1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 g數(shù)學(xué)（人教 A 版）選修 2-3正態(tài)分布設(shè)計(jì)教師：高二數(shù)學(xué)組一、教學(xué)目標(biāo)及其解析（一）教學(xué)目標(biāo)：1. 通過(guò)正態(tài)曲線的圖象認(rèn)識(shí)正態(tài)曲線，通過(guò)正態(tài)曲線了解正態(tài)分布2了解正態(tài)曲線的基本特點(diǎn)3了解正態(tài)曲線隨著參數(shù) 和 變化而變化的特點(diǎn)了解正態(tài)分布的3 原則（二）解析：正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)中是很常見(jiàn)的分布， 它能刻畫很多隨機(jī)現(xiàn)象。 從生活實(shí)踐入手， 描繪頻率直 方圖，進(jìn)而理解正態(tài)曲線，結(jié)合定積分的有關(guān)知識(shí)理解其概率分布列，結(jié)合圖象認(rèn)識(shí)參數(shù) ， 的幾何意義提高學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)分析現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力善于從復(fù)雜多變的現(xiàn)象中 發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，提高識(shí)別能力 .二、教學(xué)重難點(diǎn)解析（一）重點(diǎn)、難點(diǎn)：

2、 重點(diǎn)：了解正態(tài)曲線隨著參數(shù) 和 變化而變化的特點(diǎn)了解正態(tài)分布的 3 原則 難點(diǎn)：通過(guò)正態(tài)曲線的圖象認(rèn)識(shí)正態(tài)曲線，通過(guò)正態(tài)曲線了解正態(tài)分布（二）解析： 正態(tài)分布密度函數(shù)的推導(dǎo)是十分困難的， 一般教科書采用直接給出 正態(tài)分布密度函數(shù)表達(dá)式的方法， 這使學(xué)生在很長(zhǎng)一段時(shí)間是不理解正態(tài)分布的 實(shí)際含義。 可以通過(guò)直觀方法引入正態(tài)分布密度曲線， 也可以用樣本平均值和樣 本標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)估計(jì)， 正態(tài)曲線的特點(diǎn)包括圖像與坐標(biāo)軸之間的關(guān)系， 單峰性， 對(duì)稱 性，峰值的位置環(huán)境等。三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)問(wèn)題 1. 什么是正態(tài)曲線？問(wèn)題 2. 什么是正態(tài)分布 ?正態(tài)分布又有哪些特點(diǎn)？例 1. 如圖是一個(gè)正態(tài)曲線，試根據(jù)該圖

3、象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式， 求出總體隨機(jī)總量的均值和方差1 解 從正態(tài)曲線可知，20，1該正態(tài)曲線關(guān)于直線x 20 對(duì)稱，最大值為，所以 1 ， 2 2 ?x20?2 2.14 ， x（ ， ） ，總體隨機(jī)變量的期望是20，于是 ，（x） 2 方差是 2（ 2） 22.方法歸納 便確定了，代入 ， （ x） 中便可求出相應(yīng)本題主要考查正態(tài)曲線的圖象及性質(zhì)特點(diǎn)， 其具有兩大明顯特征： 1. 對(duì)稱軸方程 x ； 12. 最值 . 這兩點(diǎn)把握好了，參數(shù) 2 的解析式變式訓(xùn)練 1.-?x ?2?x?2如圖，曲線R），則 （ ）C1：22（ xR） ，曲線 C2：( x) 22 ( x A

4、 1<2B曲線 C1與 x 軸相交C 1>2D曲線 C1， C2分別與 x 軸所夾的面積相等解析：選 D.由正態(tài)曲線的特點(diǎn)易知 1>2，1<2，曲線 C1， C2分別與 x 軸所夾面積 相等，故選 D.例 2.設(shè) XN（1,2 2） ，試求：（1）P（ 1< X3） ； （2） P（3<X5） 解 因?yàn)?XN（1,2 ） ，所以 1， 2.（1）P（ 1< X3） P（1 2<X12）P（ < X ） 6.（2）因?yàn)?P（3 <X5） P（3 X< 1），所以 P（3 <X5）12 P（ 3<X5）P（ 1<X

5、3）12 P（14<X14）P（12<X12）1 2 P（ 2<X 2） P（ <X）12 4 6） 9.方法歸納對(duì)于正態(tài)分布 N（ ，2），由 x 是正態(tài)曲線的對(duì)稱軸知：（1） 對(duì)任意的 a，有 P（ X<a） P（X>a）；（2）P（ X< x0） 1P（Xx0） ；（3）P（a<X<b）P（X<b）P（Xa） 變式訓(xùn)練 2.在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N（1,4） ，求正態(tài)總體 X在區(qū)間 （ 1,1） 內(nèi)取值的概率解：由題意知 1， 2， P（1<X3）P（12<X12） 6.又密度函數(shù)關(guān)于直線 x1 對(duì)稱，1

6、 P（ 1<X<1） P（1< X<3）2P（ 1<X<3） 3.例 3. 某年級(jí)的一次信息技術(shù)測(cè)驗(yàn)成績(jī)近似服從正態(tài)分布N（70,10 2） ，如果規(guī)定低于 60分的學(xué)生為不及格學(xué)生（1） 成績(jī)不及格的人數(shù)占多少？（2） 成績(jī)?cè)?80 90 之間的學(xué)生占多少？ 解 （1） 設(shè)學(xué)生的得分情況為隨機(jī)變量 X，2則 XN（70,10 2） ，其中 70，10.在 60到 80 之間的學(xué)生占的比為 P（70 10<X70 10） 6 %，1不及格的學(xué)生所占的比為 2×（1 6） 7 %.(2) 成績(jī)?cè)?80 到 90 之間的學(xué)生所占的比為 11 2&

7、#215;P(702×10<X702×10) P(70 10<X70 10) 2× 4 6) %.方法歸納運(yùn)用 3 原則時(shí)， 關(guān)鍵是將給定的區(qū)間轉(zhuǎn)化為用 再加上或減去幾個(gè) 來(lái)表示； 當(dāng)要 求服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的概率其所在的區(qū)間不對(duì)稱時(shí)， 不妨先通過(guò)分解或合成， 再求其 對(duì)稱區(qū)間概率的一半解決問(wèn)題變式訓(xùn)練 3.某人從某城市的南郊乘公交車前往北區(qū)火車站，由于交通擁擠，所需時(shí)間X(單位：分 )近似服從正態(tài)分布 X N(50,10 2) ，求他在 (30,60 分內(nèi)趕到火車站的概率2 解： XN(50,10 2) ， 50， 10. P(30<X60

8、)P(30<X50)P(50 <X60) 11 2P( 2 < X 2) 2P( <X)112× 42× 6 5.2)的圖象，那即他在 (30,60 分內(nèi)趕到火車站的概率是 5.例 4.(1) 如圖為1，ABCD 取三個(gè)不同值 1，2，3 時(shí)的三種正態(tài)曲線 N(0 ， 2，3 的大小關(guān)系是 ()1>1> 2>3>00< 1< 2<1< 3 1>2>1>3>00< 1< 2 1<3x2 解析 當(dāng) 0，11時(shí)，正態(tài)分布密度函數(shù) f(x) 2e 2， x( ， )，當(dāng)

9、 x0 時(shí)，取得最大值1，所以 2 1. 由正態(tài)曲線的特點(diǎn)知：當(dāng) 一定時(shí)，曲線的形 2曲線越“瘦高”； 越大，曲線越“矮胖”，于是有狀由 確定 越小，1< 3. 答案 D(2) 把一條正態(tài)曲線 法不正確的是 ( ) 曲線 C仍然是正態(tài)曲線 曲線 C和曲線 C的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等 以曲線 C為概率密度曲線的總體的方差比以曲線C 沿著 x 軸正方向移動(dòng) 2 個(gè)單位，0<1<2得到一條新的曲線 C，下列說(shuō)ABC 大2D 大2C為概率密度曲線的總體的方差以曲線 C為概率密度曲線的總體的均值比以曲線C為概率密度曲線的總體的均值 始終保持不變，所以曲線的最 解析 在正態(tài)曲線沿著 x 軸方

10、向水平移動(dòng)的過(guò)程中2 沒(méi)有變化 設(shè)曲線 C的對(duì)稱1高點(diǎn)的縱坐標(biāo) 即正態(tài)分布密度函數(shù)的最大值 和方差 2軸為 x m，那么曲線 C的對(duì)稱軸為 xm2，說(shuō)明均值從 m變到了 m 2，增大了 2. 答案 C(3) 已知正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在區(qū)間 ( 3，1) 內(nèi)的概率和落在區(qū)間 (3,5) 內(nèi)的概率相等， 那么這個(gè)曲線中的 值為 解析 正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率相等， 說(shuō)明在這兩個(gè)區(qū)間上位于正態(tài) 曲線下方的面積相等； 又兩個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度相等， 所以正態(tài)曲線在這兩個(gè)區(qū)間上是對(duì)稱的 易知區(qū)間 ( 3， 1)和區(qū)間 (3,5) 關(guān)于直線 x1對(duì)稱，因此 1. 答案 11 名師點(diǎn)評(píng) (1) 正態(tài)曲線在

11、x 處達(dá)到峰值 2 確定這兩條性質(zhì)根據(jù)題設(shè)中的圖象，數(shù)形結(jié)合易得到結(jié)論(2) 理解正態(tài)分布的實(shí)質(zhì)，由正態(tài)曲線，過(guò)點(diǎn) 所圍成的平面圖形的面積， 就是隨機(jī)變量 X 落在區(qū)間及當(dāng) 一定時(shí)，曲線的形狀由的對(duì)稱性 應(yīng)注意的是， 如果兩個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度不相等， 線下方的面積相等得出正態(tài)曲線在這兩個(gè)區(qū)間上是對(duì)稱的例 5. 已知隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 N(3,1) ，且A 8C 6 解析 由于 X 服從正態(tài)分布 N(3,1) 所以 P( X>4) P( X<2) ，1P?2 X4?故 P( X>4) 7.( a,0) 和點(diǎn) ( b,0) 的兩條 x 軸的垂線及 x 軸 (a，b) 的概率的近

12、似值， 以及正態(tài)曲線 就不能根據(jù)這兩個(gè)區(qū)間上位于正態(tài)曲P(2X4) 6 ，則 P(X>4) ()B 7D 5，故正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為x3. 答案 B 感悟提高 化歸與轉(zhuǎn)化思想是中學(xué)數(shù)學(xué)思想中的重要思想之一， 用問(wèn)題時(shí)，化歸與轉(zhuǎn)化思想起著不可忽視的作用本小題考查正態(tài)分布的有關(guān)知識(shí)，題轉(zhuǎn)化在解決正態(tài)分布的應(yīng)求解時(shí)應(yīng)根據(jù) P( X>4) P( X<2) P(2 X4) 1將問(wèn)四目標(biāo)檢測(cè)1判斷下列各題 ( 對(duì)的打“”(1) 函數(shù) ，(x) 中參數(shù)(2) 正態(tài)曲線是單峰的， 其與 x 軸圍成的面積是隨參數(shù)(3) 正態(tài)曲線可以關(guān)于 y 軸對(duì)稱 ( 答案： (1) × (2)

13、× (3) 列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是?x ?212e 2 ， ，錯(cuò)的打“×”) 的意義分別是樣本的均值與方差 ( ) 的變化而變化的 (2Af (x)Bf (x)222·e 2 2 ·ex2?x 1?21 e 2 2x21 e 2 2 e 解析：選 (x) 2 ·CDf (x)f (x)x23設(shè) XN( ，( >0) 都是實(shí)數(shù)x2e 2 1 e2222) ，當(dāng) X在(1,3 內(nèi)取值的概率與在 (5,7 內(nèi)取值的概率相等時(shí)，解析：根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性知 4.答案： 44如何求服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量X 在某區(qū)間內(nèi)取值的概率？解：首先找出服

14、從正態(tài)分布時(shí) ， 的值，再利用 3 原則求某一個(gè)區(qū)間上的概率， 最后利用在 x 對(duì)稱的區(qū)間上概率相等求得結(jié)果五課堂小結(jié) 六課后作業(yè)： 學(xué)業(yè)水平訓(xùn)練 1（2014·東營(yíng)檢測(cè) ）設(shè)隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布 N（2,9） ，若 P（>c1）P（<c 1） ，則 c（）A 1B2C 3D4解析：選 B. 2，由正態(tài)分布的定義知其函數(shù)圖象關(guān)于 2，c2. 故選 B.212設(shè)隨機(jī)變量 XN（1,3 2），則 D（ 3X）等于 （）x 2 對(duì)稱，于是c1c12A9C1解析：選 C. XN（1,3 2） ，B3 D(X) 9. D( 31X) 19D( X)1.3（2014·沈陽(yáng)

15、高二檢測(cè) ） 設(shè)隨機(jī)變量 N（0,1） ，若 P（ >1） p，則 P（ 1<<0） （ ）pB1 pC 12p p解析：選 D.如圖， P（ >1）表示 x軸、 x>1與正態(tài)密度曲線圍成區(qū)域的面積，由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性知： x 軸、x<1與正態(tài)密度曲線圍成區(qū)域的面積也為p，所以 P（ 1<<0）1 2p 1 2 2 p.4關(guān)于正態(tài)分布 N（，2） ，下列說(shuō)法正確的是 （ ） A隨機(jī)變量落在區(qū)間長(zhǎng)度為 3 的區(qū)間之外是一個(gè)小概率事件 B隨機(jī)變量落在區(qū)間長(zhǎng)度為 6 的區(qū)間之外是一個(gè)小概率事件 C隨機(jī)變量落在 （ 3，3）之外是一個(gè)小概率事件 D隨

16、機(jī)變量落在 （ 3， 3） 之外是一個(gè)小概率事件 解析：選 D. P（ 3<X<3） 4. P（ X> 3 或 X<3） 1P（ 3<X<3） 1 4 6. 隨機(jī)變量落在 （ 3，3） 之外是一個(gè)小概率事件解析：選 A. 正態(tài)總體落在區(qū)間5設(shè)正態(tài)總體落在區(qū)間 （ ， 1） 和區(qū)間 （3 ， ）的概率相等，落在區(qū)間 （ 2,4） 內(nèi)的概率為 %，則該正態(tài)總體對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）B（1 ， 2）D（1,1）（ ， 1） 和（3 ， ）的概率相等，說(shuō)明正態(tài)曲線關(guān)于 x 1 對(duì)稱，所以 1.又在區(qū)間 （ 2,4） 內(nèi)的概率為 %， 1 3 2,1 3

17、4， 1.?x1?21，2XN（0 ， YN（0,1） ，ZN（0,4） 的密1f（x）e 2 ，xR，最高點(diǎn)的坐標(biāo)為26（2014·臨沂一中檢測(cè) ） 如圖是三個(gè)正態(tài)分布度曲線，則三個(gè)隨機(jī)變量 X，Y，Z 對(duì)應(yīng)曲線分別是圖中的 解析：在密度曲線中， 越大，曲線越“矮胖”； 越小，曲線越“瘦高” 答案： 7若隨機(jī)變量 XN(，2)，則 P(X) .解析：由于隨機(jī)變量 XN(，2)，其中概率密度函數(shù)關(guān)于 x 對(duì)稱，故 P(X) 12.答案： 128在某項(xiàng)測(cè)量中， 測(cè)量結(jié)果 服從正態(tài)分布 N(1 ，2)( > 0) 若 在(0,1) 內(nèi)取值 的概率為，則 在(2 ， ) 上取值的概率為 11 解析：由正態(tài)分布的特征易得 P(>2)2×12P(0<<1) 2×(1 . 答案：9設(shè) X N(5,1) ，求 P(6< X7) 解：由已知得 P(4< X6) 6P(3< X7) 4.又正態(tài)曲線關(guān)于