1、9.1平面的基本性質(zhì)(一)教學(xué)目的：1.能夠從日常生活實例中抽象出數(shù)學(xué)中所說的“平面”.2.理解平面的無限延展性.3.正確地用圖形和符號表示點、直線、平面以及它們之間的關(guān)系.4.初步掌握文字語言、圖形語言與符號語言三種語言之間的轉(zhuǎn)化.教學(xué)重點：掌握點-直線-平面間的相互關(guān)系，并會用文字-圖形-符號語言正確表示.理解平面的無限延展性.教學(xué)難點：（1）理解平面的無限延展性;（2）集合概念的符號語言的正確使用.授課類型：新授課.課時安排：1課時.教具：多媒體、實物投影儀.內(nèi)容分析：立體幾何課程是初等幾何教育的內(nèi)容之一，是在初中平面幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上開設(shè)的，以空間圖形的性質(zhì)、畫法、計算以及它們的應(yīng)用為研

2、究對象，以演繹法為研究方法.通過立體幾何的教學(xué)，使學(xué)生的認識水平從平面圖形延拓至空間圖形，完成由二維空間向三維空間的轉(zhuǎn)化，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，邏輯推理能力和分析問題、解決問題的能力.平面的概念和平面的性質(zhì)是立體幾何全部理論的基礎(chǔ).平面，是現(xiàn)實世界存在著的客觀事物形態(tài)的數(shù)學(xué)抽象，在立體幾何中是只描述而不定義的原始概念，但平面是把三維空間圖形轉(zhuǎn)化為二維平面圖形的主要媒介，在立體幾何問題平面化的過程中具有重要的橋梁作用.“立體幾何”作為一門學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)的學(xué)科，其內(nèi)容對學(xué)生來說基本上是完全陌生的，應(yīng)以“講授法的主，引導(dǎo)學(xué)生觀察和想象，吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，初步培養(yǎng)空間想象力.本課

3、是“立體幾何”的起始課，應(yīng)先把這一學(xué)科的內(nèi)容作一大概介紹，包括課本的知識結(jié)構(gòu)，“立體幾何”的研究對象，研究方法，學(xué)習(xí)立體幾何的方法和作用等.而后引入“平面”概念，以類比的方式，聯(lián)系直線的無限延伸性去理解平面的無限延展性，突破教學(xué)難點.在進行“平面的畫法”教學(xué)時，不僅要會畫水平放置的平面，還應(yīng)會畫直立的平面和相交平面（包括有部分被遮住的相交平面）.在用字母表示點、直線、平面三者間的關(guān)系時，應(yīng)指明是借用了集合語句，并用列表法將這些關(guān)系歸類，以便作為初學(xué)者的學(xué)生便于比較、記憶和運用.9.1節(jié)，平面的基本性質(zhì)共4個知識點：平面的表示法、平面的基本性質(zhì)、公理的推論、空間圖形在平面上的表示方法.這一小節(jié)是

4、整章的基礎(chǔ).通過平面基本性質(zhì)及其推論的學(xué)習(xí)使學(xué)生對平面的直觀認識上升到理性認識.教師應(yīng)該認識到培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力主要是通過對圖形性質(zhì)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對圖形的直觀認識上升到理性認識，建立空間圖形性質(zhì)的正確概念，這樣才能學(xué)好立體幾何.為了形成學(xué)生的空間觀念，這一小節(jié)通過觀察太陽(平行)光線照射物體形成影子的性質(zhì)來學(xué)習(xí)直觀圖的畫法.先直觀地了解平行射影的性質(zhì)，這樣就可正確地指導(dǎo)學(xué)生畫空間圖形.這小節(jié)教學(xué)要求是，掌握平面的基本性質(zhì)，直觀了解空間圖形在平面上的表示方法，會用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖和長方體、正方體的直觀圖.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：在初中，我們主要學(xué)習(xí)了平面圖形的性質(zhì).平面圖

5、形就是由同一平面內(nèi)的點、線所構(gòu)成的圖形.平面圖形以及我們學(xué)過的長方體、圓柱、圓錐等都是空間圖形，空間圖形就是由空間的點、線、面所構(gòu)成的圖形.當我們把研究的范圍由平面擴大到空間后，一些平面圖形的基本性質(zhì)，在空間仍然成立.例如三角形全等、相似的充要條件，平行線的傳遞性等.有些性質(zhì)在研究范圍擴大到空間后，是否仍然成立呢？例如，過直線外一點作直線的垂線是否僅有一條？到兩定點距離相等的點的集合是否僅是連結(jié)兩定點的線段的一條垂直平分線？二、講解新課：1平面的兩個特征：無限延展平的（沒有厚度）平面是沒有厚薄的，可以無限延伸，這是平面最基本的屬性.一個平面把空間分成兩部分，一條直線把平面分成兩部分.2平面的畫

6、法：通常畫平行四邊形來表示平面(1)一個平面：水平放置和直立；圖1（1）（2）（3）當平面是水平放置的時候，通常把平行四邊形的銳角畫成45，橫邊畫成鄰邊的2倍長，如圖1（1）.(2)直線與平面相交，如圖1（2）、（3），：（3）兩個相交平面：畫兩個相交平面時，若一個平面的一部分被另一個平面遮住，應(yīng)把被遮住部分的線段畫成虛線或不畫（如圖2）.3.平面的畫法及其表示方法：在立體幾何中，常用平行四邊形表示平面.當平面水平放置時，通常把平行四邊形的銳角畫成，橫邊畫成鄰邊的兩倍.畫兩個平面相交時，當一個平面的一部分被另一個平面遮住時，應(yīng)把被遮住的部分畫成虛線或不畫.一般用一個希臘字母、來表示，還可用平行

7、四邊形的對角頂點的字母來表示如平面，平面等.4.空間圖形是由點、線、面組成的.空間圖形的基本元素是點、直線、平面.從運動的觀點看，點動成線，線動成面，從而可以把直線、平面看成是點的集合，因此它們之間的關(guān)系除了用文字和圖形表示外，還可借用集合中的符號語言來表示.規(guī)定直線用兩個大寫的英文字母或一個小寫的英文字母表示，點用一個大寫的英文字母表示，而平面則用一個小寫的希臘字母表示.點、線、面的基本位置關(guān)系如下表所示：圖形符號語言文字語言（讀法）點在直線上.點不在直線上.點在平面內(nèi).點不在平面內(nèi).直線、交于點.直線在平面內(nèi).直線與平面無公共點.直線與平面交于點.平面、相交于直線.集合中“”的符號只能用于

8、點與直線，點與平面的關(guān)系，“”和“”的符號只能用于直線與直線、直線與平面、平面與平面的關(guān)系，雖然借用于集合符號，但在讀法上仍用幾何語言.（平面外的直線）表示（平面外的直線）表示或.三、講解范例：例1將下列符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言：（1），；（2），.解：說明：畫圖的順序：先畫大件（平面），再畫小件（點、線）.例2將下列文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言：（1）點在平面內(nèi)，但不在平面內(nèi)；（2）直線經(jīng)過平面外一點；（3）直線在平面內(nèi)，又在平面內(nèi).（即平面和相交于直線.）解：（1），；（2），；（3），.（即）例3在平面內(nèi)有三點，在平面內(nèi)有三點，試畫出它們的圖形.答案：右圖四、課堂練習(xí)：1判斷下列命題的真假，真的

9、打“”，假的打“×”（1）可畫一個平面，使它的長為4cm，寬為2cm( )（2）一條直線把它所在的平面分成兩部分，一個平面把空間分成兩部分( )（3）一個平面的面積為20cm2( )（4）經(jīng)過面內(nèi)任意兩點的直線，若直線上各點都在這個面內(nèi)，那么這個面是平面( )答案：（1）×（2）（3）×（4）2觀察（1）、（2）、（3）三個圖形，模型說明它們的位置關(guān)系有什么不同，并用字母表示各個平面3請將以下四圖中，看得見的部分用實線描出4如圖所示，用符號表示以下各概念：點A、B在直線a上；直線a在平面a內(nèi)；點C在平面a內(nèi)；點O不在平面a內(nèi)；直線b不在平面a內(nèi)答案：5一條直線與一

10、個平面會有幾種位置關(guān)系如圖所示，兩個平面a、b，若相交于一點，則會發(fā)生什么現(xiàn)象.幾位同學(xué)的一次野炊活動，帶去一張折疊方桌，不小心弄壞了桌腳，有一生提議可將幾根一樣長的木棍，在等高處用繩捆扎一下作桌腳（如圖所示），問至少要幾根木棍，才可能使桌面穩(wěn)定？答案：3種相交于經(jīng)過這個點的一條直線至少3根五、小結(jié)：平面的概念；平面的畫法、表示方法及兩個平面相交的畫法；點、直線、平面間基本關(guān)系的文字語言，圖形語言和符號語言之間關(guān)系的轉(zhuǎn)換.六、課后作業(yè)：.試用集合符號表示下列各語句，并畫出圖形：（1）點A在平面內(nèi)，但不在平面內(nèi)；（2）直線經(jīng)過不屬于平面的點A，且不在平面內(nèi)；（3）平面與平面相交于直線，且經(jīng)過點P

11、；（4）直線經(jīng)過平面外一點P，且與平面相交于點M.七、板書設(shè)計（略）.八、課后記：9.1平面的基本性質(zhì)(二)教學(xué)目的：1.理解公理一、三,并能運用它解決點、線共面問題.2.理解公理二,并能運用它找出兩個平面的交線及“三線共點”和“三點共線”問題.教學(xué)重點：平面基本性質(zhì)的三條公理及其作用教學(xué)難點：（1）對“有且只有一個”語句的理解（2）確定兩相交平面的交線授課類型：新授課.課時安排：1課時.教具：多媒體、實物投影儀.內(nèi)容分析：平面的基本性質(zhì)是研究空間圖形性質(zhì)的理論基礎(chǔ)，也是以后演繹推理的邏輯依據(jù)平面的基本性質(zhì)是通過三條公理及其重要推論來刻劃的，通過這些內(nèi)容的教學(xué)，使學(xué)生初步了解從具體的直觀形象到

12、嚴格的數(shù)學(xué)表述的方法，使學(xué)生的思維從直覺思維上升至分析思維，使學(xué)生的觀念逐步從平面轉(zhuǎn)向空間本課以平面基本性質(zhì)的三條公理及公理3的三個推論為主要內(nèi)容，既有學(xué)生熟悉的事實，又有學(xué)生初次接觸的證明，因此以“設(shè)問實驗歸納”法和講解法相結(jié)合的方式進行教學(xué)首先，對于平面基本性質(zhì)的三條公理，因為是“公理”，無需證明，教學(xué)中以系列設(shè)問結(jié)合模型示范引導(dǎo)學(xué)生共同思考、觀察和實驗，從而歸納出三條公理并加以驗證其中公理1應(yīng)以直線的“直”和“無限延伸”來刻劃平面的“平”和“無限延展”；公理2要抓住平面在空間的無限延展特征來講；公理3應(yīng)突出已知點的個數(shù)和位置，強調(diào)“三個點”且“不在同一直線上”通過三條公理的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的

13、觀察能力和空間觀念，加深對“有且只有一個”語句的理解對于公理3的三個推論的證明，學(xué)生是初次接觸“存在性”和“唯一性”的證明，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生以公理3為主要的推理依據(jù)進行分析，逐漸擺脫對實物模型的依賴，培養(yǎng)推理論證能力，證明過程不僅要進行口頭表述，而且教師應(yīng)進行板書，使學(xué)生熟悉證明的書寫格式和符號最后，無論定理還是推論，都要將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號語言，并且做到既不遺漏又不重復(fù)且忠于原意教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1平面的概念：平面是沒有厚薄的，可以無限延伸，這是平面最基本的屬性.常見的桌面，黑板面，平靜的水面等都是平面的局部形象.一個平面把空間分成兩部分，一條直線把平面分成兩部分.2平面的畫法及其

14、表示方法：在立體幾何中，常用平行四邊形表示平面.當平面水平放置時，通常把平行四邊形的銳角畫成，橫邊畫成鄰邊的兩倍.畫兩個平面相交時，當一個平面的一部分被另一個平面遮住時，應(yīng)把被遮住的部分畫成虛線或不畫.一般用一個希臘字母、來表示，還可用平行四邊形的對角頂點的字母來表示如平面，平面等.3空間圖形是由點、線、面組成的.點、線、面的基本位置關(guān)系如下表所示：圖形符號語言文字語言（讀法）點在直線上.點不在直線上.點在平面內(nèi).點不在平面內(nèi).直線、交于點.直線在平面內(nèi).直線與平面無公共點.直線與平面交于點.平面、相交于直線.集合中“”的符號只能用于點與直線，點與平面的關(guān)系，“”和“”的符號只能用于直線與直線

15、、直線與平面、平面與平面的關(guān)系，雖然借用于集合符號，但在讀法上仍用幾何語言或二、講解新課：1.平面的基本性質(zhì)立體幾何中有一些公理，構(gòu)成一個公理體系人們經(jīng)過長期的觀察和實踐，把平面的三條基本性質(zhì)歸納成三條公理公理1如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi).推理模式：如圖示：或者：，應(yīng)用：這條公理是判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)，也可用于驗證一個面是否是平面，如泥瓦工用直的木條刮平地面上的水泥漿判定直線在平面內(nèi)；判定點在平面內(nèi).模式：公理1說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別通過直線的“直”來刻劃平面的“平”，通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展性”，它既是判斷直線在平面內(nèi)，

16、又是檢驗平面的方法公理2如果兩個平面有一個公共點,那么它們還有其他公共點,且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線.推理模式：.如圖示：或者：，應(yīng)用：確定兩相交平面的交線位置；判定點在直線上.公理2揭示了兩個平面相交的主要特征，是判定兩平面相交的依據(jù)，提供了確定兩個平面交線的方法指出:今后所說的兩個平面(或兩條直線),如無特殊說明,均指不同的平面(直線).公理3經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.推理模式：與重合.或者：不共線，存在唯一的平面，使得.應(yīng)用：確定平面；證明兩個平面重合.“有且只有一個”的含義分兩部分理解，“有”說明圖形存在，但不唯一，“只有一個”說明圖形如果有頂多

17、只有一個，但不保證符合條件的圖形存在，“有且只有一個”既保證了圖形的存在性，又保證了圖形的唯一性在數(shù)學(xué)語言的敘述中，“確定一個”，“可以作且只能作一個”與“有且只有一個”是同義詞，因此，在證明有關(guān)這類語句的命題時，要從“存在性”和“唯一性”兩方面來論證實例:(1)門:兩個合頁,一把鎖；(2)攝像機的三角支架；(3)自行車的撐腳.公理3及其下一節(jié)要學(xué)習(xí)的三個推論是空間里確定一個平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的重要條件，這個轉(zhuǎn)化使得立體幾何的問題得以在確定的平面內(nèi)充分使用平面幾何的知識來解決，是立體幾何中解決相當一部分問題的主要的思想方法2.平面圖形與空間圖形的概念如果

18、一個圖形的所有點都在同一個平面內(nèi)，則稱這個圖形為平面圖形，否則稱為空間圖形.三、講解范例：例1求證:三角形是平面圖形.已知：三角形ABC求證：三角形ABC是平面圖形證明：三角形ABC的頂點A、B、C不共線由公理3知，存在平面使得A、B、C再由公理1知，AB、BC、CA三角形ABC上的每一個點都在同一個平面內(nèi)三角形ABC是平面圖形.例2點平面，分別是上的點，若與交于.（這樣的四邊形ABCD就叫做空間四邊形）求證：在直線上.證明：，分別屬于直線，平面，平面，同理：平面，又平面平面，所以，在直線上.四、課堂練習(xí)：1下面是一些命題的敘述語（A、B表示點，a表示直線，、表示平面）A，B，C，D，其中命題

19、和敘述方法都正確的是( )2下列推斷中，錯誤的是( )A.B.C.D，且A、B、C不共線重合.3一個平面把空間分成_部分，兩個平面把空間最多分成_部分，三個平面把空間最多分成_部分4判斷下列命題的真假，真的打“”，假的打“×”（1）空間三點可以確定一個平面( )（2）兩條直線可以確定一個平面( )（3）兩條相交直線可以確定一個平面( )（4）一條直線和一個點可以確定一個平面( )（5）三條平行直線可以確定三個平面( )（6）兩兩相交的三條直線確定一個平面( )（7）兩個平面若有不同的三個公共點，則兩個平面重合( )（8）若四點不共面，那么每三個點一定不共線( )5看圖填空（1）ACB

20、D=（2）平面AB1平面A1C1=（3）平面A1C1CA平面AC=（4）平面A1C1CA平面D1B1BD=（5）平面A1C1平面AB1平面B1C=（6）A1B1B1BB1C1=答案：1.C2.C3.2,4,84.××××××5.OA1B1OOO1B1B1五、小結(jié)：本課主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容是平面的基本性質(zhì)，三條公理中公理1用于判定直線是否在平面內(nèi)，公理2用于判定兩平面相交，公理3是確定平面的依據(jù)“確定一個平面”與“有且只有一個平面”是同義詞“有”即“存在”，“只有一個”即“唯一”所以證明有關(guān)“有且只有一個”語句的命題時，要證兩方面存在性和唯一

21、性證明的方法是反證法和同一法.六、課后作業(yè)：七、板書設(shè)計（略）.八、課后記：9.1平面的基本性質(zhì)(三)教學(xué)目的：1.理解公理三的三個推論.2.進一步掌握“點線共面”的證明方法.3將三條定理及三個推論用符號語言表述，提高幾何語言水平4通過公理3導(dǎo)出其三個推論的思考與論證培養(yǎng)邏輯推理能力教學(xué)重點：用反證法和同一法證明命題的思路教學(xué)難點：對公理3的三個推論的存在性與唯一性的證明及書寫格式授課類型：新授課.課時安排：1課時.教具：多媒體、實物投影儀.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1平面的概念：平面是沒有厚薄的，可以無限延伸，這是平面最基本的屬性.2平面的畫法及其表示方法：常用平行四邊形表示平面.通常把平行四

22、邊形的銳角畫成，橫邊畫成鄰邊的兩倍.畫兩個平面相交時，當一個平面的一部分被另一個平面遮住時，應(yīng)把被遮住的部分畫成虛線或不畫.一般用一個希臘字母、來表示，還可用平行四邊形的對角頂點的字母來表示如平面等.3空間圖形是由點、線、面組成的.點、線、面的基本位置關(guān)系如下表所示：圖形符號語言文字語言（讀法）點在直線上.點不在直線上.點在平面內(nèi).點不在平面內(nèi).直線、交于點.直線在平面內(nèi).直線與平面無公共點.直線與平面交于點.平面、相交于直線.（平面外的直線）表示或4.平面的基本性質(zhì)公理1如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi).推理模式：如圖示：應(yīng)用：是判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)

23、，也可用于驗證一個面是否是平面公理1說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別通過直線的“直”來刻劃平面的“平”，通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展性”，它既是判斷直線在平面內(nèi)，又是檢驗平面的方法公理2如果兩個平面有一個公共點,那么它們還有其他公共點,且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線.推理模式：且且唯一.如圖示：應(yīng)用：確定兩相交平面的交線位置；判定點在直線上.公理2揭示了兩個平面相交的主要特征，是判定兩平面相交的依據(jù)，提供了確定兩個平面交線的方法公理3經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.推理模式：不共線存在唯一的平面，使得.應(yīng)用：確定平面；證明兩個平面重合.“有且只有一個”的

24、含義分兩部分理解，“有”說明圖形存在，但不唯一，“只有一個”說明圖形如果有頂多只有一個，但不保證符合條件的圖形存在，“有且只有一個”既保證了圖形的存在性，又保證了圖形的唯一性在數(shù)學(xué)語言的敘述中，“確定一個”，“可以作且只能作一個”與“有且只有一個”是同義詞，因此，在證明有關(guān)這類語句的命題時，要從“存在性”和“唯一性”兩方面來論證5.平面圖形與空間圖形的概念:如果一個圖形的所有點都在同一個平面內(nèi)，則稱這個圖形為平面圖形，否則稱為空間圖形.二、講解新課：推論1經(jīng)過一條直線和直線外的一點有且只有一個平面.已知：直線，點是直線外一點.求證：過點和直線有且只有一個平面.證明：（存在性）：在直線上任取兩點

25、、，不共線由公理3，經(jīng)過不共線的三點可確定一個平面，點在平面內(nèi)，根據(jù)公理1，即平面是經(jīng)過直線和點的平面.（唯一性）：，點，由公理3，經(jīng)過不共線的三點的平面只有一個，所以，經(jīng)過和點的平面只有一個.推理模式：存在唯一的平面，使得，.推論2經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面.已知：直線.求證：過直線和直線有且只有一個平面.證明：（存在性）：在直線上任取兩點A，直線上，不共線由公理3，經(jīng)過不共線的三點可確定一個平面，點在平面內(nèi)，根據(jù)公理1，即平面是經(jīng)過直線和直線的平面.（唯一性）：，點，由公理3，經(jīng)過不共線的三點的平面只有一個，所以，經(jīng)過直線和直線的平面只有一個.推理模式：存在唯一的平面，使得.推論3經(jīng)

26、過兩條平行直線有且只有一個平面.已知：直線.求證：過直線和直線有且只有一個平面.證明：（存在性）：由平行線的定義，直線和直線在同一個平面內(nèi)，即平面是經(jīng)過直線和直線的平面.（唯一性）：取，點A,B,C不共線且，由公理3，經(jīng)過不共線的三點的平面只有一個，所以，經(jīng)過直線和直線的平面只有一個.推理模式：存在唯一的平面，使得.三、講解范例：例1兩兩相交且不過同一個點的三條直線必在同一平面內(nèi).已知：直線兩兩相交，交點分別為.求證：直線共面.證法一：直線，直線和可確定平面，即即直線共面.證法二：因為A直線BC上，所以過點A和直線BC確定平面（推論1）因為A，BBC，所以B故AB，同理AC，所以AB，AC，BC共面證法三：因為A，B，C三點不在一條直線上，所以過A，B，C三點可以確定平面因為A，B