1、第三節(jié) 隨機(jī)過程的數(shù)字特征定義 設(shè)隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)為，我們稱 分別為隨機(jī)過程的均值函數(shù)和方差函數(shù)。對離散型的隨機(jī)過程，其均值函數(shù)和方差函數(shù)分別為： 其中：對連續(xù)型的隨機(jī)過程，其均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)分別為：均值函數(shù)和方差函數(shù)刻畫了隨機(jī)過程在不同時刻的統(tǒng)計特性，均值函數(shù)表示在各個不同時刻取值的擺動中心。方差函數(shù)表示在各個不同時刻取值的關(guān)于的平均偏離程度。但不能描述在不同時刻之間的相互關(guān)系，因此我們必須引入自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)概念。定義 設(shè)隨機(jī)過程的二維分布函數(shù)為，我們稱其自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)分別為： 且： 若令，則=D(t)=由此可以看出：均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)是最基本的數(shù)字特征，協(xié)方差函

2、數(shù)和方差函數(shù)可以由它們確定。在隨機(jī)過程理論中，僅研究均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)的理論稱為相關(guān)理論。一般地，相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)均與時間有關(guān)。若令，則： 以上兩式說明和不僅與時間間隔有關(guān)，且與起點有關(guān)。當(dāng)和僅與有關(guān)而與無關(guān)時，且稱這類隨機(jī)過程為寬平穩(wěn)過程，簡稱為平穩(wěn)過程。例 設(shè)是周期為的矩形波，隨機(jī)變量服從兩點分布 令，則：是具有隨機(jī)振幅，周期為的矩形波過程，求的數(shù)字特征。解： 例 已知隨機(jī)相位正弦波，其中，為在上服從均勻分布的隨機(jī)變量。求隨機(jī)過程的、和一維分布密度函數(shù)。解： 由在上服從均勻分布得： 則：利用隨機(jī)過程的分布密度公式 則： 則： 設(shè)隨機(jī)過程定義為：若隨機(jī)點在區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)偶數(shù)次，則；若出現(xiàn)奇數(shù)

3、次，則。又設(shè)內(nèi)隨機(jī)點出現(xiàn)次的概率與無關(guān)，且有： 求和。 解：由內(nèi)隨機(jī)點出現(xiàn)次，互不相容，故：在內(nèi)出現(xiàn)偶數(shù)次，即 注：同理： 注： 即： 則：為求的相關(guān)函數(shù)，先求，的聯(lián)合分布。 其中 ，。設(shè)：，則：同理： 則： 其中當(dāng)，同理可得：則對，有：。 在實際問題中，除考慮一個隨機(jī)過程在不同時刻的性質(zhì)外，還須考慮兩個不同的隨機(jī)過程之間的關(guān)系。例如，通信系統(tǒng)中信號過程與干擾過程之間的關(guān)系，此時，我們必須引入互協(xié)方差函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)來描述它們之間的關(guān)系。定義 設(shè)隨機(jī)過程，是兩個隨機(jī)過程，則稱其互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)分別為： 且 特別地，對任意的，有，則稱隨機(jī)過程，互不相關(guān)；若，則稱隨機(jī)過程，相互正交。 設(shè)有兩個隨機(jī)過程和，其中和都是周期為L的周期方波，是在上服從均勻分布的隨機(jī)變量，求互相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式。 解：由定義： 令，利用和的周期性，則： 三、復(fù)隨機(jī)過程 工程中，常把隨機(jī)過程表示為復(fù)數(shù)形式來進(jìn)行研究，因此我們下面簡單介紹復(fù)隨機(jī)過程的概念和數(shù)字特征。定義設(shè)隨機(jī)過程，是取實數(shù)值的兩個隨機(jī)過程，若對，則稱為復(fù)隨機(jī)過程。定義 當(dāng)和為實隨機(jī)過程時，則的均值函數(shù)、方差函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)的定義如下： 定理