1、 2006浙江省高等數(shù)學(xué)(微積分)競賽試題一、 計(jì)算題（每小題12分，滿分60分）1、計(jì)算.解: 。2、求.解: .3、求.解: .4、求過且與曲面的所有切平面皆垂直的平面方程.解:令則,令所求平面方程為: ,在曲面上取一點(diǎn),則切平面的法向量為,則在曲面上取一點(diǎn),則切平面的法向量為,則.解得: 即所求平面方程為: .二、(15分)設(shè),問有幾個(gè)實(shí)根?并說明理由.解: 當(dāng), 當(dāng), 且的增長速度要比來得快!所以無實(shí)根.三、(滿分20分)求中的系數(shù).解: 當(dāng)時(shí), 故中的系數(shù)為.四、(20分) 計(jì)算,其中是球面與平面的交線.解： 而,故.五、(20分)設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù),試證:的充分必要條件為.證明：必要性

2、由于,則, .充分性;要證明,只需證明: ,這里,若,不等式顯然成立;即只需證明: ,而,故只要說明: ,即,當(dāng)時(shí),顯然成立;假設(shè)當(dāng)時(shí),也成立,即;當(dāng)時(shí), . 六、(15分)求最小的實(shí)數(shù),使得滿足的連續(xù)函數(shù)都有.解: , 取,顯然,而, 取,顯然,而, 故最小的實(shí)數(shù).2007浙江省高等數(shù)學(xué)(微積分)競賽試題(解答) 一.計(jì)算題（每小題12分，滿分60分）1、求.解: 。2、求.解: .3、求的值,使.解: 被積函數(shù)是奇函數(shù), 要積分為零, 當(dāng)且僅當(dāng)積分區(qū)間對稱,即: , 解得: .4、計(jì)算.解: , 其中如右圖.5、計(jì)算,其中為圓柱面.解: 被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù),積分區(qū)域關(guān)于對稱,二、(20分

3、)設(shè),求: (1);(2) .解: (1), ;(2) (圖來說明積分上下).三、(滿分20分)有一張邊長為的正方形紙(如圖),、分別為、的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，現(xiàn)將紙卷成圓柱形，使與重合，與重合，并將圓柱垂直放在平面上，且與原點(diǎn)重合，若在軸正向上，求：（1） 通過，兩點(diǎn)的直線繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程；（2） 此旋轉(zhuǎn)曲面、平面和過點(diǎn)垂直于軸的平面所圍成的立體體積. 解:旋轉(zhuǎn)曲面上任意取一點(diǎn)則的坐標(biāo)為： ， 化簡得：所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：，（2），故過垂直軸的平面方程為：令，解得在坐標(biāo)面上的曲線方程為：，圖中所求的旋轉(zhuǎn)體的體積為： .四、(20分) 求函數(shù),在的最大值、最小值.解： 由于具有輪換對稱

4、性,令, 或解得駐點(diǎn): 或?qū)? ,在圓周上,由條件極值得:令解得: ,;在圓周上,由條件極值得:令解得: , ,;,在的最大值為,最小值為.五、(15分)設(shè)冪級數(shù)的系數(shù)滿足,求此冪級數(shù)的和函數(shù).證明： 而,即: 一階非齊次線性微分方程-常數(shù)變易法, 求的通解: ,令代入得:,即: 故的通解為: ,由于,解得, 故的和函數(shù). 六、(15分)已知二階可導(dǎo),且,(1) 證明:.(2) 若,證明.證明: (1) 要證明,只需證明,也即說明是凹函數(shù), ,故是凹函數(shù), 即證.(2) ,即: .2008浙江省高等數(shù)學(xué)(微積分)競賽試題(解答) 一.計(jì)算題1、求.解: 。2、計(jì)算.解: 。法二：，令。3、設(shè)，

5、求.解: ,則，則 被積函數(shù)是奇函數(shù), 要積分為零, 當(dāng)且僅當(dāng)積分區(qū)間對稱,即: , 解得: .4、計(jì)算.解: , 其中如右圖.5、計(jì)算,其中為圓柱面.解: 被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù),積分區(qū)域關(guān)于對稱,二、(20分)設(shè),求: (1);(2) .解: (1), ;(2) (圖來說明積分上下).三、(滿分20分)有一張邊長為的正方形紙(如圖),、分別為、的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，現(xiàn)將紙卷成圓柱形，使與重合，與重合，并將圓柱垂直放在平面上，且與原點(diǎn)重合，若在軸正向上，求：（3） 通過，兩點(diǎn)的直線繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程；（4） 此旋轉(zhuǎn)曲面、平面和過點(diǎn)垂直于軸的平面所圍成的立體體積. 解:旋轉(zhuǎn)曲面上任意取一點(diǎn)則

6、的坐標(biāo)為： ， 化簡得：所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：，（2），故過垂直軸的平面方程為：令，解得在坐標(biāo)面上的曲線方程為：，圖中所求的旋轉(zhuǎn)體的體積為： .四、(20分) 求函數(shù),在的最大值、最小值.解： 由于具有輪換對稱性,令, 或解得駐點(diǎn): 或?qū)? ,在圓周上,由條件極值得:令解得: ,;在圓周上,由條件極值得:令解得: , ,;,在的最大值為,最小值為.五、(15分)設(shè)冪級數(shù)的系數(shù)滿足,求此冪級數(shù)的和函數(shù).證明： 而,即: 一階非齊次線性微分方程-常數(shù)變易法, 求的通解: ,令代入得:,即: 故的通解為: ,由于,解得, 故的和函數(shù). 法二：，同學(xué)們自行完成。六、(15分)已知二階可導(dǎo),且,(3)

7、證明:.(4) 若,證明.證明: (1) 要證明,只需證明,也即說明是凹函數(shù), ,故是凹函數(shù), 即證.(2) ,即: .2009年浙江省高等數(shù)學(xué)（微積分）競賽試題一、計(jì)算題（每小題12分，滿分60分）1.求極限解 =2計(jì)算不定積分解 =3設(shè)，求解 =4設(shè)，求此曲線的拐點(diǎn)解 ，令得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此拐點(diǎn)為5已知極限，求常數(shù)的值解 = =1于是，由，得另解 1二、（滿分20分）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，證 設(shè)則，由且，知當(dāng)時(shí)，。又設(shè)則，所以,從而,不等式得證.三、（滿分20分）設(shè)，求的最小值證 當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)單調(diào)減少； 當(dāng)時(shí)，=。由得。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 故是的極小值點(diǎn)，又=，故的最小值為

8、 四、（滿分20分）=五、（滿分15分）設(shè)，證明：（1）為偶函數(shù)；（2）證 （1）（2）=六、（滿分15分）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且，證明在上方程有唯一解證 設(shè)，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，是方程的解；當(dāng)時(shí)，由零點(diǎn)定理，得至少存在一點(diǎn)使，即方程至少有一解。又，故在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，因此在上方程有唯一解2010浙江省大學(xué)生高等數(shù)競賽試題（工科類）一、計(jì)算題（每小題14分，滿分70分）1求極限2計(jì)算3設(shè)為銳角三角形,求的最大值和最小值。4已知分段光滑的簡單閉曲線（約當(dāng)曲線）落在平面：上，設(shè)在上圍成的面積為A,求,其中的方向成右手系。5設(shè)連續(xù)，滿足,求的值。二、（滿分20分）定義數(shù)列如下： ，求。三、（滿分20分）設(shè)有圓盤隨著時(shí)間t 的變化，圓盤中心沿曲線 向空間移動，且圓盤面的法向與L的切向一致。若圓盤半徑r (t) 隨時(shí)間改變，有，求在時(shí)間段內(nèi)圓盤所掃過的空間體積。四、（滿分2