1、2015 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù)學文一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分 . 在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的 .1. 設集合 A=x|-1 x 2 ，集合A. x|-1 x 3B. x|-1 x 1B=x|1 x 3 ，則AB=()C. x|1 x 2D. x|2 x 3解析：集合A=x|-1 x 2 ，集合 B=x|1 x3 ，則 AB=x| -1 x3.故選： A.2. 設向量=(2 ， 4) 與向量=(x ， 6) 共線，則實數(shù)x=()A. 2B. 3C. 4D. 6解析：因為向量=(2 ，4) 與向量=(x ， 6) 共

2、線，所以 4x=2×6，解得x=3；故選： B.3. 某學校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學生視力是否存在顯著差異，擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學生進行調(diào)查，則最合理的抽樣方法是()A.抽簽法B. 系統(tǒng)抽樣法C. 分層抽樣法D. 隨機數(shù)法解析：我們常用的抽樣方法有：簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，而事先已經(jīng)了解到三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學生視力是否存在顯著差異，這種方式具有代表性，比較合理 .故選： C.4. 設 a， b 為正實數(shù)，則“ a b1”是“ log 2a log 2b0”的 ()A. 充要條件B. 充分不必要條件C. 必要不充分條件

3、D. 既不充分也不必要條件解析：若log 2a log 2b0，則 a b 1，故“ a b1”是“ log 2a log 2b 0”的充要條件，故選： A.5. 下列函數(shù)中，最小正周期為 且圖象關于原點對稱的函數(shù)是()A. y=cos(2x+)B. y=sin(2x+)C. y=sin2x+cos2xD. y=sinx+cosx解析：y=cos(2x+)=-sin2x，是奇函數(shù)，函數(shù)的周期為： ，滿足題意，所以A 正確y=sin(2x+)=cos2x ，函數(shù)是偶函數(shù)，周期為： ，不滿足題意，所以B不正確；y=sin2x+cos2x=sin(2x+) ，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為 ，所以 C

4、不正確；y=sinx+cosx=sin(x+) ，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為2，所以 D不正確；故選：A.6. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出s 的值為 ()A. -B.C. -D.解析：模擬執(zhí)行程序框圖，可得k=1k=2不滿足條件k 4， k=3不滿足條件k 4， k=4不滿足條件k 4， k=5滿足條件k 4， S=sin= ，輸出 S的值為.故選： D.7. 過雙曲線x2-=1 的右焦點且與x 軸垂直的直線， 交該雙曲線的兩條漸近線于A、B 兩點，則|AB|=()A.B. 2C. 6D. 4解析：雙曲線x2-=1 的右焦點 (2 ， 0) ，漸近線方程為y=，2過雙曲線x -=1 的右焦點

5、且與x 軸垂直的直線，x=2，可得 yA=2， yB=-2，|AB|=4.故選： D.8. 某食品保鮮時間y( 單位：小時 ) 與儲藏溫度為自然對數(shù)的底數(shù)，k， b 為常數(shù) ). 若該食品在x( 單位： ) 滿足函數(shù)關系y=ekx+b0的保鮮時間是192 小時，在( e=2.718 22的保鮮時間是 48 小時，則該食品在33的保鮮時間是()A. 16 小時B. 20 小時C. 24 小時D. 28 小時解析： y=ekx+b ( e=2.718 為自然對數(shù)的底數(shù)，k， b 為常數(shù) ).當 x=0 時， eb=192，當 x=22 時 e22k+b =48，16ke =e11k =eb=192

6、當 x=33 時， e33k+b =(e k ) 33 · (e b)=() 3×192=24故選： C9. 設實數(shù) x， y 滿足，則 xy 的最大值為 ()A.B.C. 12D. 16解析：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖；則動點 P 在 BC上運動時， xy 取得最大值，此時 2x+y=10，則 xy=，當且僅當2x=y=5 ，即x=， y=5時，取等號，故xy的最大值為，故選：A10. 設直線 l 與拋物線 y2=4x 相交于 A、B 兩點，與圓 (x-5) 2+y 2=r 2(r 0) 相切于點線段 AB的中點，若這樣的直線l 恰有 4 條，則 r 的取值范圍是()

7、M，且M為A. ( 1，3)B. ( 1，4)C.( 2，3)D.( 2，4)解析：設A(x 1， y1) ， B(x 2， y2) ， M(x0，y0 ) ，則斜率存在時，設斜率為22=4x2，利用點差法可得ky 0=2，k，則 y1=4x1， y2因為直線與圓相切，所以，所以 x =3，0即 M的軌跡是直線x=3，代入拋物線方程可得y=±2，所以交點與圓心(5 ， 0) 的距離為4，所以 2 r 4 時，直線 l 有 2條；斜率不存在時，直線l 有 2 條；所以直線 l 恰有 4條， 2 r 4，故選： D.二、填空題：本大題共5 小題，每小題5 分，共 25 分.11. 設 i

8、 是虛數(shù)單位，則復數(shù) i- =_.解析：復數(shù)i-=i-=i+i=2i.故答案為： 2i.12. lg0.01+log216 的值是 _.解析： lg0.01+log216=-2+4=2.故答案為： 2.13. 已知 sin +2cos =0，則 2sin cos -cos 2 的值是 _.解析： sin +2cos =0，即 sin =-2cos ， tan =-2 ，則原式=，故答案為： -114. 在三棱住ABC-A1B1C1 中， BAC=90°，其正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1 的正方形，俯視圖是直角邊長為1 的等腰直角三角形，設M， N， P 分別是 AB， BC， B1C1

9、的中點，則三棱錐P-AMN的體積是 _.解析：判斷三視圖對應的幾何體的形狀，畫出圖形，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求解三棱錐P-AMN的體積即可 .答案： 由三視圖可知， 可知幾何體的圖形如圖：幾何體是底面為等腰直角三角形直角邊長為1，高為 1 的直三棱柱，所求三棱錐的高為NP=1，底面 AMN的面積是底面三角形ABC的，所求三棱錐P-AMN的體積是：.15. 已知函數(shù)f(x)=2x ，g(x)=x 2+ax( 其中 a R). 對于不相等的實數(shù)x1、 x2，設 m=， n=. 現(xiàn)有如下命題：對于任意不相等的實數(shù)x1、 x2，都有 m 0；對于任意的 a 及任意不相等的實數(shù)x 、x ，都有 n 0；12

10、對于任意的 a，存在不相等的實數(shù)x1、x2，使得 m=n；對于任意的 a，存在不相等的實數(shù)x1、x2 ，使得 m=-n.其中的真命題有 _ ( 寫出所有真命題的序號 ).解析：對于，由于2 1，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得f(x) 在 R 上遞增，即有 m 0，則正確；對于，由二次函數(shù)的單調(diào)性可得g(x)在 (- ， - ) 遞減，在 ( ，+ ) 遞減，則 n 0 不恒成立，則錯誤；對于，由 m=n，可得 f(x12122+ax-2x，)-f(x)=g(x)-g(x ) ，考查函數(shù) h(x)=xx小于 0， h(x) 單調(diào)遞減，則錯誤；h (x)=2x+a-2 ln2 ，當 a - ， h (x)

11、對于，由 m=-n，可得 f(x 1)-f(x2)=-g(x1)-g(x 2)，考查函數(shù) h(x)=x2+ax+2x，h (x)=2x+a+2 xln2 ，對于任意的a，h (x) 不恒大于0 或小于 0，則正確 .故答案為：.三、解答題：本大題共6小題，共75 分 . 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16. 設數(shù)列 a n(n=1 ， 2，3 ) 的前 n 項和 Sn，滿足 Sn=2an-a 1，且 a1，a2+1， a3 成等差數(shù)列 .(1) 求數(shù)列 a n 的通項公式；(2) 設數(shù)列的前n 項和為Tn，求Tn.解析：(1) 由條件 Sn 滿足 Sn=2an-a 1，求得數(shù)列 a

12、n 為等比數(shù)列， 且公比a3 成等差數(shù)列，求得首項的值，可得數(shù)列a n 的通項公式 .q=2；再根據(jù)a1，a2+1，(2) 由于，利用等比數(shù)列的前n 項和公式求得數(shù)列的前n 項和Tn.答案：(1) 由已知Sn=2an-a 1，有an=Sn -Sn-1 =2an-2a n-1 ( n2) ，即 an=2an-1 ( n2) ，從而 a2=2a1， a3=2a2=4a1.又因為 a1， a2+1， a3 成等差數(shù)列，即所以 a1+4a1=2(2a 1+1) ，解得： a1=2.a1+a3=2(a 2+1)所以，數(shù)列a n 是首項為2，公比為2 的等比數(shù)列.n故 an=2 .(2) 由(1) 得，所

13、以 Tn=.17. 一輛小客車上有 5 名座位，其座號為 1， 2，3， 4， 5，乘客 P1， P2， P3， P4， P5 的座位號分別為 1，2， 3， 4， 5. 他們按照座位號順序先后上車，乘客P1 因身體原因沒有坐自己1 號座位， 這時司機要求余下的乘客按以下規(guī)則就坐：如果自己的座位空著，就只能坐自己的座位. 如果自己的座位已有乘客就坐，就在這5 個座位的剩余空位中選擇座位.(1) 若乘客 P1 坐到了 3 號座位，其他乘客按規(guī)則就座，則此時共有4 種坐法 . 下表給出其中兩種坐法，請?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法( 將乘客就坐的座位號填入表中空格處)(2) 若乘客 P1 坐到了 2 號座位，其

14、他乘客按規(guī)則就坐，求乘客P5 坐到 5 號座位的概率 .解析： (1) 根據(jù)題意，可以完成表格；(2) 列表，確定所有可能的坐法，再求出乘客P1 坐到 5 號座位的概率.答案： (1) 余下兩種坐法：(2) 若乘客 P1 坐到了 2 號座位，其他乘客按規(guī)則就坐，則所有可能的坐法可用下表表示為于是，所有可能的坐法共8 種，設“乘客P5 坐到 5 號座位”為事件A，則事件 A 中的基本事件的個數(shù)為4，所以 P(A)=.答：乘客P5 坐到 5 號座位的概率是.18. 一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.(1) 請按字母 F， G，H 標記在正方體相應地頂點處 ( 不需要說明理由

15、 )(2) 判斷平面 BEG與平面 ACH的位置關系 . 并說明你的結論 .(3) 證明：直線 DF平面 BEG.解析： (1) 直接標出點F， G，H 的位置 .(2) 先證 BCHE為平行四邊形，可知 BE平面 ACH，同理可證 BG平面 ACH，即可證明平面BEG平面 ACH.(3) 連接 FH，由 DHEG，又 DHEG，EGFH，可證 EG平面 BFHD，從而可證 DFEG，同理DFBG，即可證明DF平面 BEG.答案： (1) 點 F， G，H 的位置如圖所示.(2) 平面 BEG平面 ACH，證明如下：ABCD-EFGH為正方體，BCFG， BC=EH，又 FGEH， FG=EH

16、，BCEH， BC=EH，BCHE為平行四邊形 .BECH，又 CH 平面 ACH，BE 平面 ACH，BE平面 ACH，同理 BG平面 ACH，又 BEBG=B，平面 BEG平面ACH.(3) 連接 FH，ABCD-EFGH為正方體，DHEG，又 EG平面 EFGH，DHEG，又 EGFH，EGFH=O，EG平面 BFHD，又 DF 平面 BFHD，DFEG，同理 DFBG，又 EGBG=G，DF平面 BEG.19. 已知 A、B、C 為 ABC的內(nèi)角， tanA ，tanB 是關于方程x2+px-p+1=0(p R) 兩個實根 .(1) 求 C的大小(2) 若 AB=3， AC=，求 p

17、的值 .解析：(1) 由判別式 =3p 2+4p- 40，可得 p -2 ，或 p，由韋達定理， 有 tanA+tanB=-p， tanAtanB=1-p ，由兩角和的正切函數(shù)公式可求tanC=-tan(A+B)=，結合 C 的范圍即可求 C的值.(2) 由正弦定理可求 sinB= ，解得B， A，由兩角和的正切函數(shù)公式可求tanA=tan75 °，從而可求p=-(tanA+tanB)的值 .答案： (1) 由已知，方程x2+px-p+1=0 的判別式：= (p) 2-4(-p+1)=3p 2+4p- 40，所以 p -2 ，或 p .由韋達定理，有 tanA+tanB=-p， ta

18、nAtanB=1-p.所以， 1-tanAtanB=1-(1-p)=p0，從而 tan(A+B)=.所以 tanC=-tan(A+B)=，所以 C=60°.(2) 由正弦定理，可得sinB=，解得 B=45°，或B=135° ( 舍去 ).于是， A=180° -B- C=75°.則 tanA=tan75 °=tan ( 45°+30° )=所以 p=-(tanA+tanB)=-(2+)=-1-.20. 如圖，橢圓 E：=1(a b 0) 的離心率是，點 P(0 ，1) 在短軸 CD上，且·=-1(1)

19、求橢圓 E 的方程 .(2) 設 O為坐標原點， 過點P 的動直線與橢圓交于A、B 兩點 . 是否存在常數(shù) ，使得·+·為定值？若存在，求 的值；若不存在，請說明理由.解析：(1) 通過e=、·=-1 ，計算即得a=2、 b=，進而可得結論.(2) 分情況對直線 AB斜率的存在性進行討論： 當直線 AB的斜率存在時， 聯(lián)立直線 AB與橢圓方程，利用韋達定理計算可得當 =1 時·+·=-3 ；當直線AB 的斜率不存在時，·+·=-3.答案： (1) 根據(jù)題意，可得C(0， -b)又P(0 ， 1) ，且·=-1 ，

20、D(0， b) ，解得 a=2， b=，橢圓 E 的方程為：+=1；(2) 結論：存在常數(shù) =1，使得·+·為定值 -3.理由如下：對直線 AB斜率的存在性進行討論：當直線 AB的斜率存在時，設直線 AB的方程為 y=kx+1 ， A(x 1， y1) ， B(x 2， y2) ，聯(lián)立，消去 y 并整理得： (1+2k 2)x 2+4kx-2=0 ，=(4k) 2+8(1+2k 2) 0，x1+x2=， x1x2=，從而 ·+ · =x x +y y + x x +(y -1)(y-1)12121212=(1+ )(1+k 2)x 1x2+k(x 1+x

21、2)+1=- -2.當 =1 時， - -2=-3 ，此時· + · =-3為定值；當直線 AB的斜率不存在時，直線AB即為直線 CD，此時· + · =+=-2-1=-3 ；故存在常數(shù) =1，使得·+· 為定值 -3.21. 已知函數(shù)f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a 2，其中 a 0.(1) 設 g(x) 是 f(x) 的導函數(shù)，討論 g(x) 的單調(diào)性 .(2) 證明：存在 a (0 ， 1) ，使得 f(x)0恒成立，且 f(x)=0在區(qū)間 (1 ，+ ) 內(nèi)有唯一解 .解析：(1) 函數(shù) f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2，其中 a 0. 可得：x 0.g(x) =f (x)=2(x-1-lnx-a)，可得 g (x)=，分別解出 g (x) 0，g (x) 0，即可得出單調(diào)性 .(2) 由 f (x)=2(x-1-lnx-a)=0，可得 a=x-1-lnx ，代入 f(x)可得： u(x)=(1+lnx)2-2xlnx，利用函數(shù)零點存在定理可得：存在x (1 ，e) ，使得 u(x )=