1、 4 多元函數(shù)微分學(xué)的圖形，該函數(shù)8 (0,0)( , 0 (0,0)( 2222x,yx,y,yx)yx(xy)y,x(f1(0,0) xyf1(0,0) yxf 二元函數(shù)而1 二重極限存在的例子2 二重極限不存在的例子 3 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 含復(fù)習(xí)一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)4 全微分的幾何意義 含復(fù)習(xí)一元函數(shù)微分5 方向?qū)?shù) 6 七框圖 7 多元函數(shù)的極值 oxy1z = x2 + y2 + 1y=kx在平面上的在平面上的(0,0)點(diǎn)處點(diǎn)處1)1(lim2200 yxyx.)00()(,x,y以以任任何何方方式式例如：例如：)00()( ,x,ykxy 沿沿z(和的極限等于極限的和和的極限等于極限的和)

2、1. 1. 二重極限存在的例子二重極限存在的例子都有都有 z 1有有 z 1有有故：在故：在xoy平面上平面上點(diǎn)點(diǎn).oxy 22yxxyz kxyy,xP 沿沿直直線線點(diǎn)點(diǎn) )() )不不存存在在故故y,xfyx(lim 2200limyxxykxyxzay= x21kk ) )時(shí)時(shí)，有有 ,(.那么，曲面在點(diǎn)那么，曲面在點(diǎn)(0,0)附近附近的形狀是怎樣的呢的形狀是怎樣的呢?曲面與曲面與z軸無交點(diǎn)軸無交點(diǎn);曲面關(guān)于平面曲面關(guān)于平面 y=x對(duì)稱；對(duì)稱；曲面關(guān)于平面曲面關(guān)于平面 y= x對(duì)稱；對(duì)稱；y= x)0 ,0(),( yx2. 2. 二重極限不存在的例子二重極限不存在的例子oxy)0 ,0

3、(),( , 22 yxyxxyzy=xza.D.那么，曲面在點(diǎn)那么，曲面在點(diǎn)(0,0)附近附近的形狀是怎樣的呢的形狀是怎樣的呢?曲面與曲面與z軸無交點(diǎn)軸無交點(diǎn);曲面關(guān)于平面曲面關(guān)于平面 y=x對(duì)稱；對(duì)稱；曲面關(guān)于平面曲面關(guān)于平面 y= x對(duì)稱；對(duì)稱；y = 0kxyy,xP 沿沿直直線線點(diǎn)點(diǎn) )() )不不存存在在故故y,xfyx(lim 2200limyxxykxyx21kk ) )時(shí)時(shí)，有有 ,(2. 2. 二重極限不存在的例子二重極限不存在的例子.oxy)0 ,0(),( , 22 yxyxxyzy=kxy=x21za.D.那么，曲面在點(diǎn)那么，曲面在點(diǎn)(0,0)附近附近的形狀是怎樣的呢

4、的形狀是怎樣的呢?曲面與曲面與z軸無交點(diǎn)軸無交點(diǎn);曲面關(guān)于平面曲面關(guān)于平面 y=x對(duì)稱；對(duì)稱；曲面關(guān)于平面曲面關(guān)于平面 y= x對(duì)稱；對(duì)稱；y = 0.kxyy,xP 沿沿直直線線點(diǎn)點(diǎn) )() )不不存存在在故故y,xfyx(lim 2200limyxxykxyx21kk ) )時(shí)時(shí)，有有 ,(2. 2. 二重極限不存在的例子二重極限不存在的例子.oxy)0 ,0(),( , 22 yxyxxyzy=kxy=x21kk 21zay= x21 .D.那么，曲面在點(diǎn)那么，曲面在點(diǎn)(0,0)附近附近的形狀是怎樣的呢的形狀是怎樣的呢?曲面與曲面與z軸無交點(diǎn)軸無交點(diǎn);曲面關(guān)于平面曲面關(guān)于平面 y=x對(duì)稱

5、；對(duì)稱；曲面關(guān)于平面曲面關(guān)于平面 y= x對(duì)稱；對(duì)稱；.y = 0.kxyy,xP 沿沿直直線線點(diǎn)點(diǎn) )() )不不存存在在故故y,xfyx(lim 2200limyxxykxyx21kk ) )時(shí)時(shí)，有有 ,(2. 2. 二重極限不存在的例子二重極限不存在的例子.oxy)0 ,0(),( , 22 yxyxxyzy=kxy=x21kk 21zay= x21 .D.那么，曲面在點(diǎn)那么，曲面在點(diǎn)(0,0)附近附近的形狀是怎樣的呢的形狀是怎樣的呢?曲面與曲面與z軸無交點(diǎn)軸無交點(diǎn);y = 0曲面關(guān)于平面曲面關(guān)于平面 y=x對(duì)稱；對(duì)稱；曲面關(guān)于平面曲面關(guān)于平面 y= x對(duì)稱；對(duì)稱；.但曲面無限逼近但曲

6、面無限逼近z軸軸kxyy,xP 沿沿直直線線點(diǎn)點(diǎn) )() )不不存存在在故故y,xfyx(lim 2200limyxxykxyx21kk ) )時(shí)時(shí)，有有 ,(2. 2. 二重極限不存在的例子二重極限不存在的例子.xz y0 ),( yxfz Mxz xyxfyxxfx ),(),(lim00000 Mxz 由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：z= f (x,y) 0),(yyyxfzL：L得得曲曲線線= tan3. 3. 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義.y =y0)( y,x? Myz同理，同理，.MTx固定固定 y =y0復(fù)習(xí)一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)M ),( yxfz Myz yy

7、,xfyy,xfy )()(lim z= f (x,y)L)( y,xx =x0固定固定 x =x0Tx3. 3. 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義.xz y0M ),( yxfz Myz yy,xfyy,xfy )()(lim Myz 由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：z= f (x,y) xxy,xfz)(L得得曲曲線線= tan.)( y,xx =x0固定固定 x =x0Tx Ty3. 3. 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義.xz y00zz xz y0 ),( yxfz PQMN x yAB),(000zyxM),(000zzyyxxN dz=AB : 切面立標(biāo)的切面

8、立標(biāo)的增量增量z= f (x ,y)(d yxzz z =AN ：曲面立標(biāo)的增量：曲面立標(biāo)的增量過點(diǎn)過點(diǎn)M的切平面：的切平面：)(,()(,(000000yyyxfxxyxfyx 即：即：dz z=AB+BN0 zz 0)(0 zzyyxfxyxfyx ),(),(0000)( .dz=AB用切面立標(biāo)的增量近似曲面立標(biāo)的增量用切面立標(biāo)的增量近似曲面立標(biāo)的增量 很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)y,x zdz4. 4. 全微分的幾何意義全微分的幾何意義復(fù)習(xí)一元函數(shù)微分xz y0 l y x zzlzPlim0 PPz = f (x,y) x y )()(lim y,xfyy,xxfQPfPf)()(lim0 M

9、是曲面在是曲面在點(diǎn)點(diǎn)P處沿方向處沿方向l 的變化率，的變化率，即半切線即半切線Plz MN方向?qū)?shù)方向?qū)?shù).5. 5. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)的斜率的斜率N將二元函數(shù)將二元函數(shù)z = f(x , y)z = f(x , y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x , y)(x , y)的以下七個(gè)命題填入框的以下七個(gè)命題填入框圖：圖： （1 1有定義有定義 （2 2有極限有極限 （3 3連續(xù)連續(xù) （4 4偏導(dǎo)存在偏導(dǎo)存在 （5 5方向?qū)?shù)存在方向?qū)?shù)存在 （6 6偏導(dǎo)連續(xù)偏導(dǎo)連續(xù) （7 7可微可微（6）（7）（3）（4）（5）（1）（2）6. 6. 七框圖七框圖問題：箭頭是否可逆？問題：箭頭是否可逆？ 不可逆的試舉出反例。不可

10、逆的試舉出反例。 ABCDz=f(x,y)f 在頂點(diǎn)在頂點(diǎn)A、B、C、D處有極大值處有極大值xz 0y7. 7. 多元函數(shù)的極值廣義的定義）多元函數(shù)的極值廣義的定義）ABCDz=f(x,y)f 在點(diǎn)在點(diǎn)D處有極大值處有極大值D是尖點(diǎn)，是尖點(diǎn)，xz 0y7. 7. 多元函數(shù)的極值廣義的定義）多元函數(shù)的極值廣義的定義）.z=f(x,y)xz 0yADSS是是/ xoy面的平面區(qū)域或平面曲線面的平面區(qū)域或平面曲線,Cf 在在S的每一點(diǎn)處有極大值嗎？的每一點(diǎn)處有極大值嗎？用以下廣義的定義逐點(diǎn)判別用以下廣義的定義逐點(diǎn)判別7. 7. 多元函數(shù)的極值廣義的定義）多元函數(shù)的極值廣義的定義）.二二元元函函數(shù)數(shù)

11、(0,0)( , 0 (0,0)( ,)( ),(2222x,yx,yyxyxxyyxf1)0 , 0( xyfxyz1)0 , 0( yxf.該函數(shù)在原點(diǎn)處連續(xù)，但有該函數(shù)在原點(diǎn)處連續(xù)，但有o？問題：曲面在點(diǎn)問題：曲面在點(diǎn)(0,0)附近附近的形狀是怎樣的呢的形狀是怎樣的呢對(duì)對(duì)稱稱, ,曲曲面面關(guān)關(guān)于于直直線線 0 zxy.8.曲面關(guān)于曲面關(guān)于x軸對(duì)稱，軸對(duì)稱，在在Dxy:122 yx上考慮上考慮曲面過曲面過x軸軸 ，過，過y軸軸曲面關(guān)于曲面關(guān)于y軸對(duì)稱軸對(duì)稱對(duì)對(duì)稱稱關(guān)關(guān)于于直直線線 0 zxy.y = f (x)xy0M0 x)(0 xf8 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義處切線的斜率處切線的斜率 表示曲線在點(diǎn)表示曲線在點(diǎn) xxf)(.xyx0lim )(0 xf = tan y = f (x)復(fù)