1、第八講二次根式的化簡求值用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子，叫做代數(shù)式，有理式和無理式統(tǒng)稱代數(shù)式，整式和分式統(tǒng)稱有理式.有條件的二次根式的化簡求值問題是代數(shù)式的化簡求值的重點與難點這類問題包容 了有理式的眾多知識，又涉及最簡根式、同類根式、有理化等二次根式的重要概念，同時聯(lián)系著整體代入、分解變形、構(gòu)造關(guān)系式等重要的技巧與方法，解題的關(guān)鍵是，有時需把已知條件化簡，或把已知條件變形， 有時需把待求式化簡或變形，有時需把已知條件和待求式同時變形.例題求解【例I】已知1 =2，那么 2 x - 2 x的值等于.Vx x2 +3x +1 x2+9x+1(20XX年河北省初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新與知識應(yīng)用競賽

2、題)1思路點撥通過平方或分式性質(zhì)，把已知條件和待求式的被開方數(shù)都用x -的代數(shù)式表x示.【例2】滿足等式x., y y.、x _.2003x2003y .2003xy =2003的正整數(shù)對(x, y)的個數(shù)是( )A. 1 B. 2 C.3 D.4(20XX年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)思路點撥對條件等式作類似于因式分解的變形，將問題轉(zhuǎn)化為求不定方程的正整數(shù)解.【例3】已知a、b是實數(shù)，且C1，a2，a)C1 b2 b) =1，問a、b之間有怎樣的關(guān)系？請推導(dǎo).(第20后俄羅斯數(shù)學(xué)臭林匹克競賽題改編)思路點撥由特殊探求一般，在證明一般性的過程中，由因?qū)Ч?，從化簡條件等式入手，而化簡的基本方法是有理化.

3、【例4】已知：以=荷+丄(0<a<1)，求代數(shù)式亡匕嚴一匕£ 的值. 斗ax x -2x x_2_Jx2 _4(2002半四川省中考題)思路點撥視x -2,x2 -4x為整體，把- 41平方，移項用含a代數(shù)式表示< ax-2,x2 -4x,注意0<a1的制約.【例5】(1)設(shè)a、b、c、d為正實數(shù)，a<b, c<d, bc>ad，有一個三角形的三邊長分別為a2 c2 , >b2 d2 ,】(b-a)2 (d -c)2，求此三角形的面積；(第12屆“五羊杯”競賽題)(2)已知a, b均為正數(shù)，且a+b=2，求U= ： a2 4 b2 1的

4、最小值.（20XX年北京市競賽題）思路點撥（1）顯然不能用面積公式求三角形面積（為什么？），.、a2 c2的幾何意義是以a、c為直角邊的直角三角形的斜邊，從構(gòu)造圖形人手，將復(fù)雜的根式計算轉(zhuǎn)化為幾何問題 加以解決；（2）用代數(shù)的方法求 U的最小值較繁，運用對稱分析，借助圖形求U的最小值.學(xué)歷訓(xùn)練1.已知.3、2y 73+&，那么代數(shù)式xy (x y) 2 .xy -(x y)2值為1 2. 若 a 4(0<a<1)，則.a a3. 已知 =1 ，則 土3亠（丄 _乂_2）的值.（20XX年武漢市中考題）x+2+<2 +12x_4 x_24已知a是4 - 3的小數(shù)部分，那

5、么代數(shù)式（芻 口 ）（a -上）的值為a +4a +4 a +2aa（20XX年黃石市中考題）5若 x =丄3 1，則 x3 一(2 3)x2 (1 2、3)x_. 3 5 的值是()A . 2 B . 4 C . 6D . 8（20XX年河南省競賽題）6. 已知實數(shù) a滿足2000 aa 2001 =a，那么a - 20002的值是（）A . 1999 B. 2000 C . 2001D . 20027. 設(shè) a = .1003 997 ,a = . 1001 999,c =2.1000，貝a、b、C之間的大小關(guān)系是()A . a<b<c B . c<b<a C .

6、c<a<b D . a<c<b&設(shè)Jx =$ Ja，則4x+x2的值為()Ja111A. aB . a C . aD .不能確定aaa9.若 a>0, b>0, 且 廟(廟=3jb (Ga +5血)，求_3b Jb 的值.a -b +J ab10 .已知 1J(x1)2 =x，化簡 Jx2 +1x+Jx2+x .11 .已知 x = V 3，那么211 =x+2 x2 -4 x-2(20XX年“信利杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽題)12 .已知、a Fra -1 =56 -2. a =13 .已知u(12-x)2 V的最小值為=(“希望杯”邀請賽試題)14 .

7、已知(xx2 2002)(y . y2 2002) =2002，貝U x2 -3xy-4y2 -6x-6y 58=b3+c3 =b3c3，那么 a3b3- c3 的值（第17屆江蘇省競賽題）15. 1+a2 如果 a b =.；加2002 2 , a _b = .2002 2 ,為（）（20XX年武漢市選拔賽試題）A. 2002 2002 B. 2001 C. 1 D. 016. 已知 a »；2 -1 , b =2.、2 _、6 , c 6 -2，那么 a、b、c 的大小關(guān)系是（）A. a<b<c B. b<a<c C. c<b<a c<a

8、<b（20XX年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）17. 當(dāng) X 二I002 時，代數(shù)式（4x3 _2005x_2001）2003 的值是（）A. 0 B .一 1 C . 1 D. - 22003（20XX 年紹興市競賽題）18 .設(shè) a、b、c 為有理數(shù)，且等式 a+bV2+cV3=j5+2T/6 成立，貝U 2a+999b+1001c 的值是（）A . 1999 B .2000 C .2001 D .不能確定（20XX年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 ）19 .某船在點 O處測得一小島上的電視塔A在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到達B處，測得電視塔在船的西北方向，問再向西航行多少海里，船

9、離電視塔最近？20 .已知實數(shù)a、b滿足條件a-b ：1，化簡代數(shù)式-b-1）2，將結(jié)果表示成aa b不含b的形式.21 已知 x=X_£(a>0),化簡：匸2aJx+2gx_222.已知自然數(shù) x、y、z滿足等式.x -2.6 - y . z = 0 ,求x+y+z的值. （加拿大“奧林匹克”競賽題 ）答案：同二次根式【例題求解】由條件x+y=2»M式=1】./ I 5 /1Tb+g+3 >j+9i 11j=2003選 B 由 '応- y2OT3Hi/t + V?+ V®3) = 0 得后亠 003 = 0.ft t> = 20O3(.

10、X 獺3 為貞如咫有 r=或1=2003j-1ff3a+bQ 原等式兩邊分別柔如 '/l+«l d)J Jl +6* -$).再 口+ /T4於=/ir + l A.i+ Jl+F 工 yi+d! a. 兩式相加，再“+63=F(J+6n故匚+6=札V jr=fl+-+2 A (z-2)J=(«+-)J,» ?-O=fll-2+4*VFZSr=l-l=-fl原式乂(工+3)(=-2)*J2+ J,-51 j a+-+(丄a)一=(«+丄)” TM_ *+2.用jrT-府石' J卄丄一(丄如如圖1 作長方影ABCD,使AB=咅一sAD=r甩

11、長QA至E,使DE=右蹩長DCF.f® DF*連結(jié)EF.FB側(cè) BF= /7+?；EF= y?+ZtBE=“* + W-cF,從而知 BEF就是甌設(shè)的三角理而九畤迄*杠棲血 +SiftF + SiAK (6o)r+yac4-y(c/r) (fra)-yArfyfAr'-aJL，第R2p代人u= 77TT+們H確u=Mf+iJ翔fi圖秋如忸2)，可礙u的堆小值為AfB=/ArBJ+BB，2 = yn,調(diào)H【學(xué)力訓(xùn)練】at o5：2ooi把井別平方DAm（ct+1）解得"故嬴式冃當(dāng)血31時屈式=I當(dāng)oav 1時，原式工無理就只有左右兩邊都是零+或存在整岳 f 只有*=0時才成立.從而2+由勾股定理得加7+處±0,億即F十MWLrN得*=屆，所以工十和=屁冉褂(2)當(dāng)吐上同為負戰(zhàn)時，由-<1- b>a Wd-*-(1)當(dāng)衛(wèi)上閭為正數(shù)時由<l,d>fr剤左邊為整數(shù)右邊也必為為 j" j+f得(g*6 =故原式=叮B 5+2柘【唐+捲叫剤a亠0#=l,rl.如圖，ZA（JB-30ZABC=45%OB=20kS A 作 AC丄DE 的砥妝線于匚設(shè) BC-=r