1、2010年第37卷第3期探礦工程(巖土鉆掘工程)5賓漢鉆井液圓管軸向層流壓降的數(shù)值計算高遠文,魯港,楊龍,佟長海,孫忠國院,遼寧盤錦124010)摘要:在計算賓漢鉆井液在鉆具中的層流壓降時,需要求解一個非線性方程,以往通常使用近似公式進行計算。對于求解這個非線性方程,提出了一個數(shù)值迭代算法,并對該算法的收斂性進行了證明,限值。理論分析和大量實際算例表明:,的精確計算值。關鍵詞:鉆井;水力參數(shù);賓漢鉆井液;層流;數(shù)值計算中圖分類號:TE254文獻標識碼:A文章編號:)-NumericalCalculationforAxialLaminariDrillingFluidinCircularPipe/

2、GAO1211Yuan2wen,LUGang,YANG2,2guo(1.Engineering&TechnologyResearchInsti2tute,GreatWallDon,Liaoning124010,China;2.Exploration&DevelopmentRe2searchIOPetroChina,PanjinLiaoning124010,China)Abstract:ForonoflaminarflowpressuredropoftheBinghamdrillingfluidinthedrillingtools,weneedtosolveanon2linear

3、equation,whichisusuallydonebyanapproximateformula.Tosolvethisnon2linearequation,anumeri2caliterativearithmeticisputforwardandtheconvergenceofthearithmeticisdemonstratedtogivetheupperlimitofmaxi2mumiterativesteps.Bymanyactualcasesandtheoreticalanalysis,itshowsthatthearithmeticinthispaperhasaverysta2b

4、leconvergenceandveryfastconvergentspeedwithaccuratecalculatedvalueofpressuredrop.Keywords:drilling;hydraulicparameters;Binghamdrillingfluid;laminarflow;numericalcalculation2(1.中國石油長城鉆探工程有限公司工程技術研究院,遼寧盤錦124010;2.中國石油遼河油田公司勘探開發(fā)研究在鉆井水力參數(shù)計算和優(yōu)化設計等問題中,鉆具內及環(huán)空中的壓降計算是基本的計算。除了與鉆具、環(huán)空的幾何參數(shù)有關之外,鉆井液的流變性質是影響壓降的主要因

5、素。不同類型的鉆井液其流變性質是不同的,目前常用的描述鉆井液流變性質的模型主要有5種:牛頓模型、賓漢模型、冪律模型、赫-巴模型和卡森模型。關于不同流變模型下的壓降計1算目前已有很多研究成果。本文對賓漢模型下的鉆具內層流壓降計算進行了詳細的研究。在賓漢模型下,層流壓降滿足一個4次代數(shù)方程;在一定的2條件下可以得到壓降的一個近似公式。本文的研究表明,這個近似公式的計算誤差隨著鉆具長度而增大。盡管可以使用代數(shù)方程求解理論求出壓降3的精確計算公式,但是在計算機編程計算時很麻煩,并且該方法很特殊,僅適用于賓漢模型。本文提出了求解壓降方程的一個數(shù)值迭代方法,對其收斂性給出了嚴格的數(shù)學證明;并與以往使用的近

6、似計算公式進行了對比分析。1非牛頓流體圓管軸向層流壓降假設所研究的非牛頓流體的本構方程可一般地表示為:=f()-1式中:剪切速率,s;剪切應力,MPa;f()一般的連續(xù)函數(shù)。從動量守恒定律,得:=p/(2L)(1)r式中:p壓降,MPa;L圓管長度,m;r離開圓管軸心的距離,m。在一定壓力梯度下,剪切應力與r成正比;在管壁處切應力有最大值:p/(2L)(2)Rw=式中:R圓管半徑,m;最大剪切應力值,wMPa。收稿日期:2009-09-04(編號:2008ZX05021-006)資助基金項目:國家科技重大專項“大型油氣田及煤層氣開發(fā)”之課題21-6“鉆井工程設計和工藝軟件”作者簡介:高遠文(1

7、965-),男(漢族),四川內江人,中國石油長城鉆探工程有限公司工程技術研究院院長、高級工程師,石油工程專業(yè),博士,從事石油鉆井理論研究及管理工作,遼寧省盤錦市興隆臺區(qū);魯港(1963-),男(漢族),遼寧錦州人,中國石油遼河油田公司勘探開發(fā)研究院高級工程師,應用數(shù)學、鉆井工程、勘探開發(fā)專業(yè),碩士,從事石油鉆探領域數(shù)學模型及算法的理論研究和計算機軟件開發(fā)工作,遼寧省盤錦市興隆臺區(qū)石油大街95號,Lugang1963。6探礦工程(巖土鉆掘工程)2010年第37卷第3期文獻1給出了下面的計算公式:u(r)=w3Q3ww)df()df(22-1w(3)(4)在01區(qū)間上,函數(shù)F()是單調下降函數(shù),參

8、見圖1。并且容易驗證:F(0)=1,F(1)=0。特征方程的解可以看成是曲線y=F()與直線y=a的交點的橫坐標值。R)V=Q/(5)式中:u(r)流體的速度分布函數(shù),ms;Q3-1-1流量,ms;V平均流速,ms。從式(2)得到壓降的計算公式:p=2L(6)w/R式(6)即是非牛頓流體圓管軸向層流壓降的一般計算公式;參數(shù)w需要從方程(4)解出。2賓漢流體圓管軸向層流壓降)的圖像圖1函數(shù)F(-,>0=f0式中:屈服值,MPa;s塑性粘度,mPa0s。記:b=1/(3a+4),則b<1/4。構造下面的迭代算法:0=0k=b(3+k-1),k=1,2,首先可以證明迭代序列k是有界的:3

9、bk<4b,當k>0其次,對于任意給定的正整數(shù)m>0,有:44k+m-k=b(k-1+m-k-1)22=b(k-1+m+k-1)(k-1+m+k-1)(k-1+m-k-1)k(<4b(k-1+m-k-1)<<(4b)m-0)k+1<(4b)4(10)將上式代入式(4),得:4R34(1-Q=4)s433ww當0=0即本構方程退化成牛頓模式時,得:s/(R)w=4Q代入式(6)得到牛頓模式的壓降公式:p=8LQs/(R4)當0>0時,記:4=)=1-(4/3)+(1/3)0/w,F(3因4b<1,根據(jù)序列收斂的Cauchy收斂準4則,可知迭代

10、序列k是收斂的。假設迭代序列k收斂到,易知:(7)k|k-3|<(4b)3則有:R2s)Q=F(0/(4再記:s/(4Rs/(Ra=4Q0)=4V0)則得到的方程如下:=F()a(8)3令收斂允許誤差為,則最大迭代步數(shù)為:1+log2/(2+log2b)4壓降的近似計算公式方程(8)稱為壓降計算的特征方程,簡稱特征方程。從特征方程中求出滿足0<<1的正實數(shù)解,再按下式計算壓降:p=2L)(9)0/(R3特征方程的數(shù)值求解由于0<<1,可知很小。在特征方程中忽4略項,得到:a1-(4/3)求得:1/a+4/3代入式(9),得到壓降的近似計算公式:ps/R2+8L8V

11、L0/(3R)34(11)特征方程是關于未知數(shù)的4次代數(shù)方程,可以3使用4次代數(shù)方程的求根公式求出其解析解,但是計算過程很麻煩。這里給出一個數(shù)值求解的方法。假設特征方程的精確解為,對應計算出的壓降為p;近似公式(11)計算出的壓降為p,則有:33p-p=2L0/(3R)2010年第37卷第3期探礦工程(巖土鉆掘工程)3333可見,雖然很小,但是當管長L很大時,L不是小量。所以,近似壓降公式在管長較長時會產(chǎn)生較大的計算誤差。相對誤差為:34=(p-p)/p=(1/3)從圖1可以看出,當直線系數(shù)a增大時,解7隨之減小。而a與流量Q成正比,所以,當流量減小時,相對誤差也隨之增大。5雷諾數(shù)圖3a的關系

12、曲線1廣義雷諾數(shù)的定義:流量Q=12L/:0=4115Pa,s=s。Re=2RV/N式中:視牛頓粘度,滿足下式:N2p=2L)=80/(R所以:(12)0V式(12)4確計算公式。如果在特征方程中忽略項,得到雷諾數(shù)的近似計算公式:RR00()(13)a+=+Ns4V33V易知:4/NN=1+(1/3)可見,使用近似公式計算的雷諾數(shù)要小于其真實值。6數(shù)值分析及算例110956MPa,使用11)得到的壓降為111011MPa,相對誤差為511。迭代過程中解隨迭代步變化的情況見圖4。只需要10步左右迭代就得到特征方程穩(wěn)定數(shù)值解。圖4特征方程的解隨迭代步的變化曲線圖2給出了特征方程的解與方程中的參數(shù)a之間的變化曲線,從圖中可以看出,解與參數(shù)a之間的變化曲線類似于第一象限中的雙曲線。7結論(1)賓漢鉆井液在鉆具中的層流壓降滿足一個非線性方程,需要使用數(shù)值方法進行求解。本文提出了一個迭代算法,并對其收斂性給出了嚴格的數(shù)學證明;得到了最大迭代步數(shù)的上限值。(2)理論分析和實際算例表明,本文方法具有非常穩(wěn)定的收斂性能和非?？斓氖諗克俣取?3)使用數(shù)值迭代方法計算壓降比近似計算公式更精確。在計算機軟件編程中宜用數(shù)值方法代替以往使用的近似計算公式。圖2特征方程的解與參數(shù)a的關系曲線參考文獻:1張景富.鉆井流體力學M.北京:石油工業(yè)出版社,1994.2曾春元.賓漢流體水力