1、1/65空氣動力學(xué)基礎(chǔ)空氣動力學(xué)基礎(chǔ)沈陽航空航天大學(xué)航空航天工程學(xué)院飛機(jī)設(shè)計(jì)教研室2014年3月2/653 3. .1 1 理想不可壓縮流體平面位流的基本方程理想不可壓縮流體平面位流的基本方程3 3. .2 2 幾種簡單的二維位流幾種簡單的二維位流3 3. .2 2. .1 1 直勻流直勻流3 3. .2 2. .2 2 點(diǎn)源點(diǎn)源3 3. .2 2. .3 3 偶極子偶極子3 3. .2 2. .4 4 點(diǎn)渦點(diǎn)渦3 3. .3 3 一些簡單的流動迭加舉例一些簡單的流動迭加舉例3 3. .3 3. .1 1 直勻流加點(diǎn)源直勻流加點(diǎn)源3 3. .3 3. .2 2 直勻流加偶極子直勻流加偶極子3

2、3. .3 3. .3 3 直勻流加偶極子加點(diǎn)渦直勻流加偶極子加點(diǎn)渦3 3. .4 4 二維對稱物體繞流的數(shù)值解二維對稱物體繞流的數(shù)值解3/65 本章討論怎樣求解不可壓理想流體無旋運(yùn)動的規(guī)律。l在理想不可壓條件下歐拉方程和連續(xù)方程包括四個(gè)在理想不可壓條件下歐拉方程和連續(xù)方程包括四個(gè)方程和四個(gè)未知函數(shù)（方程和四個(gè)未知函數(shù)（u,v,w,pu,v,w,p），理論上是可解的），理論上是可解的l由于飛行器的外形都比較復(fù)雜，要在滿足如此復(fù)雜由于飛行器的外形都比較復(fù)雜，要在滿足如此復(fù)雜的邊界條件下求該偏微分方程組的解析解是非常困的邊界條件下求該偏微分方程組的解析解是非常困難的，原因在于方程包含非線性項(xiàng)，而且

3、方程中速難的，原因在于方程包含非線性項(xiàng)，而且方程中速度與壓強(qiáng)相互耦合，需要一并求出度與壓強(qiáng)相互耦合，需要一并求出人們發(fā)現(xiàn)在人們發(fā)現(xiàn)在無旋條件無旋條件下問題可以得到大大簡化下問題可以得到大大簡化，尤其是可以將，尤其是可以將速度和壓強(qiáng)速度和壓強(qiáng)分開求解，這是因分開求解，這是因?yàn)闊o旋條件可使關(guān)于速度位的方程化為線性方為無旋條件可使關(guān)于速度位的方程化為線性方程，從而便于單獨(dú)求得速度位即求出速度，而程，從而便于單獨(dú)求得速度位即求出速度，而壓強(qiáng)可利用伯努利方程求解壓強(qiáng)可利用伯努利方程求解本章的思路是，先針對本章的思路是，先針對理想不可壓無旋流理想不可壓無旋流求得求得一些典型的速度位基本解，將這些基本解進(jìn)行

4、一些典型的速度位基本解，將這些基本解進(jìn)行疊加得到滿足非常簡單邊界條件的流動。對復(fù)疊加得到滿足非常簡單邊界條件的流動。對復(fù)雜外形的繞流，介紹用基本解進(jìn)行疊加的數(shù)值雜外形的繞流，介紹用基本解進(jìn)行疊加的數(shù)值解法大意解法大意5/65有無旋條件，就有位函數(shù) 存在，并且位函數(shù)與速度分量之間滿足：平面流動的連續(xù)方程是：結(jié)合兩式，得平面不可壓位流必須滿足的方程：該方程稱為拉普拉斯方程，是個(gè)只與速度有關(guān)的線性方程，給定適當(dāng)邊界條件方程是容易求解的。uxvy02222yx1. 位函數(shù)位函數(shù) 及流函數(shù)及流函數(shù) 所滿足的方程所滿足的方程0yvxu對于二維不可壓縮流動，微分形式的質(zhì)量方程可以寫為：對于二維不可壓縮流動，

5、微分形式的質(zhì)量方程可以寫為： 0yvxuyvxu數(shù)學(xué)上這是使數(shù)學(xué)上這是使 成為某個(gè)函數(shù)成為某個(gè)函數(shù) 的全微分的的全微分的充要條件充要條件 ，即，即 udyvdxudyvdxdvx其中：uydyydxx或：或：7/65代入無旋條件：也滿足拉普拉斯方程：這也是只與速度有關(guān)的線性方程，給定邊條容易求解。位函數(shù)與流函數(shù)的關(guān)系稱為柯西黎曼條件：xyyx,02222yxyuyv8/65拉普拉斯方程可用算子拉普拉斯方程可用算子 2 2 表為表為 2 20 0。它是。它是個(gè)線性方程，可以用疊加原理求復(fù)合的解。個(gè)線性方程，可以用疊加原理求復(fù)合的解。疊加原理疊加原理: :如果有如果有 分別滿足拉普拉斯方分別滿足拉

6、普拉斯方程，則這些函數(shù)的線性組合也必滿足拉普拉斯方程，則這些函數(shù)的線性組合也必滿足拉普拉斯方程：程：由于速度分量與位函數(shù)之間的關(guān)系是線性的因此由于速度分量與位函數(shù)之間的關(guān)系是線性的因此也滿足疊加原理：也滿足疊加原理：壓強(qiáng)與速度間關(guān)系為非線性故不滿足疊加原理壓強(qiáng)與速度間關(guān)系為非線性故不滿足疊加原理2. 2. 疊加原理疊加原理nnnnuauaxaxaxu.1111nnaa.1112,.,n 數(shù)學(xué)上滿足拉氏方程的函數(shù)稱為數(shù)學(xué)上滿足拉氏方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)。故要找。故要找一代表具體的定常不可壓理想位流運(yùn)動，就是要找一代表具體的定常不可壓理想位流運(yùn)動，就是要找一個(gè)能一個(gè)能符合具體流動邊界條件的

7、調(diào)和函數(shù)符合具體流動邊界條件的調(diào)和函數(shù)，求出位，求出位函數(shù)或流函數(shù)之后，即可求出速度分布，然后用伯函數(shù)或流函數(shù)之后，即可求出速度分布，然后用伯努利方程求解壓強(qiáng)分布。努利方程求解壓強(qiáng)分布。10/65一一速度位函數(shù)由速度位函數(shù)由無旋條件無旋條件定義，位函數(shù)值可以差任定義，位函數(shù)值可以差任意常數(shù)而不影響流動。意常數(shù)而不影響流動。二二速度位函數(shù)沿著某一方向的偏導(dǎo)數(shù)等于該方向的速度位函數(shù)沿著某一方向的偏導(dǎo)數(shù)等于該方向的速度分量，速度位函數(shù)沿著流線方向增加。速度分量，速度位函數(shù)沿著流線方向增加。三三對于對于理想不可壓縮無旋理想不可壓縮無旋流動，速度位函數(shù)滿足流動，速度位函數(shù)滿足拉拉普拉斯方程普拉斯方程，是

8、調(diào)和函數(shù)，滿足解的線性迭加原，是調(diào)和函數(shù)，滿足解的線性迭加原理。理。四四速度位函數(shù)相等的點(diǎn)連成的線稱為速度位函數(shù)相等的點(diǎn)連成的線稱為等位線等位線，速度，速度方向垂直于等位線。方向垂直于等位線。五五連接任意兩點(diǎn)的速度線積分等于該兩點(diǎn)的速度位連接任意兩點(diǎn)的速度線積分等于該兩點(diǎn)的速度位函數(shù)之差。函數(shù)之差。速度線積分與路徑無關(guān)速度線積分與路徑無關(guān)，僅決定于兩，僅決定于兩點(diǎn)的位置。對封閉曲線，速度環(huán)量為零。點(diǎn)的位置。對封閉曲線，速度環(huán)量為零。11/651. 1.流函數(shù)由平面流函數(shù)由平面不可壓縮連續(xù)條件不可壓縮連續(xù)條件定義，流函數(shù)定義，流函數(shù)值可以差任意常數(shù)而不影響流動。值可以差任意常數(shù)而不影響流動。2.

9、 2.等流函數(shù)線是流線。即等流函數(shù)線的切線方向等流函數(shù)線是流線。即等流函數(shù)線的切線方向與速度矢量方向重合。與速度矢量方向重合。3. 3.對于理想不可壓縮無旋流動，流函數(shù)滿足拉普對于理想不可壓縮無旋流動，流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)，解也滿足疊加原理。拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)，解也滿足疊加原理。4. 4.等流函數(shù)線與等位線正交。等流函數(shù)線與等位線正交。5. 5.平面內(nèi)任兩點(diǎn)流函數(shù)的差等于通過此兩點(diǎn)連線平面內(nèi)任兩點(diǎn)流函數(shù)的差等于通過此兩點(diǎn)連線的流量。的流量。平面內(nèi)任兩點(diǎn)流函數(shù)的差等于通過此兩點(diǎn)連線的流量平面內(nèi)任兩點(diǎn)流函數(shù)的差等于通過此兩點(diǎn)連線的流量等流函數(shù)線與等位線正交。等流函數(shù)線與等位線正交。

10、1KKK0:,K0:,212211故：斜率，可得由斜率，可得由vuvdyudxCuvudyvdxCABBABABAddxxdyydsnVQjdsdxidsdyn , jxiyj viuV)(xyABdsnVo 位函數(shù)位函數(shù) 和流函數(shù)和流函數(shù) 之間滿足柯西之間滿足柯西-黎曼條件：黎曼條件： 速度分量與位函數(shù)和流函數(shù)之間的關(guān)系是：速度分量與位函數(shù)和流函數(shù)之間的關(guān)系是：rrrrxyyx 標(biāo)：坐極笛卡兒坐標(biāo)：rrVrrVxyvyxur , , 標(biāo)：坐極笛卡兒坐標(biāo)：14/653.2 3.2 幾種簡單的二維位流幾種簡單的二維位流3.2.1 3.2.1 直勻流直勻流直勻流是一種速度不變的最簡單的平行流動。其

11、流速為流動是無旋的，由速度位全微分積分可得位函數(shù)：又可求出流函數(shù)： 流線與等位線是正交的如圖 bxay bdyadxdbyax cbxay cbyaxau bv 15/65常用的是這樣的直勻流，它與 x 軸平行，從左面遠(yuǎn)方流來，流速為 此時(shí)VyVxV16/653.2.2 3.2.2 點(diǎn)源點(diǎn)源u點(diǎn)源是從流場上某一點(diǎn)有一定的流量向四面八方流開去的一種流動。源可以有正負(fù)。負(fù)源（又名匯）是一種與正源流向相反的向心流動。如果把源放在坐標(biāo)原點(diǎn)上，那末這流動便只有 Vr，而沒有 V 。設(shè)半徑為設(shè)半徑為 r 處的流速是處的流速是 Vr ，那末這個(gè)源的總流量是，那末這個(gè)源的總流量是流量是常數(shù)，故流速流量是常數(shù)，

12、故流速 Vr 與半徑成反比與半徑成反比 rQVr22rQrVx、y 向的速度可分別寫為向的速度可分別寫為代入速度與位函數(shù)關(guān)系代入速度與位函數(shù)關(guān)系 可積分求位函數(shù)?？煞e分求位函數(shù)。cosrVu 22sin22rQyQyvVr rxyyvxu,rxrQ2222yxxQ比較簡便的是利用極座標(biāo)下位函數(shù)與速度的關(guān)系：比較簡便的是利用極座標(biāo)下位函數(shù)與速度的關(guān)系：rVrVr,由由 位函數(shù)由上式積分得：位函數(shù)由上式積分得：rQVrr2)ln(4ln222yxQrQ（注：等位線（注：等位線C 是一系列同心圓）是一系列同心圓）流函數(shù)由流函數(shù)由積分得：積分得：rrxyQQarctan22（注：流線（注：流線c1 即

13、即c2 是一系列射線）是一系列射線）此外注意上式中此外注意上式中的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?2-2,2,2,但反但反正切函數(shù)的值域?yàn)檎泻瘮?shù)的值域?yàn)?/2,/2,/2/2，故兩種表達(dá)，故兩種表達(dá)有一定區(qū)別。有一定區(qū)別。rQVr2xy20/65如果源的位置不在坐標(biāo)原點(diǎn)，而在 A（,）處，則22ln()()2Qxy arctan2Qyx相應(yīng)的速度分量為：相應(yīng)的速度分量為：2222()2()()()2()()QxuxxyQyvyxy除奇點(diǎn)處速度無定義之外，流除奇點(diǎn)處速度無定義之外，流場其他區(qū)域都是無旋的。場其他區(qū)域都是無旋的。21/65. p3.2.3 3.2.3 偶極子偶極子 等強(qiáng)度的一個(gè)源和一個(gè)匯，放在x

14、軸線上，源放在（-h，0）處，匯放在（0，0）處。從源出來的流量都進(jìn)入?yún)R，流動情況如圖:2222ln()ln2Qxhyxy )(221Q1arctanyxh2arctanyx 其中其中1 1 , ,2 2 分別是點(diǎn)分別是點(diǎn)P P與源和匯的連線與正與源和匯的連線與正x x的夾角的夾角 應(yīng)用疊加原理，位函數(shù)和流函數(shù)如下應(yīng)用疊加原理，位函數(shù)和流函數(shù)如下22/65現(xiàn)在我們考慮一種極限情況，當(dāng) h0 但同時(shí) Q增大，使 保持不變的極限情況。這時(shí)位函數(shù)變成顯然等位線=C是一系列圓心在 x 軸上的圓，且都過原點(diǎn)。2222202ln4),(limyxhxhyxQyxh)1ln(0( ,24220limxxxy

15、xhxQh時(shí)當(dāng)MQh222yxxM除奇點(diǎn)處速度無定義之外，流除奇點(diǎn)處速度無定義之外，流場其他區(qū)域都是是無旋的。場其他區(qū)域都是是無旋的。23/65求流函數(shù)：上述位函數(shù)可寫為:rMcosrr22yMxy 利用極座標(biāo)下流函數(shù)與位函數(shù)的關(guān)系：利用極座標(biāo)下流函數(shù)與位函數(shù)的關(guān)系：對對積分得：積分得：rMsin即：即：顯然流線顯然流線=C=C是一些圓心在是一些圓心在 y 軸上軸上的圓，且均過原點(diǎn)。的圓，且均過原點(diǎn)。2cosrM24/65兩個(gè)分速的表達(dá)式是合速要注意偶極子有軸線方向，上述布于 x 軸上的正負(fù)源形成的偶極子其軸線在x方向，對于指向正 x 方向的偶極子，上述位函數(shù)、流函數(shù)和速度分布都要改變符號。2

16、22222()cos2()M yxuMxxyr 2222(2)sin2()MxyvMyxyr 222rMvuV25/65如果偶極子軸線和 x 軸成角，正向指向第三象限如圖所示，在 xy 坐標(biāo)系中的位函數(shù)及流函數(shù)可寫為：sincossincos,xyyyxxyxxy根據(jù)二坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系：根據(jù)二坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系：2,2,2,2,yxyMyxxM26/65代入上述位函數(shù)和流函數(shù)表達(dá)，并注意到坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時(shí)向徑不代入上述位函數(shù)和流函數(shù)表達(dá)，并注意到坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時(shí)向徑不變：變：x2+y2 = x2+y2 ，得到在，得到在 (x,y) 坐標(biāo)系中的偶極子：坐標(biāo)系中的偶極子：如果偶極子位于（，），軸線和 x

17、軸成角，正向指向第三象限，則 2222sincossincosyxxyMyxyxM22()cos()sin()()xyMxy22()cos()sin()()yxMxy yxxy27/653.2.4 3.2.4 點(diǎn)渦點(diǎn)渦p點(diǎn)渦：渦所在一點(diǎn)外，整個(gè)平面流場是無旋的，流體被點(diǎn)渦誘導(dǎo)繞點(diǎn)渦作圓周運(yùn)動，流線是一些同心圓，流速只有周向速度 ，而沒有徑向速度 。繞點(diǎn)渦的環(huán)量是個(gè)確定的常數(shù)，例如繞半徑為 r 的圓環(huán)作環(huán)量計(jì)算，有：式中的 是個(gè)常數(shù)稱為點(diǎn)渦的強(qiáng)度，逆時(shí)針方向?yàn)檎?。從而周向速度與離開中心點(diǎn)的距離 r 成反比：VrVrV這與無限長渦線產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度一致。這與無限長渦線產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度一致。)2(rVr

18、V2由幾何條件可立刻寫出由幾何條件可立刻寫出 u 、 v 分量：分量：sinVu2222cosyxxrxrVvxyuvV位函數(shù)可由上式代入位函數(shù)可由上式代入 等后積分求出，但方便等后積分求出，但方便的還是利用極座標(biāo)關(guān)系：的還是利用極座標(biāo)關(guān)系：uxrVr2積分后得：積分后得：xyarctan22顯然等位線顯然等位線=C=C是是一系列射線一系列射線ryr2222yxy求流函數(shù)可由極座標(biāo)下流函數(shù)與位函數(shù)的柯西黎曼關(guān)系：求流函數(shù)可由極座標(biāo)下流函數(shù)與位函數(shù)的柯西黎曼關(guān)系：rr積分得：積分得：)ln(4ln222yxr顯然流線顯然流線 = C = C 是一系列同心圓，可見點(diǎn)渦與點(diǎn)源的位函是一系列同心圓，可

19、見點(diǎn)渦與點(diǎn)源的位函數(shù)與流函數(shù)只是對調(diào)了一下（上述負(fù)號只是代表渦轉(zhuǎn)向）。數(shù)與流函數(shù)只是對調(diào)了一下（上述負(fù)號只是代表渦轉(zhuǎn)向）。如果點(diǎn)渦的位置不在原點(diǎn)，而在（如果點(diǎn)渦的位置不在原點(diǎn)，而在（，），則點(diǎn)渦的位函），則點(diǎn)渦的位函數(shù)和流函數(shù)的式子分別是：數(shù)和流函數(shù)的式子分別是： arctan2yx22ln2xy rV230/65p事實(shí)上沿任意形狀的圍線計(jì)算環(huán)量，值都是事實(shí)上沿任意形狀的圍線計(jì)算環(huán)量，值都是 ，只要這，只要這個(gè)圍線把點(diǎn)渦包圍在內(nèi)。但不包含點(diǎn)渦在內(nèi)的圍線，其個(gè)圍線把點(diǎn)渦包圍在內(nèi)。但不包含點(diǎn)渦在內(nèi)的圍線，其環(huán)量卻是等于零的。環(huán)量卻是等于零的。)(2222222233112211IJGICDEFCD

20、ABIJGNEFCDABrrrrrrrrrr點(diǎn)渦是實(shí)際旋渦的一種數(shù)學(xué)近似。點(diǎn)渦的速度在半徑點(diǎn)渦是實(shí)際旋渦的一種數(shù)學(xué)近似。點(diǎn)渦的速度在半徑 r0 時(shí)將使時(shí)將使 V 勢必使壓強(qiáng)勢必使壓強(qiáng) p ，這是不現(xiàn)實(shí)的，這時(shí)粘性必然要起作，這是不現(xiàn)實(shí)的，這時(shí)粘性必然要起作用，因此實(shí)際的旋渦存在一個(gè)渦核，核內(nèi)流體用，因此實(shí)際的旋渦存在一個(gè)渦核，核內(nèi)流體 V與半徑成正比為有與半徑成正比為有旋流，核外為無旋流。實(shí)際渦核尺寸與粘性和渦強(qiáng)弱有關(guān)，一般不大旋流，核外為無旋流。實(shí)際渦核尺寸與粘性和渦強(qiáng)弱有關(guān)，一般不大，故數(shù)學(xué)上抽象為一個(gè)點(diǎn)，形成點(diǎn)渦模型。，故數(shù)學(xué)上抽象為一個(gè)點(diǎn)，形成點(diǎn)渦模型。bxaybyax rQln2點(diǎn)源

21、：2Q22yxxM偶極子：22yMxy 直勻流：直勻流：2點(diǎn)渦：rln2xy基本解位函數(shù)、流函數(shù)小結(jié)：基本解位函數(shù)、流函數(shù)小結(jié)：ab32/65 （1 1）直勻流）直勻流+ +點(diǎn)源點(diǎn)源（2 2）直勻流）直勻流+ +偶極子偶極子（3 3）直勻流）直勻流+ +偶極子偶極子+ +點(diǎn)渦點(diǎn)渦 在一個(gè)平行于在一個(gè)平行于 x 軸由左向右流去的直勻流里，加一個(gè)強(qiáng)軸由左向右流去的直勻流里，加一個(gè)強(qiáng)度為度為Q的源會產(chǎn)生如圖的流動的源會產(chǎn)生如圖的流動 把坐標(biāo)原點(diǎn)放在源所在的地方，迭加得到的位函數(shù)是：把坐標(biāo)原點(diǎn)放在源所在的地方，迭加得到的位函數(shù)是：22( , )lnln24QQx yV xrV xxy34/65在 x

22、軸上有一個(gè)合速度為零的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)A，令 即得駐點(diǎn) xA 坐標(biāo)為：0AAvu0Ay 兩個(gè)分速是兩個(gè)分速是此處速度為零是因?yàn)辄c(diǎn)源速度恰好與直勻流速度相互抵消。此處速度為零是因?yàn)辄c(diǎn)源速度恰好與直勻流速度相互抵消。222Qyvyxy222QxuVxxyVQxA2該速度分布的特點(diǎn)之一是該速度分布的特點(diǎn)之一是 x時(shí)時(shí)，uV，v0。35/65p我們可以把外部流動看作是在直勻流中放了一個(gè)我們可以把外部流動看作是在直勻流中放了一個(gè)BABBAB那樣那樣形狀的物體所造成的流動，反過來也可認(rèn)為繞該物體的流動形狀的物體所造成的流動，反過來也可認(rèn)為繞該物體的流動可以用直勻流加點(diǎn)源來構(gòu)造。可以用直勻流加點(diǎn)源來構(gòu)造。p該半無

23、限體在該半無限體在+x+x無限遠(yuǎn)處，其寬度（無限遠(yuǎn)處，其寬度（y y向尺寸）趨向一個(gè)漸向尺寸）趨向一個(gè)漸近值近值D D。過駐點(diǎn)過駐點(diǎn)A的流線的流線BAB是一條特殊是一條特殊的流線，把流場劃分成為兩部分的流線，把流場劃分成為兩部分。外面的是直勻流繞此圍墻的流。外面的是直勻流繞此圍墻的流動，里面的是源流在此圍墻限制動，里面的是源流在此圍墻限制之內(nèi)的流動。之內(nèi)的流動。36/65流線流線BABBAB的形狀可以根據(jù)流函數(shù)的形狀可以根據(jù)流函數(shù)=c=c 畫出來，也可以從流量關(guān)系畫出來，也可以從流量關(guān)系推算出來。由流函數(shù)表達(dá)：推算出來。由流函數(shù)表達(dá)：CQyV2 由駐點(diǎn)坐標(biāo)（由駐點(diǎn)坐標(biāo)（y=0,= =) 定常數(shù)

24、定常數(shù)c，得，得 cQ / 2 ，從而得流線，從而得流線BAB的方程為：的方程為：)(2VQy用直角坐標(biāo)表達(dá)，注意到反正切的值域?yàn)橛弥苯亲鴺?biāo)表達(dá)，注意到反正切的值域?yàn)?/2,/2,/2/2：)32(arctan)41 (arctan象限、象限、xyxy2QyV37/65 )41 ()arctan(2象限、xyVQy)32()(arctan2象限、xyVQy該流線與該流線與 y 軸交于軸交于 處，當(dāng)處，當(dāng)VQ4VQyx2時(shí)，即流線在無窮遠(yuǎn)處趨于寬度為即流線在無窮遠(yuǎn)處趨于寬度為 的直線。的直線。 VQyD2從物理上這個(gè)結(jié)果很好理解，從源流出的流量只能限制在從物理上這個(gè)結(jié)果很好理解，從源流出的流量只

25、能限制在圍線中，由速度分布知：圍線中，由速度分布知：0,vVux時(shí)，而源的流量為而源的流量為Q，以速度，以速度 V 流過時(shí)將占據(jù)寬度流過時(shí)將占據(jù)寬度 D=Q / V 另一方面，流線另一方面，流線BAB的方程：的方程：)(2VQy可寫為：可寫為：)(2sinQrV左邊是直勻流左邊是直勻流 V 流過高流過高 y =rsin的寬度的流量，右邊則的寬度的流量，右邊則是從中心角為是從中心角為 （）中流出的流量，二者相抵消，從）中流出的流量，二者相抵消，從而得流線方程的極座標(biāo)表達(dá)為而得流線方程的極座標(biāo)表達(dá)為：)(sin2Dr39/65通常將壓強(qiáng)表為無量綱的壓強(qiáng)系數(shù)，其定義是當(dāng)?shù)仂o壓通常將壓強(qiáng)表為無量綱的壓

26、強(qiáng)系數(shù)，其定義是當(dāng)?shù)仂o壓減去來流靜壓再除以來流的動壓頭（這樣得到的結(jié)果與減去來流靜壓再除以來流的動壓頭（這樣得到的結(jié)果與來流參數(shù)具體值來流參數(shù)具體值 p p 、V V 無關(guān)，具有通用性）：無關(guān)，具有通用性）：221VppCp)(22222vuVpp 流場上的壓強(qiáng)可以用伯努利公式表達(dá)出來：流場上的壓強(qiáng)可以用伯努利公式表達(dá)出來： 得到表面壓強(qiáng)系數(shù)的表達(dá)為得到表面壓強(qiáng)系數(shù)的表達(dá)為：面面2222211VVVvuCp40/65將速度分布和表面流線幾何關(guān)系代入上式得到表面壓強(qiáng)系數(shù)將速度分布和表面流線幾何關(guān)系代入上式得到表面壓強(qiáng)系數(shù)的結(jié)果為的結(jié)果為：Cp 沿沿 x 軸分布的曲線特點(diǎn)如圖軸分布的曲線特點(diǎn)如圖：

27、面2221VvuCp2sin2sin41/653.3.2 3.3.2 直勻流加偶極子直勻流加偶極子封閉的物形封閉的物形l設(shè)直勻流設(shè)直勻流 平行于平行于 x x 軸，由左向右流。再把一軸，由左向右流。再把一個(gè)軸線指向負(fù)個(gè)軸線指向負(fù) x x 的偶極子放在坐標(biāo)原點(diǎn)處。這時(shí)，將產(chǎn)的偶極子放在坐標(biāo)原點(diǎn)處。這時(shí)，將產(chǎn)生如圖繞圓的流動：生如圖繞圓的流動：V 流函數(shù)是：流函數(shù)是：22yxyMyV 流動的位函數(shù)是：流動的位函數(shù)是：22yxxMxV42/65圓的半徑可從駐點(diǎn)圓的半徑可從駐點(diǎn)A A的坐標(biāo)定出，令：的坐標(biāo)定出，令：22220AAMMxVxrrsin2rarV解得：解得：從而位函數(shù)和流函數(shù)分別寫為：從而

28、位函數(shù)和流函數(shù)分別寫為：cos222rarVxraxV22/:ArM Va2MV a43/65 =0 是一條特殊的流線，這時(shí)是一條特殊的流線，這時(shí) sin=0 ，即，即 或或 ，這就是這就是 x 軸線，還有圓表面：軸線，還有圓表面：r =a。00兩個(gè)分速的式子是：兩個(gè)分速的式子是：2sin2cos12222raVyvraVxu用在用在 的圓上時(shí)，有：的圓上時(shí)，有：ar 2sin)2cos1 (VvVu44/65將上述速度分布代入壓強(qiáng)系數(shù)可得：將上述速度分布代入壓強(qiáng)系數(shù)可得：222221sin411VVVppCp該壓強(qiáng)系數(shù)的分布特點(diǎn)如圖：該壓強(qiáng)系數(shù)的分布特點(diǎn)如圖：繞圓流動在表面上只有周向速度，沒

29、有徑向速度：繞圓流動在表面上只有周向速度，沒有徑向速度：sin2022VvuVvvr可見在可見在/2 /2 處處速度達(dá)到最大為速度達(dá)到最大為 2V 。45/65xy3.3.3 3.3.3 直勻流加偶極子加點(diǎn)渦直勻流加偶極子加點(diǎn)渦在直勻流加偶極子的流動之上再在圓心處加一個(gè)強(qiáng)度為在直勻流加偶極子的流動之上再在圓心處加一個(gè)強(qiáng)度為（ ）的點(diǎn)渦（順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)），將形成如下圖的流）的點(diǎn)渦（順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)），將形成如下圖的流動動 這時(shí)位函數(shù)和流函數(shù)分別是：這時(shí)位函數(shù)和流函數(shù)分別是：2( ,)12ax yVxr2( ,)1ln2ax yVyrr46/65在極坐標(biāo)下，兩個(gè)分速是： 仍是一條流線。在這個(gè)圓上：仍是一

30、條流線。在這個(gè)圓上：ar 可見由于引入環(huán)量可見由于引入環(huán)量，在，在/ /2 2 處的最大處的最大速度將大于速度將大于 2V 。221cosravVrr2211sin2avVrrr 0rv 2sin2vVa 47/65ayss1sin224sssyaxVy0V或?qū)懗鲴v點(diǎn)的直角坐標(biāo)表達(dá)：或?qū)懗鲴v點(diǎn)的直角坐標(biāo)表達(dá)： 駐點(diǎn)的位置現(xiàn)在不在駐點(diǎn)的位置現(xiàn)在不在= =和和=0=0處了，其位置處了，其位置可從可從 定出來：定出來：aVs4sinxy s在第三和第四象限內(nèi)，前后駐點(diǎn)對在第三和第四象限內(nèi)，前后駐點(diǎn)對 y 軸是對稱的。這軸是對稱的。這個(gè)角度離開個(gè)角度離開和和0 的多少決定于環(huán)量的多少決定于環(huán)量 對對

31、4aV 之比值；之比值； 越大，駐點(diǎn)越往下移。越大，駐點(diǎn)越往下移。 當(dāng)點(diǎn)渦強(qiáng)度變大到當(dāng)點(diǎn)渦強(qiáng)度變大到 = 4= 4aV V 時(shí)，時(shí)，s = /2 /2 ，二，二個(gè)個(gè)駐點(diǎn)在駐點(diǎn)在/2/2處重合。處重合。 當(dāng)點(diǎn)渦強(qiáng)度進(jìn)一步增大使當(dāng)點(diǎn)渦強(qiáng)度進(jìn)一步增大使 4 4aV V 時(shí)，駐點(diǎn)將離時(shí)，駐點(diǎn)將離開圓柱表面，且位于圓柱之下。開圓柱表面，且位于圓柱之下。aVs4sinxy下圖給出幾種不同點(diǎn)渦強(qiáng)度下駐點(diǎn)位置圖畫：下圖給出幾種不同點(diǎn)渦強(qiáng)度下駐點(diǎn)位置圖畫：顯然，有環(huán)量的繞圓流動其左右仍是對稱的，但上下已不顯然，有環(huán)量的繞圓流動其左右仍是對稱的，但上下已不對稱了，因此在垂直于來流的對稱了，因此在垂直于來流的 y

32、方向合力就不會為零。方向合力就不會為零。垂直于來流方向的空氣動力分力稱為升力，可以通過沿圓垂直于來流方向的空氣動力分力稱為升力，可以通過沿圓柱表面壓強(qiáng)積分（利用伯努利方程將壓強(qiáng)表為速度分布后柱表面壓強(qiáng)積分（利用伯努利方程將壓強(qiáng)表為速度分布后積分求得），或者利用動量方程求出合力。積分求得），或者利用動量方程求出合力。50/65 3.3.4 3.3.4 庫塔庫塔- -儒可夫斯基定理儒可夫斯基定理注意這兩條割線上的壓力和動量注意這兩條割線上的壓力和動量進(jìn)出都對消了。進(jìn)出都對消了。S1 上的壓力積分是物體所受的合上的壓力積分是物體所受的合力。受力情況左右對稱，不會有力。受力情況左右對稱，不會有X 方方

33、向合力。僅計(jì)算向合力。僅計(jì)算 Y 方向合力方向合力 L 即可。即可。設(shè)徹體力略去不計(jì)、流動定常，根據(jù)動量方程圓柱所受到設(shè)徹體力略去不計(jì)、流動定常，根據(jù)動量方程圓柱所受到的升力的升力 L 可表為：可表為：dSVvdSynpLSsn)()(),cos(下面從動量定理出發(fā)計(jì)算繞圓柱的有環(huán)量流動的升力。下面從動量定理出發(fā)計(jì)算繞圓柱的有環(huán)量流動的升力。以原點(diǎn)為中心，畫一個(gè)半徑為以原點(diǎn)為中心，畫一個(gè)半徑為 r r1 1 很大的控制面很大的控制面 S S，整個(gè)控制，整個(gè)控制面還包括圓的表面面還包括圓的表面 S S1 1 以及連接以及連接 S S 和和 S S1 1 的兩條割線。的兩條割線。51/65第一個(gè)積

34、分中的 p 按伯努利公式用速度來表達(dá)，結(jié)果得： sin),cos(yn2222112sin2dVvrdprLr 在在 r1 大圓上，大圓上， ，drdS1第二個(gè)積分得：第二個(gè)積分得： 22/2222/21111sin12VaadVrr 212212122121121cos2cos2sin1222raVdrraVraVr52/65結(jié)果與 r1大小無關(guān)，總之合力 L 等于來流的密度乘速度 V 再乘以環(huán)量 。方向等于把直勻流的指向逆著環(huán)流轉(zhuǎn)/2，稱為升力，該結(jié)果稱為庫塔-儒可夫斯基升力定理。VraraVL2122121121所以所以: VL考慮到速度、環(huán)量和升力之間的向量關(guān)考慮到速度、環(huán)量和升力之間

35、的向量關(guān)系，升力定理可寫為：系，升力定理可寫為：VL 只要是封閉物體，代表其作用的正負(fù)源強(qiáng)度總和必須等只要是封閉物體，代表其作用的正負(fù)源強(qiáng)度總和必須等于零，在遠(yuǎn)離物體的地方其作用和一個(gè)偶極子沒有什么區(qū)別于零，在遠(yuǎn)離物體的地方其作用和一個(gè)偶極子沒有什么區(qū)別,說明物形對升力沒有直接的關(guān)系，關(guān)鍵在于必須有繞物體的說明物形對升力沒有直接的關(guān)系，關(guān)鍵在于必須有繞物體的環(huán)量存在。有了環(huán)量又有一個(gè)直勻流，便有了升力。環(huán)量存在。有了環(huán)量又有一個(gè)直勻流，便有了升力。53/65 環(huán)量之所以能產(chǎn)生一個(gè) Y 向的合力，也可以從圓柱體上的壓力分布直接看到。其中有環(huán)量和無環(huán)量繞流情況作了對比。無環(huán)量時(shí)，上半圓（由至0）上

36、的壓力分布和下半圓（由至2）上的壓力分布對稱，結(jié)果是合力為零。有環(huán)量時(shí)，上半圓上的負(fù)壓遠(yuǎn)有環(huán)量時(shí)，上半圓上的負(fù)壓遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過下半圓上的負(fù)壓，所以遠(yuǎn)超過下半圓上的負(fù)壓，所以有一個(gè)向上的合力，即升力。有一個(gè)向上的合力，即升力。這個(gè)力的來源主要靠上半圓上這個(gè)力的來源主要靠上半圓上的吸力。的吸力。u機(jī)翼的特殊形狀使它不用旋轉(zhuǎn)就能產(chǎn)生環(huán)量，上部機(jī)翼的特殊形狀使它不用旋轉(zhuǎn)就能產(chǎn)生環(huán)量，上部流速加快形成吸力，下部流速減慢形成壓力。流速加快形成吸力，下部流速減慢形成壓力。u足球中的弧線球現(xiàn)象就是環(huán)量產(chǎn)生升力的例子之一足球中的弧線球現(xiàn)象就是環(huán)量產(chǎn)生升力的例子之一55/653.4 3.4 二維對稱物體繞流的數(shù)值解二維

37、對稱物體繞流的數(shù)值解l下面用解二維對稱物體繞流的例子來說明奇點(diǎn)疊加數(shù)值解法的應(yīng)用。無迎角的對稱物體沒有升力，根據(jù)上述分析和演示，提示我們把直勻流和分布的偶極子（或總強(qiáng)度為零的分布的點(diǎn)源和點(diǎn)匯，無環(huán)量）疊加起來，得到組合流動對稱封閉物體繞流。 l設(shè)直勻流速度為 V ，在 x 軸上(a,b) 范圍內(nèi)，連續(xù)分布單位長度內(nèi)強(qiáng)度設(shè)為 m（x）的偶極子。稱為偶極子密度。l該組合流動對任一空間點(diǎn) p(x,y) 處的流函數(shù)為： 22bamyV ydxy56/65u對這種無升力物體的外形可以用零流線來表示，改變不同的偶極子密度分布，可以獲得不同形狀的封閉物體。u由流函數(shù)與速度的關(guān)系確定速度分布，由速度與壓強(qiáng)的關(guān)

38、系即伯努利方程確定壓強(qiáng)分布 。 對于實(shí)際問題，往往是給定物體的外形來確定其流動的對于實(shí)際問題，往往是給定物體的外形來確定其流動的特性。特性。 待求方程是一個(gè)積分方程，求它的解是比較困難的，但待求方程是一個(gè)積分方程，求它的解是比較困難的，但是隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，可以用數(shù)值方法比較迅速地是隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，可以用數(shù)值方法比較迅速地獲得這種方程的有一定準(zhǔn)確度的數(shù)值解。獲得這種方程的有一定準(zhǔn)確度的數(shù)值解。57/651.首先，我們把偶極子分布區(qū)域分成等寬度的 n 段，設(shè)每段的寬度為，段數(shù) n 可根據(jù)計(jì)算機(jī)容量及結(jié)果的準(zhǔn)確度要求而確定。2.某一定點(diǎn) P(x,y) 處流函數(shù)為： 式中 為第 j 段的中

39、點(diǎn)離原點(diǎn)的距離； 為第 j段內(nèi)偶極子密度的平均值； 表示第 j 段內(nèi)偶極子的強(qiáng)度。二維對稱物體繞流數(shù)值解法步驟二維對稱物體繞流數(shù)值解法步驟jjmjm221njjjmyV yxy58/653.用物面邊界條件來確定待求的偶極子密度（現(xiàn)在即物面為零流線，滿足0），對于給定物體外形上的 n 個(gè)已知點(diǎn)（xi，yi），就可以得到一個(gè)對未知函數(shù)的 n 元一次聯(lián)立代數(shù)方程組： 其中 Cij 為影響系數(shù)，表示 處的單位偶極子密度對物體表面某點(diǎn) Pi (xi，yi) 處的流函數(shù)的貢獻(xiàn)。22ijiiijyxyCni,2,1j10niiijjjV yC m59/654.展開上式，即 利用解一次方程組的各種計(jì)算方法，求

40、解上面方程組，確定偶極子密度 mj。 5. 一旦解得所給定物體外形的偶極子密度分布，則可確定一旦解得所給定物體外形的偶極子密度分布，則可確定流場內(nèi)任意點(diǎn)處的流函數(shù)，此后可由流函數(shù)與速度的關(guān)流場內(nèi)任意點(diǎn)處的流函數(shù)，此后可由流函數(shù)與速度的關(guān)系及伯努利方程，確定流場內(nèi)各點(diǎn)處的速度及壓強(qiáng)值。系及伯努利方程，確定流場內(nèi)各點(diǎn)處的速度及壓強(qiáng)值。11212111yvmCmCmCnn22222121yvmCmCmCnnnnnnnnyvmCmCmC2211VVV60/65 在上述過程中，我們實(shí)際上是把第在上述過程中，我們實(shí)際上是把第 j 段中分布的偶極子用段中分布的偶極子用集中在該段中點(diǎn)處的等強(qiáng)度的偶極子來代替了。顯然，集中在該段中點(diǎn)處的等強(qiáng)度的偶極子來代替了。顯然，如果分段數(shù)量較多，這種近似表示才有一定的準(zhǔn)確性。如果分段數(shù)量較多，這種近似表示才有一定的準(zhǔn)確性。理論上，當(dāng)段數(shù)理論上，當(dāng)段數(shù) n 趨于無限大時(shí)，偶極子密度分布的