1、著名特級(jí)教師王永“小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的數(shù)學(xué)化”探討實(shí)錄這里所說的“數(shù)學(xué)化”更注重生活數(shù)學(xué)化，課程內(nèi)容數(shù)學(xué)化，還是教學(xué)方法數(shù)學(xué)化，或者其他？“數(shù)學(xué)化”是數(shù)學(xué)教學(xué)手段、目的，還是特征？王老師：數(shù)學(xué)化”是弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想的核心。今天我們看到以數(shù)學(xué)活動(dòng)為載體的小學(xué)數(shù)學(xué)課程，強(qiáng)調(diào)“向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。數(shù)學(xué)作為人類的一種活動(dòng)，它的主要特征是數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)的根源在于普通的常識(shí)，在于學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)教學(xué)要通過數(shù)學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生親身經(jīng)歷對(duì)現(xiàn)實(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)化的過程，使數(shù)學(xué)變成是他們自己

2、“再創(chuàng)造”的產(chǎn)物，而不是成人強(qiáng)加給他們的東西。所以，數(shù)學(xué)化是學(xué)生自己的活動(dòng)，不是教師的活動(dòng)；數(shù)學(xué)化的對(duì)象是學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)，不是成人的現(xiàn)實(shí)。教師的責(zé)任首先是創(chuàng)設(shè)適合于學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)化活動(dòng)的具體的現(xiàn)實(shí)的情境，并有效地指導(dǎo)他們參與到數(shù)學(xué)化的各個(gè)方面中去。例如，小學(xué)一年級(jí)學(xué)生怎樣學(xué)習(xí)加法呢？首先要向?qū)W生提供熟悉的現(xiàn)實(shí)情境：笑笑左手拿著2支鉛筆，右手拿著3支鉛筆，她一共有幾支鉛筆？（用兩幅圖呈現(xiàn)這個(gè)實(shí)際問題）其次，指導(dǎo)學(xué)生參與如下的數(shù)學(xué)活動(dòng)：笑笑的一只手拿著幾支鉛筆，你就在本子上畫幾個(gè)小圓圈；笑笑的另一只手拿著幾支鉛筆，你在本子上繼續(xù)畫上幾個(gè)小圓圈；數(shù)一數(shù)你的本子上一共畫了幾個(gè)小圓圈？想一想：你所畫的這些

3、小圓圈表示什么意義？讓每個(gè)學(xué)生都經(jīng)歷上述畫圖、數(shù)數(shù)與思考等數(shù)學(xué)活動(dòng)，都體驗(yàn)并獲得一個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)：2支鉛筆與3支鉛筆合起來一共有5支鉛筆。在這個(gè)基礎(chǔ)上，教師才把這個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)加以形式化，寫出加法算式：235或325，并指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體情境運(yùn)用語言描述或解釋算式中每一個(gè)數(shù)字或符號(hào)的意義。進(jìn)而讓學(xué)生在新的情境中嘗試應(yīng)用加法算式，表示現(xiàn)實(shí)生活中大量存在的加法結(jié)構(gòu)。這就是課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)的：“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程”，也就是經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程。我所理解的“數(shù)學(xué)化”，既是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的目的，也是實(shí)現(xiàn)目的的手段。數(shù)學(xué)化是否就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想？數(shù)學(xué)

4、化與純數(shù)學(xué)之間有什么聯(lián)系與區(qū)別？數(shù)學(xué)化有橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化之分。在弗賴登塔爾看來，橫向數(shù)學(xué)化“是把生活世界引向符號(hào)世界”，而“在符號(hào)世界里，符號(hào)的生成、重塑和被使用”，則是縱向數(shù)學(xué)化。是否也可以這樣理解：橫向數(shù)學(xué)化的產(chǎn)物是生成數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，縱向數(shù)學(xué)化的產(chǎn)物是生成抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。數(shù)學(xué)建模只是數(shù)學(xué)化的一個(gè)方面，它關(guān)注的是橫向數(shù)學(xué)化的因素，并不是數(shù)學(xué)化的全部。將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，這個(gè)“模型”是不可缺少的一種中介，用它把復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)來理想化或簡單化，從而更易于進(jìn)行形式的數(shù)學(xué)處理。        

5、60; 所謂純數(shù)學(xué)，如果是指脫離了現(xiàn)實(shí)背景的抽象的形式化的數(shù)學(xué)理論與方法，它卻是縱向數(shù)學(xué)化所要生成的東西。對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行形式的數(shù)學(xué)處理，就是縱向數(shù)學(xué)化的過程。有趣的是，弗賴登塔爾原來并不接受橫向與縱向數(shù)學(xué)化的劃分，但最終他不僅接受了這種劃分的思想，甚至到了極力推崇的地步。原因是如果數(shù)學(xué)教育用雙重的二分法分別注重橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化來進(jìn)行分類的話，可以分成如下四種類型，這些教學(xué)類型分別對(duì)應(yīng)著彼此不同的哲學(xué)觀：缺少橫向數(shù)學(xué)化，也缺乏縱向數(shù)學(xué)化，是機(jī)械主義的教學(xué)；橫向數(shù)學(xué)化得到成長，但縱向數(shù)學(xué)化不足，是經(jīng)驗(yàn)主義的教學(xué)；橫向數(shù)學(xué)化不足，但縱向數(shù)學(xué)化被培養(yǎng)起來，是結(jié)構(gòu)主義的教學(xué)；橫向數(shù)學(xué)化與

6、縱向數(shù)學(xué)化都得到成長，是現(xiàn)實(shí)主義的教學(xué)。當(dāng)下我國基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革倡導(dǎo)的是現(xiàn)實(shí)主義的教學(xué)，橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化要結(jié)伴而行，均衡發(fā)展。數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)是發(fā)展學(xué)生的思維。發(fā)展學(xué)生的思維與數(shù)學(xué)化是否是同一回事？我們暫且不去討論數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)是否只是關(guān)注發(fā)展學(xué)生的思維。但發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力無疑是數(shù)學(xué)課程的基本目標(biāo)之一。發(fā)展數(shù)學(xué)思考能力包括抽象思維、形象思維、統(tǒng)計(jì)觀念、合情推理能力和初步的演繹推理能力等。發(fā)展學(xué)生的思維與數(shù)學(xué)化雖然不是同一回事，但可以肯定，學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的活動(dòng)也是發(fā)展學(xué)生思維的過程和動(dòng)力。數(shù)學(xué)新課程強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，什么是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律呢？布魯納

7、關(guān)于兒童智力發(fā)展的研究表明，兒童的認(rèn)知發(fā)展需要經(jīng)歷三個(gè)發(fā)展階段：動(dòng)作認(rèn)知、圖形認(rèn)知和符號(hào)認(rèn)知。這三個(gè)發(fā)展階段對(duì)應(yīng)著兒童思維發(fā)展的三種水平：操作水平、表象水平和分析水平。我們可以從下面一個(gè)例子，看到數(shù)學(xué)化過程是怎樣促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的。問題情境（用情境圖呈現(xiàn)）：在兩個(gè)箱子里分別裝著9瓶和5瓶牛奶，這兩箱一共有幾瓶牛奶？從這個(gè)實(shí)際問題能提出一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)問題嗎？這個(gè)簡單的數(shù)學(xué)問題是：9和5合起來是多少？從而列出算式：95？要求學(xué)生從實(shí)際問題剝離出一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)問題，就是思考、尋找具體問題情境中的抽象結(jié)構(gòu)，建立數(shù)學(xué)模型的過程。這是橫向數(shù)學(xué)化。在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，不要求學(xué)生在列出算式前先把實(shí)際問題抽象為一

8、個(gè)簡單的數(shù)學(xué)問題（數(shù)學(xué)模型），是因?yàn)橐庾R(shí)不到這一中介的重要性。接著，放手讓學(xué)生自主探索：95應(yīng)該怎么計(jì)算？這就是學(xué)生自己在進(jìn)行著縱向的數(shù)學(xué)化活動(dòng)。在是創(chuàng)造算法化的過程，“算法化意味著將證明留給學(xué)生，即使它會(huì)在一段時(shí)間或永遠(yuǎn)地隱含在學(xué)習(xí)過程中”，弗賴登塔爾說，“再創(chuàng)造算法涉及到一個(gè)圖式化的過程，由他們來探究盡可能適合學(xué)習(xí)者需要、能力要求和允許范圍的標(biāo)準(zhǔn)算法”。學(xué)生的算法是多樣化的，因?yàn)樗麄儽緛砭吞幵诓煌恼J(rèn)知發(fā)展階段，他們的認(rèn)知背景和認(rèn)知風(fēng)格也不會(huì)相同。處在動(dòng)作認(rèn)知水平的學(xué)生，可能會(huì)先數(shù)出9根小棒和5根小棒，然后合在一起數(shù)，得出結(jié)果14。這些學(xué)生的思維需要利用實(shí)物的圖式，他們還擺脫不了數(shù)數(shù)的具體

9、操作。處在圖形認(rèn)知水平的學(xué)生，可能會(huì)先畫出兩堆小圓圈，一堆9個(gè)一堆5個(gè)，然后從5個(gè)一堆的圓圈中劃出1個(gè)小圓圈并到另一堆，變成10個(gè)一堆和4個(gè)一堆，得出結(jié)果14。這些學(xué)生利用的是圖形的圖式，他們已經(jīng)擺脫了動(dòng)作，可以借助表象進(jìn)行思維了。處在符號(hào)認(rèn)知水平的學(xué)生，他們可以進(jìn)行抽象的思維了：9110，10414。這些學(xué)生利用的是符號(hào)的圖式，他們有良好的數(shù)感和符號(hào)感。凡是學(xué)習(xí)就會(huì)產(chǎn)生差異，但差異也會(huì)產(chǎn)生學(xué)習(xí)。因此，要把上述差異當(dāng)作課堂動(dòng)態(tài)生成的教學(xué)資源加以利用，有效的策略是讓學(xué)生交流、互動(dòng)起來，將不同算法展示出來，這些差異的碰撞，會(huì)促使學(xué)生個(gè)體的反思。這種反思，會(huì)促使認(rèn)知水平比較低的學(xué)生獲得感悟：利用圖形

10、的圖式比小棒圖式簡便，利用符號(hào)的圖式又比圖形的圖式簡捷。數(shù)學(xué)化的一個(gè)十分重要的方面就是反思自己的活動(dòng)，從而促使改變看問題的角度，這是學(xué)生思維得以持續(xù)發(fā)展的內(nèi)因。認(rèn)知水平比較低的學(xué)生雖然不可能創(chuàng)造出超越自己認(rèn)知水平的算法，但可以通過模仿他人來改變自己的思維方式，掌握更好的算法。維果茨基認(rèn)為，學(xué)習(xí)的本質(zhì)是基于模仿為基礎(chǔ)的溝通過程；在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)框架內(nèi)，模仿并不是消極的，它同樣具有建構(gòu)的意義。數(shù)學(xué)知識(shí)的生活化在新課程中有相當(dāng)?shù)牡匚唬驳玫搅嗽S多教師的認(rèn)同，可實(shí)施一段時(shí)間后，我們發(fā)現(xiàn)有的數(shù)學(xué)課不再像數(shù)學(xué)課 。請(qǐng)問：如何處理生活問題的數(shù)學(xué)化與數(shù)學(xué)問題的生活化？數(shù)學(xué)新課程強(qiáng)調(diào)要密切數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系。

11、我不知道是否由此引伸出所謂“數(shù)學(xué)知識(shí)生活化”的說法。什么是數(shù)學(xué)知識(shí)？課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出數(shù)學(xué)知識(shí)包括數(shù)學(xué)事實(shí)和數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)事實(shí)具有客觀性，是公共知識(shí)；而數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)是因人而異的，是主觀的個(gè)人化的知識(shí)。值得我們追問的是，它們是怎樣產(chǎn)生的？又是怎樣發(fā)展的？它們是怎樣被人類創(chuàng)造出來，又是怎樣被后人掌握的？無論是數(shù)學(xué)事實(shí)還是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)都是將數(shù)學(xué)作為人類一種活動(dòng)的成果。今天，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不必重復(fù)人類創(chuàng)造數(shù)學(xué)的歷程，但卻可以通過數(shù)學(xué)化的活動(dòng)去經(jīng)歷和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)是怎樣從生活經(jīng)驗(yàn)與常識(shí)中提煉和升華而來的；去經(jīng)歷和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)是怎樣發(fā)展、豐富起來，并逐步得到系統(tǒng)化和合理化的；去經(jīng)歷和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)是怎樣被

12、廣泛應(yīng)用的。數(shù)學(xué)化的對(duì)象不是別的，就是學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)；數(shù)學(xué)化活動(dòng)把數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展與應(yīng)用的各個(gè)方面貫通起來；數(shù)學(xué)化本身已經(jīng)把密切數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系涵蓋其中。我想，了解數(shù)學(xué)化內(nèi)涵的人是不會(huì)贊成“數(shù)學(xué)知識(shí)生活化”的提法的。因?yàn)?，縱向的數(shù)學(xué)化活動(dòng)是在數(shù)學(xué)符號(hào)世界里進(jìn)行的，它是通過解決數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的矛盾或問題來發(fā)展數(shù)學(xué)的過程。指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)化活動(dòng)有兩個(gè)基本原則：一是在學(xué)生當(dāng)前的現(xiàn)實(shí)中選擇學(xué)習(xí)情境，使其適合于橫向的數(shù)學(xué)化。這就是為什么新世紀(jì)（版）教材采用如“小熊購物”、“玩具”、“動(dòng)物園”等情境性的課題名稱的原因。二是為縱向的數(shù)學(xué)化提供手段和工具?？v向發(fā)數(shù)學(xué)化活動(dòng)也要提供問題情境，只不過它是用數(shù)學(xué)

13、自身的素材來創(chuàng)設(shè)情境的。例如，新世紀(jì)（版）小學(xué)數(shù)學(xué)三下“找規(guī)律”一課，就是從算一算如下三組算式開始的： 5×1            3×2           12×45×10           3×20  

14、;        12×4050×10          30×20         120×40上述算式中，凡是兩個(gè)乘數(shù)都是兩位數(shù)或三位數(shù)的，是學(xué)生初次遇到的乘法算式，放手讓學(xué)生去探索算法，交流各自算法的理由，從而得到如下三組等式： 5×15    

15、;         3×2 6           12×4485×1050           3×2060          12×4048050×1050

16、0         30×20600        120×404800這些有序排列的三組等式又構(gòu)成了縱向數(shù)學(xué)化活動(dòng)的一個(gè)起點(diǎn)。指導(dǎo)學(xué)生有序地觀察這些等式，去發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含其中的形式規(guī)律，并嘗試用語言描述自己所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的目的，就是為了運(yùn)用它能夠更快捷地進(jìn)行整十?dāng)?shù)與整十?dāng)?shù)的乘法運(yùn)算。但為什么這么有用的規(guī)律教材又不明確地用文字表述出來呢？這里涉及到數(shù)學(xué)化的另一個(gè)重要的方面，即形式化。所謂形式化，是指對(duì)語言的整理

17、、修正和轉(zhuǎn)化的過程。形式化的過程也是要讓學(xué)生經(jīng)歷的，讓學(xué)生用個(gè)性化的語言來描述所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，開始的描述也許不準(zhǔn)確，不完整，不簡練，但通過合作交流與個(gè)體反思，可以達(dá)到澄清思想，修正錯(cuò)誤，形成正確的語言描述的目的。數(shù)學(xué)課要上出數(shù)學(xué)味。選擇橫向的和縱向的數(shù)學(xué)化兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，來設(shè)計(jì)和分析數(shù)學(xué)教學(xué)，會(huì)幫助教師更好地理解自己教學(xué)設(shè)計(jì)的明確的或含蓄的意圖，防止數(shù)學(xué)教學(xué)偏離現(xiàn)實(shí)主義的正確道路。我們使用了師大版的數(shù)學(xué)，每個(gè)課題都聯(lián)系生活創(chuàng)設(shè)情境，聯(lián)系實(shí)際提出問題，一個(gè)學(xué)期下來，學(xué)生會(huì)編、會(huì)背口訣，卻不會(huì)運(yùn)用口訣解決實(shí)際問題了。如，一根跳繩3元，24元能買幾根？（問題是用情境圖呈現(xiàn)的）列式時(shí)學(xué)生就不知道 是用乘法解決

18、問題呢，還是用除法解決問題。請(qǐng)問：這是為什么？王老師：由于對(duì)張老師實(shí)施教學(xué)的過程缺乏了解，所以很難能客觀地分析產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因。不過從現(xiàn)象看，學(xué)生也許是沒有真正弄清楚乘法與除法的意義或結(jié)構(gòu)。北師大版的小學(xué)數(shù)學(xué)，是把數(shù)與數(shù)的四則運(yùn)算以及“倍”的關(guān)系，作為思維對(duì)象來處理，而不是作為概念來教學(xué)的。許多心理學(xué)家和教育學(xué)家仍把認(rèn)知發(fā)展看作概念的獲得。但弗賴登塔爾不以為然。他說，通過概念獲得的學(xué)習(xí)，這種認(rèn)識(shí)只是一種表面的認(rèn)識(shí)。 “不幸的是，教學(xué)概念看起來比純粹的教學(xué)更加尊貴，教學(xué)概念好像是創(chuàng)造了可以對(duì)所學(xué)的是什么增加了更多理解的假象?！痹谒磥?，我們得到對(duì)現(xiàn)實(shí)的把握的有效途徑，是通過結(jié)構(gòu)化而不是概念的形

19、成。他說，“對(duì)于大多數(shù)人的大多數(shù)情況來說，教與學(xué)的基本的最終目標(biāo)是思維對(duì)象。我特別喜歡這個(gè)術(shù)語，因?yàn)樗梢员煌馔瞥隽硪粋€(gè)術(shù)語，描述這些對(duì)象是如何地被掌握的，這另一個(gè)術(shù)語叫做思維操作”。通過大量的思維操作去體會(huì)和掌握乘法、除法運(yùn)算的構(gòu)成。從北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材乘法與除法起始單元的名稱“數(shù)一數(shù)與乘法”、“分一分與除法”就表明了這樣的編寫意圖。其次，可能在解決實(shí)際問題的教學(xué)中，學(xué)生也許沒有真正經(jīng)歷和體會(huì)其中的數(shù)學(xué)化過程：從“1根跳繩3元，24元能買幾根？”這個(gè)實(shí)際問題中，能提出一個(gè)什么簡單的數(shù)學(xué)問題呢？從24中能分出幾個(gè)3？或者24是3的幾倍？這兩個(gè)簡單的數(shù)學(xué)問題都揭示了實(shí)際問題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)-除

20、法結(jié)構(gòu)，進(jìn)而列出除法算式：24÷3，至此完成了橫向數(shù)學(xué)化。利用口訣求商，得到數(shù)學(xué)問題的解8，這是縱向數(shù)學(xué)化。再回到實(shí)際問題的情境，解釋和檢驗(yàn)這個(gè)抽象的解8的實(shí)際意義，做出實(shí)際問題的答案。這個(gè)過程也反映了從具體到一般，再從一般到具體的人類認(rèn)識(shí)真知的辯證的道路。我想，作為一名數(shù)學(xué)老師，應(yīng)該用“整體”“遠(yuǎn)視”的眼光關(guān)注數(shù)學(xué)的發(fā)展。    我經(jīng)常在思考：生活數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)生活化在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中具有明顯的特征和現(xiàn)實(shí)意義，可是，當(dāng)數(shù)學(xué)達(dá)到高度抽象之時(shí)（高中階段、大學(xué)階段），數(shù)學(xué)教學(xué)是否也具有同樣特征？教材呈現(xiàn)形式以及教學(xué)的策略等方面與小學(xué)階段又有什么區(qū)別？如

21、何為小學(xué)生的繼續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)？實(shí)際上，縱向和橫向要和諧發(fā)展，但是年級(jí)越高，縱向的因素可能更多一點(diǎn) ，但是也不應(yīng)該忽視橫向的隱私 因素， 橫向始終是讓我們知道數(shù)學(xué)的根源來源于現(xiàn)實(shí) ，我覺得讓孩子們知道數(shù)學(xué)的來龍去脈，更側(cè)重于橫向 但是隨著年級(jí)的深高，要逐步關(guān)注縱向數(shù)學(xué)化的成長 沒有縱向的數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)知識(shí)就像一盤散沙，缺乏系統(tǒng)化和合理化，適用性有不強(qiáng)，這是當(dāng)前課改必須克服的一個(gè)傾向 我想，是否在小學(xué)階段著重從橫向數(shù)學(xué)化切入，以此為重點(diǎn)；并逐步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行縱向數(shù)學(xué)化，到了高中，更是以縱向數(shù)學(xué)化為重點(diǎn)。 數(shù)學(xué)化，就是關(guān)注數(shù)學(xué)本原性的問題，提供適合孩子橫向數(shù)學(xué)化的情景，提供縱向數(shù)學(xué)化的工具和手段，是兩個(gè)基本原則 同時(shí)，課堂教