1、第四章典型例題分析例1、設(shè)f(x)在x = 0處有二階導(dǎo)數(shù)，且 f (0) =0,f (0) =1, f (0)=2，求 lim心0f (x) - X2x解：由 f(X)連續(xù)得，lim f (x) = f (0) = 1，故x屮o -O 一一一moH X(x) -11 lim f (x)- f (0)iim2x 2x 0例2若函數(shù)f(x)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)且f"(x0) =2，求limf (x°：x) -2f (x°) f (x° -.x).I 。u0(lx)1 2” lim 解: .x01石hnf (Xolx) _2f (Xo)f (Xo - . ：x

2、) 0 f (XoLX) - f(Xo _ . ：x)lim X0f (x0 - - x)-lim.x 0(x)2:f(X。+Zx) f (X0)limfx 02 x二1f (X。)f (x°).l-f (x°)=2-xa e例3、若函數(shù)f (x)= X , x c 0在 = o可導(dǎo)，求常數(shù)J +bsin 2x, x 3 0a, b解：由f(x)在x =0可導(dǎo)得f (x)在x=0連續(xù)，所以-X a ef (0 -0) = limt_ x=f (0) = 1，從而 lim (a - e )=0，即f (0 lim 1 bsin2x 化 lim 口xT=x_0x_0=x_0x

3、-0二 2b,Xf j0) = lim _-lim _X 50= X 0X沿X1 - e x2X(0)-Xe 1xlimlim -x 刃=2x Xr0 = 2x例4、證明：對任意的 X，R，證明1 xln(x 1 x2 ) _ . 1 x2 。證：設(shè) f (x) = 1 xln(x1 x2 ) - 1 x2，則 f (x) = ln( V x2 ) , x = 0 為唯一駐點(diǎn)，由f (x 120得x =0為極小值點(diǎn)，從而為最小值點(diǎn)，故對任意的* R , f(x) 一 f(0) =0。巧+x4例5、證明：當(dāng)x = 0時(shí)，ex 1 x 。所以x=0為極小值點(diǎn)，從而為最小值，所以當(dāng) x = 0時(shí)，f

4、(x) .f(0)=0，即ex . V x。(方法二)設(shè) f (x)二ex 一1 x，貝y f (x) =ex -1,令 f (x) =0，解得唯一駐點(diǎn)為 x = 0,當(dāng) x ：0 時(shí)，f (x) ： 0，故 f (x)在(一：,0上單調(diào)減少，從而當(dāng) x ： 0 時(shí)，f(x) .f(0)=0當(dāng)x 0時(shí)，f (x) . 0，故f (x)在0,：J上單調(diào)增加，從而當(dāng)x . 0時(shí)，f(x).f(0)=0總之，當(dāng) x = 0時(shí)，f(x) . f (00，即 ex . V x3x 例6、證明x 0時(shí)，sinx . x-3!32xx.證：f(x)=sixo-x ,貝U 在(0,：)內(nèi) f (x) = co

5、sx -1, f (x) = - si n x x ,3!2f (x) - -cosx 10 ,且 f(x), f (x), f (x)在 x = 0處連續(xù),所以f “(x)在0,=)上單調(diào)增加，從而 x 0時(shí)，f “(X).廠(0)=0, 故f (x)在0, ：)上單調(diào)增加，即有 x 0時(shí)，f (x) . f (0) =0 ,于是f (x)在0,：)上單調(diào)增加，故x 0時(shí)，f(x).f(0)=：0例7. 證明當(dāng)0證明(1 )先證：當(dāng)兀2:：x時(shí)，x : sin x ： x 2二n0 x ：時(shí)，sin x x。2法一：(利用單調(diào)性)設(shè) f (x) =sin x-x ,則 f (x)在0,上連續(xù)

6、，且在(0,)內(nèi) f (x) = cosx - 1 ： 0 ,2 2JI所以f (x)在0,上單調(diào)減少，從而當(dāng) 0 ： x 時(shí),2 2f (x) ： f (0) = 0 ，即 sin x x。法二：(利用微分中值定理)由拉格朗日中值定理得，存在-5 (0, x)，使得 sin x - sin 0 二 cos (x - 0),由于 cos ：1，所以當(dāng) 0 ： X 時(shí)，sin x ： x。22(2) 證明：當(dāng) 0 ： x 時(shí)，一 x ： si nx。2兀、2，則 f (x)在0, 上連續(xù)，且 f (x)二 cosx 。令 f (x) = 0 ,2n2法一：(利用單調(diào)性)設(shè)f(x)二sinx-xn

7、：得 x0 =arccos2。n當(dāng)0：x：x°時(shí)，f(x)0,所以f(x)在0,x。上單調(diào)增加，從而當(dāng)0：x乞X0時(shí)，f(x)f(0)=0 ；當(dāng)X0JITEJIJT:x 時(shí)，f (x) ：0,所以 f (x)在x。，上單調(diào)減少，從而當(dāng) x。：:： x 時(shí)，f(x) f( )=0。2222總之,、/n 2當(dāng) 0 . x 時(shí)，一 x ： sinx。2法二:2yr(用最值)設(shè)f (x) = sin x x，則f (x)在0,上連續(xù)，從而有最大值和最小值。2JI22令 f (x) =cosx 0，得 x0 =arccos。再由jijif (X)= sin x ： 0 ,0,上的最小值為f(0

8、)= f(于=°，最大值在2 .x : sinx。jiXo處取得。所以當(dāng)jif (0) = f () =0得，f(x)在2ji0 . x 時(shí)，2f(x)0 ,即本例還可以這樣證：只需證明不等式 2：叱；：1在(0,丄)內(nèi)成立令x2sin xTt0 ： x z 2則f(x)在0,-上連續(xù)，在(0,-)內(nèi)可導(dǎo)，且f心注嚴(yán)3TJTJT令 g(x) = xcosx-sinx, x 0,，則 g(x)在0,上連續(xù)，在(0, )內(nèi) g (x)二 222所以g(x)在0, 上單調(diào)減少，于是 0 ： x 時(shí)，g(x) ： g(0) = 0，從而f (x) ： 0，即f(x)在2 271xsin x

9、： 0，2i0,上單調(diào)減少，故當(dāng) 0 :： X 時(shí) f( ) : f (X)2 2 二2注：利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)證明不等式，主要有以下思路：利用函數(shù)的凹凸性。sin xf (0) = 1。x利用微分中值定理； 利用函數(shù)的單調(diào)性； 利用最值;，勺內(nèi)可導(dǎo)，且 xmf(xe，二河f(x)一 f(x一1)，求c的值。解：由已知得 f(x)在x -1, x上可導(dǎo)，滿足拉格朗日中值定理的條件，故_ -三(X1, x)，使得f(X)- f(X1) = f ( ) 1，并且 X'時(shí)，一，：。從而 lim f (x) - f (x -1) = lim f ( ) = lim_ f ( ) = e。所以顯然c

10、= 0 (若c = 0，則lij =iimT=1式e),且-c x匸x-cx c x2c 云limlim 1 -xr".X -cx 匚.二e2c,故 e2c=e.X -C1即 C 二一。2例9.求極限(1) lim 2Tx21 , sin xInx1im (sin x ex)' ； (3)lim x"xx1e ，1) Ln x -ex Asin x 1=limx_2x刃x2limx )0sin x - x 0 cosx -1(6)四3；廠sin x -ex Jsin x*x limX 0 x1法二：lim (sin x - ex)xIn (sin x：；ex)xln

11、(sin x Jex) limx 0 x二 e '0 lim CO土二 ex 0sinxex(3)lim i1 - x1(1 t)T -e1 ln(1 t).et =limt a tt-I n(1 t)e1 0嚴(yán)1 t)1 . t° e t2 =lim t_p1= lim(1 "lim1 廠噸 t) "limt-(1 t)ln(1 t) t0r0t2t=02t (1 t)002= elim2t 3tt 刃 2 6t001 -1n(1 t) -1=elimt_.0注：用洛必達(dá)法則計(jì)算極限時(shí)，注意利用等價(jià)無窮小代換等方法來化簡；若某因子的極限存在并且不為 零，

12、或某加數(shù)的極限存在，應(yīng)該及時(shí)利用極限的四則運(yùn)算求出，以簡化極限；多次使用洛必達(dá)法則時(shí)，必 須每次使用前驗(yàn)證洛必達(dá)法則的條件。例 10.設(shè) ai - 0, ai = 1,i =1, 2, 3，求極限zmaxa1,a2,a3)n 孑孑Fn 丄n 丄n 、a1n+a2+a3n<3maxa1,a2,a3n n< 3丿< 3 丿< 3 丿1解：（1）nna3n .a na 2-n即 maxa1,a2,a3乞13n蘭 max a1 ,a2, a3。又因?yàn)?何maX先比心 =maX七乂彳，所以由夾逼定理得13n二 maxaa2,a3。1xxm1 1a牀 a2x a3XtJx=Iim

13、t#a. In a -a2t In a:aj In 玄彳In a1；a2!|a3t Jn3=lim et 0In a/ -In a-ln a3-3 a1 a2 a3所以limn_jpc1ain a21o1-a3n例11.設(shè)f (x)在X = a處連續(xù)，且Iim丄也1，問X = a是否是f (x)的極值點(diǎn)，若是，是極大值點(diǎn)t x a還是極小值點(diǎn)。解：由 f(X)在 X =a 處連續(xù)得 f (a) =lim f (x) = lim 丄也(x-a) = (-1) 0 = 0，即 x = a 為 f(x)的 tt x_a駐點(diǎn)，又 f (a) = Iim f (x)f (a) - Iim= _1 ： o

14、，所以 x = a 是 f (x)的極大值點(diǎn)。t x ax - a例12已知f(x)在點(diǎn)x0的鄰域里有定義，且lim f (x) - f (丫)=k，其中n為正整數(shù)，k=0，討論f(x)f (XX。)在點(diǎn)Xo處是否取極值。解：由極限的保號性，若 k 0，則存在點(diǎn)X。的某空心鄰域，使得 f (x) 一 f (丫). 0 ;若k . 0，則存在(X - Xo )點(diǎn)x0的某空心鄰域，使得 f (X) 一 f呼):：:0。即存在點(diǎn)x0的某空心鄰域，使得 f(X) 一 弋0)與k同號。(X-X°)(X-X°)(1)若n為偶數(shù)，則在點(diǎn)x0的某空心鄰域里，f(x) - f(x0)與k同號

15、。當(dāng)k 0時(shí)，f(x)f(x°)，從而f(x°)為極小值；當(dāng)k : 0時(shí)，f(x) ： f(x°)，從而f(x°)為極大值。(2若n為奇數(shù)，則在點(diǎn)x0的某空心鄰域里，f (X) 一 f (：0)與k同號。(X-X°)在X0的左鄰域里，f(x)-f(x°)與k異號，在X0的右鄰域里，f(x)-f(x°)與k同號，即在X0的左、右鄰域，f(x) - f(X。)異號，從而f(X。)不是f(X)的極值?？傊?，若n為偶數(shù)且k 0 , f (Xo)為極小值；若n為偶數(shù)且k : 0, f(x。)為極大值；若n為奇數(shù),f (Xo)不是f (

16、X)的極值。注：由lim f (X) - f (Xo) =k，(：. 0, k =0)，我們還可以得到以下結(jié)論。f (xx0嚴(yán)(1) lim f (x)-X0"0)觀(X_X0)：. k即 lim f(x)=f(x0)，從而 f (x)在 x =x0 處連續(xù)。x %(2)若、； 1，貝V lim f (X)f (X°)lim f (X)f (X°)(x x0)= k 0 = 0，即 f (x0) = 0 。XT。x_X0F (X_X0)°f(x) f(X。)若：1,則 lim dfg.iim (Xf二一從而 f(x)在 X = X°處不可導(dǎo)。X

17、fX X0F0 (xx0 嚴(yán)利用以上結(jié)果，練習(xí)：設(shè)f (x)滿足lim f(X)_ f(X0)= A&0)，則F (X _ X0)f(x°)是極小值； f (X0)是極大值；f (x)在X = x0處取極值； f (x)在X = x0點(diǎn)處可導(dǎo)且正確選項(xiàng)為。f(X0)=0。例13.已知f (X)在0,：)上連續(xù)，f(0)=0,f (x)在(0,：)內(nèi)存在且單調(diào)增加，證明：在(0,：)內(nèi),函數(shù)丄兇也是單調(diào)增加的.Xr證明： f(x)/x)x；f(x)。對于任意的XA0, f (X)在0,x上滿足拉格朗日中值定理的條件，IL XX所以三(0,x)，使得 f(x) - f(0) =

18、f ( )(x-0)，即 f(x)二 f ( ) x，從而f (x)-f ()Xf (x)_ f (x)x - f ( )x一 X X2由于f (x)在(0, ：)內(nèi)單調(diào)增加，且0 x，所以f (x) f ()，從而 里刃 -0 ,即有在(0/-)-X內(nèi)，函數(shù) 上兇 單調(diào)增加.2In(1 x) - ax - bx 例14.設(shè)Iim7x2=2,求 a, b 。解: Iim ln(1 X)；ax-bx2 0 |imx_0x2T-a- 2bxj2，所以2xlim ：- - a -2bx =0，解得 a =1。又x)0 1 xa2bx1 x2xmo5-b =2，所以。2例15.已知y =f(x)有二階

19、連續(xù)導(dǎo)數(shù),f (x)的圖形如圖所示，f(1)=1, f(2)=4, f(3)=6，求y = f (x)的極值和拐點(diǎn)。解：由圖f (1)=0, f (3) =0,所以y = f (x)有兩個(gè)駐點(diǎn)x =1, x =3。在x =1的左鄰域，y厶：0，在x =1的右鄰域，y 0，所以x = 1為極小值點(diǎn)，且極小值為f (1) = 1。在x = 3的左右鄰域，都有 y ： 0，所以x = 3不是極 值點(diǎn)。由圖觀察得 (2)=0, (3)=0。在x = 2的左鄰域，y 單調(diào)增加，從而y “ _ 0 ,在x = 2的右鄰域，y 單調(diào)減少，從而 y飛0，所以(2, 4)為拐點(diǎn)。y單調(diào)增加，從而y”_0，所以(3,6)在x=3的左鄰域，y單調(diào)減少，從而y、0，在x =3的右鄰域,為拐點(diǎn)?？傊?，y二f(x)的極小值為f(1) =1，拐點(diǎn)為(2,4)和(3,6)。例16.某商品進(jìn)價(jià)為a (元/件)。根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)銷售價(jià)為4為正常數(shù)，且ba，市場調(diào)查表明，銷售價(jià)每下降10% ,3b (元/件)時(shí)，銷售量為c件，a, b, c均銷售量可增加40%?，F(xiàn)決定一次性降價(jià)。試問，當(dāng)銷售價(jià)定為多少時(shí)，可獲得最大利潤？并求最大利潤。b 一 匕 x-a (e x)。4c0 4eb，解得 p = b x。從而 L(x) = p(e - x) -a(