1、第三章應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算一.內(nèi)容提要本章介紹了桿件發(fā)生基本變形時(shí)的應(yīng)力計(jì)算，材料的力學(xué)性能，以及基本變形的強(qiáng)度計(jì)算。1 拉伸與壓縮變形1.1 拉（壓）桿的應(yīng)力1.1.1 拉（壓）桿橫截面上的正應(yīng)力拉壓桿件橫截面上只有正應(yīng)力匚，且為平均分布，其計(jì)算公式為甩（3-1）A式中FN為該橫截面的軸力，A為橫截面面積。正負(fù)號(hào)規(guī)定 拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。公式（3-1）的適用條件：（1）桿端外力的合力作用線與桿軸線重合，即只適于軸向拉（壓）桿件；（2）適用于離桿件受力區(qū)域稍遠(yuǎn)處的橫截面；（3）桿件上有孔洞或凹槽時(shí)，該處將產(chǎn)生局部應(yīng)力集中現(xiàn)象，橫截面上應(yīng)力分布很不 均勻；（4） 截面連續(xù)變化的直桿，桿件兩側(cè)棱邊的

2、夾角:-（3-4）2式中二為橫截面上的應(yīng)力。正負(fù)號(hào)規(guī)定：:由橫截面外法線轉(zhuǎn)至斜截面的外法線，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)。-:.拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。拉壓桿件任意斜截面（圖3-1a圖）上的應(yīng)力為平均分布，其計(jì)算公式為I軸向線應(yīng)變橫向變形橫向線應(yīng)變b =-b伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù)。正負(fù)號(hào)規(guī)定(2)胡克定律當(dāng)應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。即(3-5)或用軸力及桿件的變形量表示為FNId -EA式中EA稱為桿件的抗拉(壓)剛度，是表征桿件抵抗拉壓彈性變形能力的量。 公式(3-6)的適用條件：(3-6)(a)材料在線彈性范圍內(nèi)工作，即；p;(b)在計(jì)算1時(shí)，I長(zhǎng)度內(nèi)其N、E、A均應(yīng)為常量。如

3、桿件上各段不同，則應(yīng)分段計(jì)算, 求其代數(shù)和得總變形。即/ Niliy EiA(3-7)泊松比當(dāng)應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變之比的絕對(duì)值。即弋a(chǎn)對(duì)脫離體內(nèi)一點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針力矩的為正，反之為負(fù)。兩點(diǎn)結(jié)論：(1)當(dāng)=0時(shí)，即橫截面上，達(dá)到最大值，即二.噺二二。當(dāng)：=900時(shí)，即 縱截面上，二_.=90=0。(2)當(dāng)=45時(shí)，即與桿軸成450的斜截面上，達(dá)到最大值，即CJmax =?。1. 2拉(壓)桿的應(yīng)變和胡克定律(1)變形及應(yīng)變桿件受到軸向拉力時(shí)，軸向伸長(zhǎng)，橫向縮短；受到軸向壓力時(shí)，軸向縮短，橫向伸長(zhǎng)。如圖3-2。軸向變形：l 斗 _1圖3-2v = (3-8)z1.3材料在拉(

4、壓)時(shí)的力學(xué)性能1.3.1低碳鋼在拉伸時(shí)的力學(xué)性能應(yīng)力一一應(yīng)變曲線如圖3-3所示。圖3-3低碳鋼拉伸時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線卸載定律：在卸載過程中，應(yīng)力和應(yīng)變按直線規(guī)律變化。如圖3-3中dd直線。冷作硬化：材料拉伸到強(qiáng)化階段后，卸除荷載，再次加載時(shí)，材料的比例極限升高，而 塑性降低的現(xiàn)象，稱為冷作硬化。如圖3-3中d def曲線。圖3-3中，of為未經(jīng)冷作硬化,拉伸至斷裂后的塑性應(yīng)變。df為經(jīng)冷作硬化，再拉伸至斷裂后的塑性應(yīng)變。四個(gè)階段四個(gè)特征點(diǎn)，見表1-1。表1-1低碳鋼拉伸過程的四個(gè)階段階段圖1-5中線段特征點(diǎn)說(shuō)明彈性階段oab比例極限p彈性極限CTep為應(yīng)力與應(yīng)變成正比的最高應(yīng)力 為不產(chǎn)生殘余

5、變形的最咼應(yīng)力屈服階段be屈服極限bsas為應(yīng)力變化不大而變形顯者增加時(shí)的最低應(yīng)力強(qiáng)化階段ce抗拉強(qiáng)度CTbb為材料在斷裂前所能承受的最大名義應(yīng)力局部形變階段ef產(chǎn)生頸縮現(xiàn)象到試件斷裂表1-1主要性能指標(biāo)，見表1-2。表1-2主要性能指標(biāo)性能性能指標(biāo)說(shuō)明彈性性能彈性模量E當(dāng) b 蘭CTp時(shí)，E =Z強(qiáng)度性能屈服極限s材料出現(xiàn)顯著的塑性變形抗拉強(qiáng)度CTb材料的最大承載能力塑性性能L |延伸率6 -1x100%l材料拉斷時(shí)的塑性變形程度截面收縮率屮=AA1x 100%A材料的塑性變形程度1.3.2低碳鋼在壓縮時(shí)的力學(xué)性能圖3-4低碳鋼壓縮時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線應(yīng)力一一應(yīng)變曲線如圖3-4中實(shí)線所示。低碳

6、鋼壓縮時(shí)的比例極限二p、屈服極限二s、彈性模量E與拉伸時(shí)基本相同，但側(cè)不出抗壓強(qiáng)度二b1.3.3鑄鐵拉伸時(shí)的力學(xué)性能圖3-5鑄鐵拉伸時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線應(yīng)力一一應(yīng)變曲線如圖3-5所示。應(yīng)力與應(yīng)變無(wú)明顯的線性關(guān)系，拉斷前的應(yīng)變很小，試驗(yàn)時(shí)只能側(cè)得抗拉強(qiáng)度匚b。彈性模量E以總應(yīng)變?yōu)?.1%時(shí)的割線斜率來(lái)度量。1.3.3鑄鐵壓縮時(shí)的力學(xué)性能應(yīng)力一一應(yīng)變曲線如圖3-6所示。o ?J=G(3-10)圖3-6鑄鐵壓縮時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線鑄鐵壓縮時(shí)的抗壓強(qiáng)度比拉伸時(shí)大45倍，破壞時(shí)破裂面與軸線成4535。宜于做抗壓構(gòu)件。1.3.4塑性材料和脆性材料延伸率5%的材料稱為塑性材料。延伸率5%的材料稱為脆性材料。1.

7、3.5屈服強(qiáng)度cr0.2對(duì)于沒有明顯屈服階段的塑性材料，通常用材料產(chǎn)生0.2%的殘余應(yīng)變時(shí)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力作為屈服強(qiáng)度，并以a0.2表示。1.4強(qiáng)度計(jì)算許用應(yīng)力材料正常工作容許采用的最高應(yīng)力，由極限應(yīng)力除以安全系數(shù)求得。CTCJ.塑性材料二=；脆性材料二F入nb其中ns,nb稱為安全系數(shù)，且大于1。強(qiáng)度條件：構(gòu)件工作時(shí)的最大工作應(yīng)力不得超過材料的許用應(yīng)力。對(duì)軸向拉伸（壓縮）桿件NI-“（3-9）A按式（1-4）可進(jìn)行強(qiáng)度校核、截面設(shè)計(jì)、確定許克載荷等三類強(qiáng)度計(jì)算。2.扭轉(zhuǎn)變形2.1切應(yīng)力互等定理受力構(gòu)件內(nèi)任意一點(diǎn)兩個(gè)相互垂直面上，切應(yīng)力總是成對(duì)產(chǎn)生，它們的大小相等，方向同時(shí)垂直指向或者背離兩截面交

8、線，且與截面上存在正應(yīng)力與否無(wú)關(guān)。2.2純剪切單元體各側(cè)面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力的受力狀態(tài)，稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。2.3切應(yīng)變切應(yīng)力作用下，單元體兩相互垂直邊的直角改變量稱為切應(yīng)變或切應(yīng)變，用表示。2.4剪切胡克定律o ?J=G(3-10)在材料的比例極限范圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，即式中G為材料的切變模量，為材料的又一彈性常數(shù)(另兩個(gè)彈性常數(shù)為彈性模量E及泊松比)，其數(shù)值由實(shí)驗(yàn)決定。對(duì)各向同性材料,E、.、G有下列關(guān)系EG(3-11)2(1 -)2.5圓截面直桿扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力和強(qiáng)度條件2.5.1橫截面上切應(yīng)力分布規(guī)律用截面法可求出截面上扭矩，但不能確定切應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律和大小。需通過平面

9、假設(shè)，從幾何、物理、平衡三方面才能唯一確定切應(yīng)力分布規(guī)律和大小。(1)沿半徑成線性分布，圓心處1；-0，最大切應(yīng)力在圓截面周邊上。(2)切應(yīng)力方向垂直半徑，圓截面上切應(yīng)力形成的流向與該截面上扭矩轉(zhuǎn)向相等，圖3-7。2.5.2切應(yīng)力計(jì)算公式橫截面上某一點(diǎn)切應(yīng)力大小為T?p- Ip圓截面周邊上的切應(yīng)力為式中益稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，R為圓截面半徑。2.5.3切應(yīng)力公式討論(1) 切應(yīng)力公式(3-12)和式(3-13)適用于材料在線彈性范圍內(nèi)、小變形時(shí)的等圓 截面直桿；對(duì)小錐度圓截面直桿以及階梯形圓軸亦可近似應(yīng)用，其誤差在工程允許范圍內(nèi)。(2) 極慣性矩|p和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)W是截面幾何特征量，計(jì)算公式見表3

10、-3。在面積(3-12)式中Ip為該截面對(duì)圓心的極慣性矩,為欲求的點(diǎn)至圓心的距離。maxTWt(3-13)不變情況下，材料離散程度高，其值愈大；反映出軸抵抗扭轉(zhuǎn)破壞和變形的能力 愈強(qiáng)。因此，設(shè)計(jì)空心軸比實(shí)心軸更為合理。表3-3實(shí)心圓 （外徑為d）.4兀d1p p32.3兀dWt =16空心圓 （外徑為D, 內(nèi)徑為d）兀D441(a4)p32d a一DnD44Wt =(1a )162.5.4強(qiáng)度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，全軸中最大切應(yīng)力不得超過材料允許極限值，否則將發(fā)生破壞。因此，強(qiáng) 度條件為式中，T是變形后梁軸線的曲率半徑；E是材料的彈性模量；IE是橫截面對(duì)中性軸Z軸的慣性矩。3.1.2橫截面上各點(diǎn)彎曲

11、正應(yīng)力計(jì)算公式(3-17)式中，M是橫截面上的彎矩；IZ的意義同上；y是欲求正應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離。由式（3-17）可見，正應(yīng)力 匚的大小與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比。橫截面上中性軸的一 側(cè)為拉應(yīng)力，另一側(cè)為壓應(yīng)力。-max=對(duì)等圓截面直桿max式中L I為材料的許用切應(yīng)力。3.彎曲變形的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算3.1梁橫截面上正應(yīng)力3.1.1中性層的曲率與彎矩的關(guān)系* IT T k (3-14)Wt爲(wèi)Tmaxfc(3-15)w1M(3-16)pElzIZ在實(shí)際計(jì)算中，正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)可根據(jù)梁的變形情況來(lái)確定，位于中性軸凸向一側(cè)的各點(diǎn)均為拉應(yīng)力，而位于中性軸凹向一側(cè)的各點(diǎn)均為壓應(yīng)力。 最大正應(yīng)力出現(xiàn)在距中

12、性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)處由正應(yīng)力強(qiáng)度條件可進(jìn)行三方面的計(jì)算：(1)校核強(qiáng)度即已知梁的幾何尺寸、材料的容許應(yīng)力以及所受載荷，校核正應(yīng)力是否超過容許值，從而檢驗(yàn)梁是否安全。(2)設(shè)計(jì)截面即已知載荷及容許應(yīng)力，可由式wz丄:-確定截面的尺寸(3)求許可載荷即已知截面的幾何尺寸及容許應(yīng)力，按式Mmax空WJ；I確定許可載荷。對(duì)于由拉、壓強(qiáng)度不等的材料制成的上下不對(duì)稱截面梁(如 的工字形截面等)，其強(qiáng)度條件應(yīng)表達(dá)為式中，ttljrc1分別是材料的容許拉應(yīng)力和容許壓應(yīng)力；y1,y2分別是最大拉應(yīng)力點(diǎn)和最大壓應(yīng)力點(diǎn)距中性軸的距離。若梁上同時(shí)存在有正、負(fù)彎矩，在最大正、負(fù)彎矩的橫截面上均要進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。3.3梁的切應(yīng)力Q

13、S-(3-21)Izb式中，Q是橫截面上的剪力；sz是距中性軸為y的橫線與外邊界所圍面積對(duì)中性軸的靜矩;maxmax*ymaxmaxWz(3-18)I12式中，Wz-稱為抗彎截面系數(shù)。對(duì)于h b的矩形截面，Wzbh；對(duì)于直徑為Dymax6d的圓形截面，WzD3；對(duì)于內(nèi)外徑之比為a的環(huán)形截面,32D若中性軸是橫截面的對(duì)稱軸，則最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值相等，拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值不相等。門34WzD3(1-a4)。32若不是對(duì)稱軸，則最大3.2梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的最大工作應(yīng)力不得超過材料的容許應(yīng)力，其表達(dá)式為二maxMmax133.5kN顯然是錯(cuò)誤的。正確的解應(yīng)由（a）、（b）式解得各桿軸力與

14、結(jié)構(gòu)載荷P應(yīng)滿足的關(guān)系弘二2PL= 0732P132 乞NJ,Ni N21計(jì)算所對(duì)應(yīng)的載荷P丨，由（c）、（e）有N -NJ - AA113.1kN0.732P乞113.1kNP154.5kN（g）由（d）、（f）有N2乞NJ - A2 50.3kN0.518P 50.3kNP2l-97.1kN（h）要保證AB、AC桿的強(qiáng)度，應(yīng)?。╣）、（h）二者中的小值，即P2】，因而得P 丄 97.1kN上述分析表明，求解桿系結(jié)構(gòu)的許可載荷時(shí)，要保證各桿受力既滿足平衡條件又滿足強(qiáng)Nicos30 N2cos45 二 P（b）（e）N2 2P1 3= 0.518P（f）（2）根據(jù)各桿各自的強(qiáng)度條件，即度條件。

15、例2如圖 所示沖床，Pmax=400kN,沖頭！I -400MPa,沖剪鋼板360MPa,設(shè)計(jì)沖頭的最小直徑值及鋼板厚度最大值。解:（1）按沖頭壓縮強(qiáng)度計(jì)算d所以（2）按鋼板剪切強(qiáng)度計(jì)算tQ P、T =A JTdt所以圖3-8t =1.04cm nd ib例32.5m3挖掘機(jī)減速器的一軸上裝一齒輪，齒輪與軸通過平鍵連接，已知鍵所受的力為P=12.1kN。平鍵的尺寸為：b=28mm,h=16mm,l2=70mm，圓頭半徑R=14mm（如圖）。鍵的許用切應(yīng)力 ！】=87MPa，輪轂的許用擠壓應(yīng)力取trbs】=100MPa，試校核鍵連接的強(qiáng)度。解:（1）校核剪切強(qiáng)度鍵的受力情況如圖c所示，此時(shí)剪切面

16、上的剪力（圖d）為Q = P = 12.1kN二12100N對(duì)于圓頭平鍵，其圓頭部分略去不計(jì)（圖3-10e）,故剪切面面積為A=blP= b l2-2R= 2.87-21.42-4211.76cm =11.7610 m所以，平鍵的工作切應(yīng)力為Q 12100T =-A 11.7610*=10.3 106Pa二10.3MPa：! I - 87MPaP:d2滿足剪切強(qiáng)度條件。（2）校核擠壓強(qiáng)度與軸和鍵比較，通常輪轂抵抗擠壓的能力較弱。輪轂擠壓面上的P=12100N擠壓面的面積與鍵的擠壓面相同，設(shè)鍵與輪轂的接觸高度為AbX；67.0-22_4 2二3.36 cm2= 3.36 10 m2故輪轂的工作擠壓應(yīng)力為-36 106Pa =36MPa：% TOOMPa例4 AB軸傳遞的功率為N =7.5kW，轉(zhuǎn)速n =360r/min。如圖 所示，軸AC段為實(shí)心圓 截面，CB段為空心圓截面。已知D =3cm，d =2cm。試計(jì)算AC以及CB段的最大與最小 剪應(yīng)力。解:（1）計(jì)算扭矩 軸所受的外力偶矩為m = 9550 = 955075=199N mn360擠壓力為PAbs121003.3610*，則擠壓面面積（圖f）