本公式

8、）如如果果)(xF是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，則則)()()(aFbFdxxfba . . 三、三、Newton-Leibniz公式公式牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba baxF)( 注注微積分基本公式表明：微積分基本公式表明： (1) 一個(gè)一個(gè)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間,ba上的定積分等于上的定積分等于它在它在該區(qū)間該區(qū)間上的上的任意一個(gè)原函數(shù)任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間,ba上的上的增量增量. （2） N-L公式揭示了積分學(xué)兩類基本問題公式揭示了積分學(xué)兩類基本問題不定積分與定積分兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系不定積分與定積

9、分兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系（3求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題. （4） 為定積分的計(jì)算提供了一個(gè)普遍、有效而又為定積分的計(jì)算提供了一個(gè)普遍、有效而又簡(jiǎn)便的方法，使得定積分的計(jì)算大為簡(jiǎn)化。簡(jiǎn)便的方法，使得定積分的計(jì)算大為簡(jiǎn)化。注意注意當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)，時(shí)，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.)1sincos2(20 dxxx解解 原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 設(shè)設(shè) , , 求求 . . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1 上上規(guī)規(guī)定定當(dāng)當(dāng)1 x時(shí)時(shí)，5)(

10、 xf, 102152dxxdx原原式式xyo126 例例4 4 求求 例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解由圖形可知由圖形可知xyo2xy xy 122 ,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原原式式.211 例例7 7 求求 .112dxx 解解當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，x1的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 例例 8 8 計(jì)計(jì)算算曲曲線線xysin 在在, 0 上上與與x軸軸所所圍圍 成成的的平平面面圖圖形形的的面面積積. 解解 面積面積 0sin xdxA 0cosx. 2

11、 xyo 1.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) xadttfx)()(2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù))()(xfx 3.微積分基本公式微積分基本公式)()()(aFbFdxxfba 牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系稱之為微積分基本公式。之間的關(guān)系稱之為微積分基本公式。注意注意 使用公式的條件使用公式的條件1被積函數(shù)被積函數(shù) f(x) 連連續(xù)續(xù) （2Fx是是 f(x) 在在 該區(qū)間上的任一原該區(qū)間上的任一原函數(shù)函數(shù)四、小結(jié)四、小結(jié) 設(shè)設(shè))(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則dttfxa )(與與duufbx )(是是x 的的函函數(shù)數(shù)還還是是 t與

12、與 u 的的函函數(shù)數(shù)？它它們們的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在嗎嗎？如如存存在在等等于于什什么么？ 思考題思考題dttfxa )(與與duufbx )(都都是是x的的函函數(shù)數(shù))()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 思考題解答思考題解答練練 習(xí)習(xí) 題題一一、 填填空空題題：1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . .2 2、 xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _ _ . .4 4、 20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,210,)(2x

13、xxxxf . .5 5、設(shè)設(shè) ,coscos1nxdxmxI dxnxmx sinsin，（1 1） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時(shí)，時(shí)， 1I= =_ , ,2I= =_ _ ，（2 2） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時(shí)，時(shí)，1I= =_ ,_ ,2I= =_ . . 6 6、設(shè)、設(shè),sincos nxdxmx（1 1） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時(shí)，時(shí)，3I= =_ _ , ,（2 2） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時(shí)，時(shí)，3I= =_ . . 7 7、 94)1(dxxx_ . . 8 8、 33121xdx_ . . 9 9、 xdttxx020coslim_ . .二、二、 求導(dǎo)數(shù)：求導(dǎo)數(shù)：1 1、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(x

14、yy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所確所確定，求定，求dxdy ；2 2、 設(shè)設(shè) 12122,ln,lnttuduuyuduux)1( t, ,求求22dxyd ；3 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4 4、設(shè)、設(shè) 2031)(xxdxxg，求，求)1(g . . 三、三、 計(jì)算下列各定積分：計(jì)算下列各定積分：1 1、 2122)1(dxxx; 2; 2、 212121xdx; ;3 3、 012241133dxxxx; 4; 4、 20sindxx . .四、四、 求下列極限：求下列極限：1、 xtxtxdtedte022022)(lim; 2、250202

15、1)cos1(limxdttxx .五、五、 設(shè)設(shè))(xf為連續(xù)函數(shù)，證明為連續(xù)函數(shù)，證明: : xxtdtduufdttxtf000)()( . .六、六、 求函數(shù)求函數(shù) xdttttxf02113)(在區(qū)間在區(qū)間 1,0上的最上的最大值與最小值大值與最小值 . .七、七、 設(shè)設(shè) 時(shí)，時(shí)，或或，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) xxxxxf000,sin21)( 求求 xdttfx0)()（ 在在),( 內(nèi)的表達(dá)式內(nèi)的表達(dá)式 . .八、八、 設(shè)設(shè) baxf,)(在在上連續(xù)且上連續(xù)且,0)( xf xaxbtfdtdttfxF)()()( , ,證明：證明： （1 1） 、） 、2)( xF ; ; （2 2） 、方程） 、方程0)( xF在在),(ba內(nèi)有且僅有一個(gè)根內(nèi)有且僅有一個(gè)根 . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、0 0； 2 2、)()(afxf ； 3 3、)1ln(23 xx ；