1、“平行四邊形、三角形和梯形的面積公式教學研究”校本教研活動方案(一朱樂平一、活動目標1.經(jīng)歷閱讀、思考、解答并與同伴交流關于平行四邊形、三角形和梯形的面積計算公式教學的相關資料與問題。2.明確化歸法的含義。能夠分清平行四邊形、三角形與梯形的面積這三個公式教學時,教學目標上的相同與不同點。3.能了解平行四邊形面積計算公式教學的不同引入方法,并對不同的引入方法的優(yōu)點與不足進行分析。4.能夠明確如何引導學生探索平行四邊形面積計算公式。二、活動時間教研活動可以分成兩個時間段,第一段是交流本方案中的問題60分鐘。然后是一個老師上課,上平行四邊形面積計算公式這節(jié)課40分鐘,評課再50分鐘。共2個半小時,可

2、以在同一個半天中,也可以分開?？梢愿鶕?jù)學校教研活動的時間和教研組老師的情況,選擇下面“活動前準備”中的一些問題進行解答與交流。三、活動前準備先讓全組數(shù)學教師解答下面的問題,并準備在小組或全數(shù)學組交流。(注:以下帶有*號表示問題有一定的難度。(一你認為“平行四邊形的面積、三角形的面積和梯形的面積計算公式”這三塊教學內容,小學生應該先學哪一塊內容?為什么?現(xiàn)行的小學數(shù)學教材中,學生學習這三塊內容的順序是怎樣的?平行四邊形、三角形和梯形這三個圖形的面積公式推導時,都運用了化歸的方法(也有人叫它是轉化的方法。(1請你寫一寫什么叫化歸法?如果你不能直接寫出化歸法的含義,那么,請你試著先舉出運用化歸法解決

3、數(shù)學問題的例子,然后再試著寫一寫什么叫做化歸法。(2請你閱讀下面的文章,閱讀完后,請在數(shù)與代數(shù)和圖形與幾何的領域中各舉一個運用化歸法解決問題的例子。如果問,數(shù)學家與其他科學家在解決問題時,在思維方法上有什么特別的地方?可能的回答是:數(shù)學家的思維方式更善于運用化歸法。有人曾對“化歸法”作過生動的比擬?！凹僭O在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴,現(xiàn)在的任務是要燒水,你應當怎樣去做?”。正確的回答是:“在水壺中放進水,點燃煤氣,再把水壺放到煤氣灶上?！苯又痔岢龅诙€問題:“假設其他的條件都不變,只是水壺中已有了足夠的水,這時你應該怎樣去做?”。對此,人們往往回答說:“點燃煤氣,再把壺放到煤氣灶上。

4、”但這并不是最好的回答,因為“只有物理學家才這樣做,而數(shù)學家則會倒去壺中的水,并且聲稱我已經(jīng)把后一問題化歸成先前的問題了?！边@個比喻固然有點夸張,但卻道出了化歸的根本特征。利用化歸法解決問題的過程可以簡單地用以下框圖表示: 又如,當我們已經(jīng)知道三角形內角和是180°后,(凸多邊形的內角和的問題可以按照下面的方法來解決。圖1如上圖1所示,因為,四邊形可以分割成兩個三角形,所以,它的內角和是2×180°=(4-2×180°因為,五邊形可以分割成三個三角形,所以,它的內角和是3×180°=(5-2×180°因為

5、,六邊形可以分割成四個三角形,所以,它的內角和是4×180°=(6-2×180°因為7邊形可以分割成5個三角形,所以,它的內角和是5×180°=(7-2×180°一般地,因為n邊形可以分割成(n-2個三角形,所以,它的內角和是(n-2×180°。從上面的分析可以知道,解決多邊形內角和問題的關鍵是把多邊形分割成(若干個三角形,這實質上已經(jīng)把原來的求多邊形內角和的問題化歸成求三角形內角和的問題。而三角形內角和的問題已經(jīng)解決,從而多邊形內角和的問題也可以解決。可以用下圖直觀的表示: 如果用三節(jié)新課分別

6、教學平行四邊形、三角形和梯形面積的計算公式,那么這三節(jié)課的教學目標有哪些相同的地方?有哪些不同的地方?大家知道,如果先學習平行四邊形的面積計算公式,那么可以用兩個完全相同的三角形或梯形拼成一個平行四邊形的方法,推導出三角形或梯形的面積計算公式,因此,這兩個面積計算公式的教學可以有不同的課時設計。以下是兩個不同的教學順序:教學順序一:(1三角形面積計算公式新課(一課時;(2三角形面積計算公式練習課(一課時;(3梯形面積計算公式新課(一課時;(4梯形面積計算公式練習課(一課時;(5三角形與梯形面積計算的綜合練習課(一課時。按照這樣的教學順序進行教學,一共安排5課時。教學順序二:(1三角形與梯形面積

7、計算公式新課(一課時;(2三角形與梯形面積的練習課(三課時;(其中第一課時重點練習三角形面積計算公式的應用,但也有梯形面積公式的應用練習;第二課時重點練習梯形面積計算公式的應用,但也有三角形面積計算公式的應用練習。第三課時是三角形與梯形面積計算公式的綜合應用練習。共安排了4課時。請你回答下面的問題:(1上面的兩種不同的教學順序你更喜歡哪一種?喜歡的主要理由是什么。(2從學生作業(yè)錯誤率的高低來看,憑你的經(jīng)驗,覺得按照順序一這樣教學,一開始的錯誤率會高還是低?大約到第幾節(jié)課時,學生的錯誤率最高?按照順序二教學,錯誤率的高低又是怎樣變化的?(3有人認為:“不能簡單地說上面的哪一種教學順序更好。而應該

8、根據(jù)對不同的學生實際,不同難度的數(shù)學教學內容來確定不同的順序?！蹦阃膺@個觀點嗎?以下的一些情況,你認為分別運用哪一種教學順序更合適?請在括號內分別寫出順序一或二。并簡要說明理由。班級學生的數(shù)學基礎相對比較弱;( 班級學生的數(shù)學基礎相對比較好;( 數(shù)學教學的內容比較抽象,學生學習的難度比較大;( 學生學習的數(shù)學內容難度比較小;( (4如果對兩個基礎差不多的班級學生,分別用上面的兩種順序進行教學,那么這兩個班的學生,在三角形與梯形的面積計算公式的理解與掌握水平上會有差異嗎?如果沒有差異,主要原因是什么?如果有,主要差異是哪些?(5*如果要運用上面的兩種不同的教學順序設計做一個對比教學實驗,那么,

9、這個實驗的主要過程是哪些?請你寫一寫。(二按照現(xiàn)行教材的編寫順序,在學習平行四邊形面積計算公式之前,學生有哪些知識和經(jīng)驗與學習這一知識密切相關?*在學生沒有學習平行四邊形面積公式之前,如果給他們一個平行四邊形的紙片,讓他們求出這個平行四邊形的面積,他們可能會運用什么樣的方法?(如果讀者感興趣,可以把了解學生學習平行四邊形的面積計算公式的起點,作為一個專題來研究,寫成專題研究文章,即通過調查,包括訪談,了解到學生的學習起點和解決問題的不同思路。一個老師在上平行四邊形面積計算公式這節(jié)課時,設計了開門見山的導入方式,上課一開始教師就在黑板上寫出:平行四邊形的面積。并問:看到這個課題,你想提出什么數(shù)學

10、問題。(學生提問。教師根據(jù)學生的提問梳理篩選出學習目標:(1什么是平行四邊形的面積?(2怎樣計算平行四邊形的面積?(3計算平行四邊形的面積有什么用處?你喜歡這樣的開頭方式嗎?你覺得這樣的設計有什么優(yōu)點?有什么不足?大家知道,在學習平行四邊形的面積計算公式之前,學生已經(jīng)學過了長方形的面積計算公式,但在長方形的面積計算公式推導中,學生并沒有學到“圖形的面積大小與高有關”這一知識點,也沒有相應的基本活動經(jīng)驗。在平行四邊形的面積計算公式推導中,學生將第一次接觸“圖形的面積與高有關”這一知識。掌握這一知識對于推導三角形和梯形的面積計算公式,顯然有著十分重要的意義。想一想,你有什么辦法可以讓學生明確平行四

11、邊形的面積大小與高有關?下面的做法是否可以使學生明確到這一點?先用硬紙板做一個平行四邊形的框架,然后拉動變形,使得變化出的平行四邊形有不同的高。拉動時,先定格在一個位置,讓學生觀察這時平行四邊形的底、高和面積等因素,再拉動定格在另一位置,讓學生觀察、想象、思考:兩個不同位置時平行四邊形的什么變了?什么沒有變?再做一個課件,在網(wǎng)格中先出示一個平行四邊形,然后慢慢的不斷變化,把變化前后的幾個平行四邊形都呈現(xiàn)出來(如下圖2,讓學生觀察、想象、思考:什么在變?什么沒有變?平行四邊形的面積大小是怎么變化的?底與高是怎樣在變化?面積的大小與什么有關? 圖2有一個老師在備平行四邊形面積教學這節(jié)課時,做了以下

12、的預設:今天我們來研究平行四邊形的面積(板書課題。這里有兩個圖形(如圖3,一個是長方形,一個是平行四邊形,請大家先測量出必要的數(shù)據(jù),再通過計算求出它們的面積。 圖3預設:第一個圖形是長方形,學生會先量出(或數(shù)出它的長是6厘米,寬是4厘米,從而計算出面積是6×4=24(平方厘米。第二個圖形是平行四邊形,學生可能會運用以下的一些方法求出它的“面積”:方法一:先量出橫的(水平的底是6厘米,斜的(傾斜的底是5厘米,從而計算出面積是6×5=30(平方厘米。這實質上是學生的猜想,這部分學生認為平行四邊形面積等于相鄰兩邊的乘積。方法二:先測量出平行四邊形相鄰兩條邊的長度(也是兩條底邊的長

13、度,分別是6厘米和5厘米,再計算出面積是(6+5×2=22(平方厘米。這是學生的又一個猜想。方法三:先畫出這個平行四邊形底邊上的高,再量出高是4厘米,底是6厘米,面積是6×4=24(平方厘米。這也是學生的一個猜想。在學生有這些猜想后,接著就是運用各種方法來驗證猜想是否正確。在上面的預設中,你覺得:(1學生有可能象方法一這樣求平行四邊形的面積嗎?(2認為平行四邊形面積等于相鄰兩邊乘積的學生數(shù)占全班的百分比大約是多少?(3學生為什么會認為:平行四邊形的面積等于相鄰兩邊的乘積呢?也就是他們產(chǎn)生這一結論的主要原因是什么?(4可以設計怎樣的教學過程,逐步引導學生自己認識到:“平行四邊

14、形面積等于相鄰兩邊的乘積”這一結論是錯誤的?適當?shù)馗倪M上面第9題的演示過程,可以讓學生明確這一點嗎?在平行四邊形面積計算公式教學時,要運用化歸的方法,把平行四邊形轉化成為已經(jīng)知道面積計算公式的長方形。這是學生第一次接觸到剪、拼轉化的方法。想一想,你可以通過怎樣的引導過程,能夠使更多的學生自己想到用這種剪、拼的方法?下面是兩個不同的引導過程,你更喜歡哪一個設計?為什么?(1整體入手的方法:教師向學生說明,下面將出示一些圖形,要求他們求出這些圖形的面積。如果圖形中有方格,那么一個小方格代表1平方厘米。 (1(2(3 (4(5(6圖4出示上圖4(1,讓學生說一說它的面積是多少?？梢杂檬裁捶椒ㄖ肋@個

15、長方形的面積。交流后得到可以用數(shù)方格(數(shù)方格法和測量出長與寬的長度再計算出面積(公式法這兩種方法。板書:數(shù)方格法:要把圖形放在網(wǎng)格中。公式法:要測量出相關線段的長度,然后運用這些長度進行計算,從而得出這個圖形的面積。出示圖4(2,讓學生說出面積是多少。并進一步明確可以用數(shù)方格法和公式法得出面積。引出剪、拼轉化的思想,討論交流:剪、拼轉化前后兩個圖形的什么變了(形狀變了,什么沒有變(面積的大小沒有變。如果要用公式法計算這個圖形的面積,需要測量出哪幾條線段的長度(或者說哪幾條線段的長度需要知道。出示圖4(3,與上述過程類似。并進一步討論出可以在不同的地方剪開,再拼。強調用剪、拼的方法轉化成已經(jīng)知道

16、面積計算公式的圖形時,要注意剪、拼前后兩個圖形的比較與分析。出示圖4(4,讓學生分別用數(shù)方格法和用剪、拼的方法得出這個平行四邊形的面積。比較剪、拼前后的兩個圖形,得出如果要用公式法計算平行四邊形面積,那么就要測量出平行四邊形的底與高,公式是：平行四邊形面積=底×高。 出示圖 4(5，讓學生想一想，要求出這個平行四邊形的面積 需要測量哪幾條線段的長度。這個圖形的面積是多少。 出示圖 4(6，與上述過程類似。要求學生自己畫出高，測 量后再求出面積。 讓學生自己在方格紙上任意畫一個平行四邊形，先用公式法 求出面積，再用數(shù)方格的方法進行驗證。 (2 局部入手的方法(數(shù)方格的方法：學生在學習長

17、方形面積計 算公式時，是先用面積單位去度量，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律得到公式的。因此， 用數(shù)方格的方法求出一個圖形的面積學生有一定的活動經(jīng)驗。 讓學生用 數(shù)方格的方法求平行四邊形的面積， 當遇到不是正好一格的時候， 就要 想辦法拼成一整格，要找到兩個(或幾個不到一整格的圖形，使這些圖 形可以拼成一整格， 即拼成一個小正方形。 這樣就會有部分學生想到把 不到一格的剪下來， 與另一個不到一格的圖形拼在一起。 在面積不變的 情況下，把不是整格的圖形轉化為整格。這可能是最容易想到用剪、拼 方法的地方，也可能是剪、拼方法產(chǎn)生的最直接原因。學生在小范圍的 部分剪、 拼中(從理論上說， 每次剪下的一塊都是可以是不足一整

18、格的， 逐步發(fā)現(xiàn)較大范圍的整體剪、拼，即可以剪下一個三角形(或梯形，再 通過兩個三角形(或梯形拼在一起，可以得到一個長方形，從而把平行 四邊形轉化成了已經(jīng)知道面積計算公式的長方形了。 這就是剪拼轉化思 想的產(chǎn)生的整個過程。具體的操作過程如下： 出示圖 5，先說明每一個小方格表示 1 平方厘米，再讓學 生數(shù)一數(shù)(用數(shù)格的方法這兩個面積各是多少平方厘米。 圖5 學生數(shù)后思考：哪一個圖形的面積容易數(shù)出？為什么？這個平行 四邊形的面積是多少？你是怎樣數(shù)的？ 交流后得出：長方形的面積容易數(shù)出，因為它都是整格的。長方 形的面積計算已經(jīng)有了公式， 只要計算長×寬就可以得到面積。 平行四 邊形的面積不容易數(shù)出， 因為有不到一整格