1、第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 微分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分， 作為研究分析函數(shù)的工具和方法， 其主要包含兩個(gè) 重要的基本概念導(dǎo)數(shù)與微分， 其中導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)相對(duì)于自變量的變化的快慢程度， 即變化 率問(wèn)題，而微分刻畫(huà)了當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，函數(shù)變化的近似值 .一、教學(xué)目標(biāo)與基本要求（一）知識(shí)1記住導(dǎo)數(shù)和微分的各種術(shù)語(yǔ)和記號(hào)； 2知道導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系； 3知道導(dǎo)數(shù)的幾何意義，知道平面曲線的切線和法線的定義； 4記住常數(shù)及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；5知道雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；6知道高階導(dǎo)數(shù)的定義；7知道隱函數(shù)的定義； 8記住反函數(shù)的求導(dǎo)法則； 9記住參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一、二階

2、導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式； 10知道對(duì)數(shù)求導(dǎo)法及其適用范圍；11知道相關(guān)變化率的定義及其簡(jiǎn)單應(yīng)用；12記住基本初等函數(shù)的微分公式；13知道微分在近似計(jì)算及誤差估計(jì)中的應(yīng)用； 14記住兩函數(shù)乘積高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茲公式.（二）領(lǐng)會(huì)1 領(lǐng)會(huì)函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的三種等價(jià)定義和左、右導(dǎo)數(shù)的定義；2 領(lǐng)會(huì)函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線的斜率之間的關(guān)系；3 領(lǐng)會(huì)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；4 領(lǐng)會(huì)微分的定義以及導(dǎo)數(shù)與微分之間的區(qū)別和聯(lián)系；5 領(lǐng)會(huì)微分的運(yùn)算法則及這些運(yùn)算法則與相應(yīng)的求導(dǎo)法則之間的聯(lián)系；6 領(lǐng)會(huì)微分形式的不變性；7 領(lǐng)會(huì)函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)、可微和連續(xù)之間的關(guān)系；8 領(lǐng)會(huì)導(dǎo)數(shù)存在的充分必要

3、條件是左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等.（三）運(yùn)用1 會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理含義，如速度、加速度等；2 會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義求一些極限，證明一些有關(guān)導(dǎo)數(shù)的命題，驗(yàn)證導(dǎo)數(shù)是否存在；3 會(huì)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在某點(diǎn)的切線方程和法線方程；4 會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義或?qū)?shù)存在的充要條件討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是否存在；5 會(huì)用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)數(shù)；6 會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；7 會(huì)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；8 會(huì)求隱函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)；9 會(huì)求參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)；10會(huì)求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)；11會(huì)用萊布尼茲公式求函數(shù)乘積的高階導(dǎo)數(shù)； 12會(huì)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求冪指函數(shù)和具有復(fù)雜乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算

4、的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).13會(huì)用微分定義和微分法則求微分； 14會(huì)用一階微分形式不變性求復(fù)合函數(shù)的微分和導(dǎo)數(shù)；15會(huì)用微分求函數(shù)的近似值 .（四）分析綜合1 綜合運(yùn)用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及各種導(dǎo)法則求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；2 綜合運(yùn)用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義， 左、右導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系以及可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系等 討論函數(shù)的可導(dǎo)性；3 綜合運(yùn)用基本初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式，兩函數(shù)和、 差、 積的高階導(dǎo)數(shù)公式及萊布尼茲公式等，求函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)；4. 綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及求導(dǎo)法則，解決幾何方面求曲線切線與法線的問(wèn)題及相關(guān)變化率問(wèn)題；綜合運(yùn)用微分的定義及幾何意義解決近似計(jì)算及誤差估計(jì)問(wèn)題二、教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)及難點(diǎn)：1 導(dǎo)數(shù)的概念

5、與幾何意義及物理意義；2. 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系；3. 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則與基本求導(dǎo)公式；4. 微分的概念與微分的運(yùn)算法則；5. 可微與可導(dǎo)的關(guān)系三、教學(xué)內(nèi)容的深化和拓寬：1. 導(dǎo)數(shù)概念的深刻背景；2. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的應(yīng)用；3. 綜合運(yùn)用基本初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式，兩函數(shù)和、差、積的高階導(dǎo)數(shù) 公式及萊布尼茲公式等，求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)；4. 綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及求導(dǎo)法則，解決幾何方面的曲線切線與法線 的問(wèn)題及相關(guān)變化率問(wèn)題§ 2.1導(dǎo)數(shù)的概念一、內(nèi)容要點(diǎn)1. 導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)基本實(shí)際背景是曲線的切線斜率與變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度2. 函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義為函數(shù)在該點(diǎn)處的關(guān)于自變量的變化率，即y

6、f(xg：x) - f (xg) . f(x) - f(X。)f (X0)=1四瓦=1四ZX= 1四XXg3. 單側(cè)導(dǎo)數(shù)的定義1) 函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系：若函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)， 則函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)， 反之不然2) 導(dǎo)數(shù)的實(shí)用舉例(擴(kuò)充)二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求：1. 理解導(dǎo)數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義與基本物理意義2. 理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，即連續(xù)是可導(dǎo)的必要面非充分條件3. 了解函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：f (Xg)存在f«Xg) f_(Xg)教學(xué)注意點(diǎn)：1 .要充分認(rèn)識(shí)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)關(guān)于其自變量在該點(diǎn)的變化率：切線的斜率k = dy ；速度：=dX與加速度

7、a = d ；角速度 = 與角加速度 dXdtdtdt:ddQ A;電流i，等等dtdt2. 要充分理解函數(shù)可導(dǎo)則必然連續(xù)，而連續(xù)卻未必可導(dǎo)3. 注意要用函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：f (Xg)存在f(Xg)=仁(Xg)來(lái)判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)處是否可導(dǎo) 主要內(nèi)容：一、 引例1、線問(wèn)題：切線的概念在中學(xué)已見(jiàn)過(guò)從幾何上看，在某點(diǎn)的切線就是一直線，它在該點(diǎn)和曲線相切準(zhǔn)確地說(shuō)，曲線在其上某點(diǎn) P的切線是割線 PQ當(dāng)Q沿該曲線無(wú)限地接近于P點(diǎn)的極限位置設(shè)曲線方程為P點(diǎn)的切線，只須求出 P點(diǎn)切線的斜率k.由上知，k恰好為割線PQ的斜率的極限.我們不難求得PQ的斜率為：f (X) - f(Xo)；因此，當(dāng)p >

8、; Q時(shí)，其極限存在的話，其值就是k，即X Xolimf(x) f(xo)X 氏 X _ x0若設(shè)為切線的傾角，則有k =tan .2、速度問(wèn)題：設(shè)在直線上運(yùn)動(dòng)的一質(zhì)點(diǎn)的位置方程為s = s(t) ( t表示時(shí)刻)，又設(shè)當(dāng)t為t0時(shí)刻時(shí)，位置在s=s(t0)處，問(wèn)：質(zhì)點(diǎn)在t =t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度是多少?為此，可取to近鄰的時(shí)刻t，t - to，也可取t : to，在由to到t這一段時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的平均速度為s-s(to),顯然當(dāng)t與to越近，用s一睨0)代替to的瞬時(shí)速度的效果越佳，特別地，當(dāng)t > tot -tot-to時(shí)，s(t) -S(to) >某常值V。，那么Vo必為to點(diǎn)的

9、瞬時(shí)速度，此時(shí)，t toVo3、同理可討論質(zhì)量非均勻分布的細(xì)桿的線密度問(wèn)題,設(shè)細(xì)桿分布在0,x上的質(zhì)量m是x的函數(shù)m = m(x)，那么在xo處的線密度為?olim m(x) -m(xo)Xf oX _ Xo二、導(dǎo)數(shù)的定義綜合上幾個(gè)問(wèn)題，它們均歸納為這一極限f (x) _ f (x )lim-(其中x-xo為自變量x在xo的增X 內(nèi)x-xo量，f(X)- f (xo)為相應(yīng)的因變量的增量)，若該極限存在，它就是所要講的導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)y二f(x)在X。點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，且當(dāng)自變量在xo點(diǎn)有一增量x( x x仍在該鄰域中)時(shí)，函數(shù)相應(yīng)地有增量Ay，若增量比極限:lim y即lim f(X) 一 f

10、(Xo)存在，就稱(chēng)其值為 x_px z x -xo=f (x)在x = x。點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記為f (x0)， ydydxx =xor df或或Xxodxf(Xo) = limf (X) _ f (Xo)等等，這時(shí)，也稱(chēng) y二X X。f(x)在X = X。點(diǎn)可導(dǎo)或有導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)存在1 :導(dǎo)數(shù)的常見(jiàn)形式還有:f (Xo)=limf(Xo ：x) - f(Xo)；f (Xo)俯 f(Xo h)-f(Xo)h Qhf (Xo)*m f(xo) f(xo h)h )o2： E反映的是曲線在xo,x上的平均變化率，而 f (X) = dydxXK是在點(diǎn)Xo的變化率，它反映了函數(shù)y=f(x)隨x > xo而

11、變化的快慢程度3：這里dydx待到后面再討論X =Xo與dfdxdy與f 是一個(gè)整體記號(hào)，而不能視為分子dy或df與分母dx，dx dx4 :若極限眞總即lim他X >Xof (Xo)不存在，就稱(chēng) y二f (x)在x = Xo點(diǎn)不可導(dǎo)特別地，若X Xolim =:，也可稱(chēng)y = f (x)在x =xo的導(dǎo)數(shù)為：，因?yàn)榇藭r(shí)y = f(x)在xo點(diǎn)的切線存在，它是垂直于x軸的直線X =x0.若y二f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)的每一點(diǎn)處均可導(dǎo)， 就稱(chēng)y二f (x)在I內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)-X. I ,均有一 導(dǎo)數(shù)值f (x)，這時(shí)就構(gòu)造了一新的函數(shù)， 稱(chēng)之為y = f (x)在I內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，記為y = fX)

12、，或y ， dy df (x)等dx dxf (x =x) - f (x) 卡.f (x h) - f (x)事實(shí)上， y = lim或y =lim送一？Axh注5 :上兩式中，x為I內(nèi)的某一點(diǎn)，一旦選定，在極限過(guò)程中就為不變，而lx與h是變量.但在導(dǎo)函數(shù)中，x是變量.6: y = f (x)在x = xo的導(dǎo)數(shù)f (xo)就是導(dǎo)函數(shù)y = f (x)在x = x°點(diǎn)的值，不要認(rèn)為是7 :為方便起見(jiàn)，導(dǎo)函數(shù)就稱(chēng)為導(dǎo)數(shù)，而f (xo)是在xo點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).【例1】 設(shè)f(o)=o，證明欲f(x)X二 A，那么 A = f (0).證明：因?yàn)閒(x) f (o)(x)x 0xlim f(X)

13、 f(叭 AX 0x - o所以 A = f (0).【例2】若f (X)在Xo點(diǎn)可導(dǎo),問(wèn):f(Xo hl""" > ？解:f(X。h) - f(X。- h)f (Xoh) - f(Xo)f (Xo) _ f (Xo _ h)hh> f (Xo) f (Xo) =2f (Xo).反過(guò)來(lái)，亦證明：f(Xoh)g-h)>f(xo).2h三、求導(dǎo)數(shù)舉例【例3】求函數(shù)f(x)二C( c為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)解：在f (X)二c中，不論X取何值，起其函數(shù)值總為 c，所以，對(duì)應(yīng)于自變量的增量X，有'7 = 0=lj m 7 = 0，即(C) =0.注：這里是

14、指f(x)二c在任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)均為0,即導(dǎo)函數(shù)為0.解: f(a)=limxf x - an nx - an 1n _2n _2nJn Jlim(x ax 亠 亠a x a ) = na 即 f (a) = na x anJ亦即(xn)= nanl，若將a視為任一點(diǎn)，并用x代換，即得f (x) (xn nx注：更一般地，f(x)為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)為 f (x)，由此可見(jiàn), 1 1 1 13*("【例5】求f (x)二sin x在x = a點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).解：f (a)二 limsinx sina 二 cos a，即(sin x) x 二 cosaX)ax - a-同理：若視a為任意值，并用 x代

15、換，使得f (x)二cosx，即(sin xf = cosx.注：同理可證:(cosx) = -sin x 【例6】求f (x) = ax (a0, a = 1)的導(dǎo)數(shù)解:f(x)“im f(x h) f(x)“imhjhhT hi P"円0也(1)叫。ga(1 + P)b1 二axl na logae所以(ax)二 ax In a .注：特別地,xx(e ) -e .【例7】求 f(x)=logax (a 0,a=1)的導(dǎo)數(shù)解：f(X)*mf(x h)-f(x)h_0= lim loga(x h) -logax h-S)hloga(1 )=lim-h 30h=limh 0x1 lo

16、gad 巧x1 logae =x1xln a注1：等最后講到反函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，可將log ax作為xa的反函數(shù)來(lái)求導(dǎo);2 :一般地說(shuō)，求導(dǎo)有四步:一、給出=x ；、算出：y ；三、求增量比空；心x四、求極限.” 13、(In x) .x【例8】討論f (x)二x在X =0處的導(dǎo)數(shù)解：考慮 lim f(0 h) f(0)=l尸 hlim=lim sgn h，由§ 1.4 例 4 知 lim sgn h 不存在，故 x 在 x = 0 hj h0點(diǎn)不可導(dǎo).然而，lim sgn h = -1及l(fā)im sgnh =1，這就提出了一個(gè)單側(cè)導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題，一般地，若 h” _0h” 40lim f(Xo

17、 h) f(xo)，即 lim 凹 些mh0 -0hx jxq 0 x - Xoh 0-0f(Xo h) - f(X。)即I i mx Ho _0f (X) 一 f (Xo)存在，就稱(chēng)其值為f(x)在X = Xo x Xo點(diǎn)的右(左)導(dǎo)數(shù)，并記為f (X。)f (x0 h) - f (x0)(f _(X°)，即 f (X°)=1即.0h怙 f(x) f(X0)x 0 X - Xof (Xo+h)-f(Xo) limh 0 -0lim 心"0).XF -0X - Xo定理1 : f (x)在x = x0點(diǎn)可導(dǎo) 二f (x)在X = X。點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)均存在，且相

18、等，即f _(Xo) = f . (Xo).注1：例8 f(x)的左導(dǎo)數(shù)為-1，右導(dǎo)數(shù)為1因?yàn)?1=1，所以在x = 0點(diǎn)不可導(dǎo);2:例8也說(shuō)明左可導(dǎo)又右可導(dǎo)，也不能保證可導(dǎo)；3 :左、右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為單側(cè)導(dǎo)數(shù)；FF4 :若f (x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且在x=a點(diǎn)右可導(dǎo)，在x=b點(diǎn)左可導(dǎo)，即f.(a), f_(b)存在，就稱(chēng)f (x)在a,b上可導(dǎo).四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義由前面的討論知：函數(shù)y = f(x)在x=x°的導(dǎo)數(shù)f(xo)就是該曲線在x = x°點(diǎn)處的切線斜率k，即k = f (xo)，或f(Xo) = t an ,為切線的傾角.從而，得切線方程為=切線方程為:X =

19、x0 .過(guò)切點(diǎn)P(xo,y。)，且與P點(diǎn)切線垂直的直線稱(chēng)為y = f(x)在Po點(diǎn)的法線.如果f(X。)= 0，法線的斜率為1 、f (Xo)，此時(shí)，法線的萬(wàn)程為:y 一 y。1EXXo).3T3Ty-y。=f (X0)(x-X0)若 f (X0)八二或一 2如果f(Xo)=o,法線方程為X=Xo.【例9】求曲線科仝在點(diǎn)P(xo,yo)處的切線與法線方程解：由于(X3)=3x2 X兇=3x°2，所以y=x3在P(Xo ,yo)處的切線方程為:(x - Xo)1當(dāng)Xo = o時(shí)，法線方程為：y-yo2(x-xo)3xo當(dāng)Xo =o時(shí)，法線方程為：X = o.五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間

20、的關(guān)系定理2：如果函數(shù)y二f (x)在x = X。點(diǎn)可導(dǎo)，那么在該點(diǎn)必連續(xù).證明：由條件知：lim y = f (xo)是存在的，其中= x - Xo,厶y = f (x) - f (xo), 心T Ax_ y由 §1、5 定理 1(i)n =f"(Xo)+a ( a 為無(wú)窮小)n = f "(xo)Ax(也x Z顯然當(dāng)也XT o時(shí)，有O ,所以由§、9定義1 "，即得函數(shù)y = f (X)在x = Xo點(diǎn)連續(xù)，證畢.注1：本定理的逆定理不成立，即連續(xù)未必可導(dǎo)反例：y = x在x = O點(diǎn)連續(xù)，但不可導(dǎo).【例1O】求常數(shù)a,b使得f (x) =

21、 «x_ Oax b在x ： Ox =O點(diǎn)可導(dǎo).lim f (x)二 lim f(x)二 f (O)x Q 亠x=O 解：若使f (x)在x = O點(diǎn)可導(dǎo)，必使之連續(xù)，故=e° 二 a O b 二 b = 1.又若使f(x)在x=O點(diǎn)可導(dǎo)，必使之左右導(dǎo)數(shù)存在，且相等，由函數(shù)知，左右導(dǎo)數(shù)是存在的，且f _(o)=Jim/1、o(ax b) - eaa o - x_o0x 0=1所以若有a =1，則f _(0) = f (0)，此時(shí)f (x)在x二0點(diǎn)可導(dǎo)，所以所求常數(shù)為a 二 b 二1.§ 2.2函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則一、內(nèi)容要點(diǎn)1. 函數(shù)的線性組合、積與商

22、的求導(dǎo)法則U、. U - U(au 二 I ) = au 二丨.(u ) = u ：亠u()2 ；2. 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 魚(yú)du;dx du dx2. 小結(jié)基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)婁公式：1) 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；2) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則；3) 反函數(shù)的求導(dǎo)法則；4) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求：1. 掌握函數(shù)的線性組合、積與商的求導(dǎo)法則與復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t教學(xué)注意點(diǎn)：1. 牢記x , 6%,1 nx, C 0 x, t a nx, C 0 x, Se (x, C Sex, arcsin x, arccos x, arctan x, ar

23、ccotx, sinh x, cosh x等15個(gè)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，必須做到“倒背如流”2. 在求導(dǎo)法則中，復(fù)合函數(shù)在鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則是中心，應(yīng)用時(shí)一要弄清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，做到不遺漏，不重復(fù)；二是在每步求導(dǎo)時(shí)要弄清關(guān)于哪一個(gè)變量求導(dǎo)(即使這個(gè)變量不明顯出現(xiàn))，熟練掌握的關(guān)鍵是多做練習(xí).主要內(nèi)容：定理1 ：若函數(shù)u(x)和v(x)在點(diǎn)Xo都可導(dǎo)，貝y f (x) =u(x) _ v(x)在xo點(diǎn)也可導(dǎo)，且f (xo)二 U(Xo) _V (xo).證明：lim -f(x) -f (Xo)=limU(X)_v(x) -U(Xo) -V(Xo)X >Xox - XoX JXox - Xo= limU

24、(x) -U(Xo)-limV(x) -V(Xo)=u(Xo) 士V (Xo)x >Xox XoX >XoX Xo所以 f(X。)(X。)-V(Xo).注1 :本定理可推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)上去2 :本定理的結(jié)論也常簡(jiǎn)記為(U _ V)丄_ V I定理2 :若u(x)和v(x)在x =x0點(diǎn)可導(dǎo)，貝y f (x) =u(x)v(x)在X點(diǎn)可導(dǎo)，且有證明：lim f(x) f(x°)lim u(x)v(x) u(X0)V(X°)x >x0X - X0x_AX - Xou(x)v(x) u(Xo)V(X) u(Xo)V(X)u(Xo)V(Xo) =limx &g

25、t;xox _ x0u(X)u(Xo)V(x) -V(Xo)=limv(x) lim u(x0)-x %x -x0x汽x -x0f(Xo) =U(Xo)V(Xo) U(Xo)V(Xo).= limu(x)-u(xo)x >x0xx0v(x) V(X0) lim v(x) u(x0) limX %X 內(nèi) x X0=u (Xo)v(Xo) U(Xo)V(Xo)即 f(X。)=U (Xo)V(Xo) U(X°)V(Xo).注1：若取v(x)三C為常數(shù)，則有：(cu)-cu ；2 :本定理可推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積上去，例如:(uvw) = u vw uvw ucw(uvws) =

26、u vws uvws uvw s uvw 等.定理3 :若u(x), v(x)都在X=X0點(diǎn)可導(dǎo)，且V(X0) = O，則在x0點(diǎn)也可導(dǎo)，且 v(x)f (Xo)二u (Xo)v(Xo) -u(Xo)V(Xo)V2(Xo)證明:u(x) u(Xo)f(X)f(Xo)v(x) V(Xo)u(X)V(Xo) u(x°)v(x)limlimlimx%X -xox-%X-xoxXo(x-x0)v(x)v(x0)= limu(X)u(Xo)J-u(Xo)V(X)V(Xo)1x >xox-x0 v(x)x - x0v(x)v(x0)=u (x0 )1V(X°)-U(X°

27、)V(Xo)1V2 (Xo )u (Xo)v(x。)-U(X°)V (Xo)V2(Xo)即 f (Xo)二u(Xo)v(Xo) -U(Xo)V (Xo)V2(Xo)1 1注1 ：本定理也可通過(guò) f(x) =u(x) ，及的求導(dǎo)公式來(lái)得;V(X)V(X)2 :本公式簡(jiǎn)化為(叭Vu V - UV2 ；V3 :以上定理13中的X。，若視為任意，并用 X代替，使得函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)函數(shù)公【例1】、 2設(shè) f (x) = x 2 . x ，求 f(X).'X解:= (x)(2 一 x) -1x3=113 X【例 2】設(shè) f (x)二 xeX |n x，求 f (x).解：f (

28、x)二(xeX In x)二(x) ex In x x(eX) In x xeX (In x)X |丄X 丄X 1=e I n x xe I n x xex=ex (1 In x xln x).【例3】、八 F1(tan x)一 2 ，cos X1(cta n)一 2sin x(secx)二 secx tan x,(cscx) - - cscx etan x反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理1 ：設(shè)y = f (x)為x V:(y)的反函數(shù)，若(y)在y0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào)，且'(yopJ 0，f (Xo)證明：f(X)-f(X。)yy。1lim-lim-limx 氐x -x07(y)"

29、(y0)y”- ：(y) - (y-)y -y-1 1®(v)-®(Vo) 一A(Vo)l i my >yoy_yo則f (x)在Xo (即f(y。)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù))，且:(yo)1所以f(Xo)注 1 : X x0 二y； y0，因?yàn)?y)在y0點(diǎn)附近連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào);1dy 1dv dx2:若視Xo為任意，并用X代替，使得f(X)或，其中，一均為整體記號(hào),申(y)dX (dX)dX dy(dy)各代表不同的意義；3: f (X)和:(y)的均表示求導(dǎo)，但意義不同；4 :定理1即說(shuō)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)；5 :注意區(qū)別反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與商的導(dǎo)數(shù)公式.【例1】求y二

30、arcsin x的導(dǎo)數(shù),解：由于 y = arcsinx, x -1,1，是 x = sin y,2 2y ,的反函數(shù)，由定理1 得:n n, 1 1(arcs inx)(sin y) cosy1 _ 1 ,1-si n2y 1 - x2注1：同理可證：(arccosx) =一, (arctanx) =2 ,(arcctanx) =2 ；Jx21 + x1 + xji2: arcs in x arccosx 二 arcta n x arcc tan x 二2【例2】求y =logax的導(dǎo)數(shù)(a 0,M).解：利用指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，自己做 二復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題是最最常見(jiàn)的問(wèn)題，對(duì)

31、一復(fù)合函數(shù)往往有這二個(gè)問(wèn)題: 可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)如何求？復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式解決的就是這個(gè)問(wèn)題1是否可導(dǎo)？ 2即使定理2 (復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)：如果u二(x)在= x0點(diǎn)可導(dǎo)，且y=f(u)在u = u0 = (x0)點(diǎn)也證明:X = xg點(diǎn)可導(dǎo)，且一dxx=Xo= f （ug）（Xg），或f（X）x = f（5）（Xg）lim C(X)-f( Wim f(u)-f(u。)3 一(xg)X XcJ"x Xgu UgX X。=limu Ugf（u）-f（u°） lim "X）（Xg）=f（ug）（Xg）JXgu -UgX Xo所以f（"X），二 f （Ug）（Xg）

32、.注1：若視Xg為任意，并用X代替，便得導(dǎo)函數(shù):df( ：(x)dx卡 dy dy du或dx du二 f ( (x)(x)，或f(x) = f C(x)：(x)dX2 : f （ （X）與f（ （X）不同，前者是對(duì)變量 u =（X）求導(dǎo)，后者是對(duì)變量 X求導(dǎo),注意區(qū)別3 :注意區(qū)別復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)與函數(shù)乘積的求導(dǎo)4:復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)可推廣到有限個(gè)函數(shù)復(fù)合的復(fù)合函數(shù)上去，如:f(g(h(x) > f (g(h(x) g(h(x) h (x)等.1【例3】求y = arctan的導(dǎo)數(shù).x11解：y = arctan 可看成arctanu與u復(fù)合而成,XX” 1 1 ,(arctanu)亍，(_)

33、=x, 1 ” 二 y = (arcta n) x【例4】求y = x '' （為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)解： y=x = ex 是 y=eu， u-l nx復(fù)合而成的.所以 y = (x ")二(e") ( "v) (In x)這就驗(yàn)證了前面§ 2、1的例4.由此可見(jiàn)，初等函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)必須熟悉 （i）基本初等函數(shù)的求導(dǎo)；（ii）復(fù)合函數(shù)的分解；（iii）復(fù)合函 數(shù)的求導(dǎo)公式；只有這樣才能做到準(zhǔn)確在解題時(shí)，若對(duì)復(fù)合函數(shù)的分解非常熟悉，可不必寫(xiě)出中間變量，而直接寫(xiě)出結(jié)果【例 5】y - 1 - x2，求 y .解: _ 1 1y =(.1_X2) =(

34、1 X2)221-X2(1-x2)=1-x2【例1 -sin x6】y = e ，求 y .解:V37y =(e =e 知(、1 -sinx) =ejT_s"m(1 s i rx)【例解:【例解:【例解:J - si rx1 1 _s i x e2 cox1 -si rx1 cox e2 .1 -si rx27】y =arcsin(2cos(x -1)，求 y .y = (arcs in (2cos(x22 21 -4cos (x -1)2-2sin(x -1)1.221 -4cos (x -1)8】.1 -2cos(x2 -1)22-sin(x2 -1) (x2 -1)2x24xs

35、in(x -1),1 - 4cos2 (x2 -1)(2cos(x2 _1)xy = ln(ln(ln tan -),2xln(ln tan )1xIn (I n tan-)(In(In tanIn tan tan2 2xln(ln tan ), x In tan2x(In tang（噸In (I n tan) In tan2 2XJt2 a1111122 XXXXcos -tanIn tanIn In tan2222sin xx-x【例 9】sh x = (e-)2, x In tan2In In tan2x. x2e -e (-1)11 r X .心e e ,2即 shx 二 chx.同理

36、， chx 二 shx.10】y = In(x，1 x2)，求 y .y = In( x + 丁1 +x2)=1 fx + 寸1 + x2)"1 +1(1 +X2廠x 1X22 _1 X21(12xe1x T x2x2. 1同理： (ln(x , x2 -1)Jx2 -1=(archx).(c)、0(2)(sin x)二 cosx(4)(cosx)二-sin x(tan x) = sec x(6)(cot x)二- csc2 X(secx) = secx tan x(8)(cscx) - - cscx cot X(ax) Jaxl na(10)(ex)二 ex初等函數(shù)的求導(dǎo)公式1、常

37、數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式:(1)(3)(5)(7)(9)(12)(11)(ln x) = 1x(13)(arcsin x)- 訥(14)(arccosx)=1 - x2(15)(arctanx)二 11x2(16)(arc cot x)二(17)(shx) = chx(18)(chx) = shx(19)1陽(yáng) h2x(20)(arcshx)二(In(x 、x21)x21(21)(arcchx)二(ln(x x-1)(22)1(arcthx ) = ( ln )21 -x1 -x22、函數(shù)的四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則:設(shè) u = u(x), V = v(x)，則(i) (u _v) =u _v1 x2

38、-1(ii) (cu)" = cu(iii) (uv) = u v uvu u v - uv*(iv) ( )"=2 (v = 0)vv3、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:設(shè) y 二 f(u),u= (x)= y = f(：(x)的導(dǎo)數(shù)為:f(x) = f (x)(X)或df( (x)dx§ 2.3_df(u) du 高階導(dǎo)數(shù)dydy du卡或dxdu dxd申(x)u =(X).dx一、內(nèi)容要點(diǎn)1. 高階導(dǎo)數(shù)的定義；2. 一些特殊函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式；3. 兩函數(shù)乘積高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茲公式二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求：1. 了解和會(huì)求高階導(dǎo)數(shù)；2. 知道萊布尼茲求導(dǎo)公式:n(

39、n)k (n _k) (k)(uv)Cnuvk z0教學(xué)注意點(diǎn)：要求學(xué)生記住高階導(dǎo)數(shù)(ex)(n)二ex;(sinx)(n)(1)(n)(")n n!()=X主要內(nèi)容：xn1n 兀(n)nn二 sin(x2 )； (cosx) cos(x )；譏(廿5一1)!是有用的.；(In x)前面講過(guò)，若質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程s =s(t)，則物體的運(yùn)動(dòng)速度為v(t) = s (t)，或v(t) = ds，而加dt度a(t)是速度v(t)對(duì)時(shí)間t的變化率，即a(t)是速度v(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)：“、 dvd ,ds- - a(t)：dtdt' dt導(dǎo)數(shù)，這樣就產(chǎn)生了高階導(dǎo)數(shù)，一般地，先給出下列

40、定義:()或二v(t) =(s(t)'，由上可見(jiàn)，加速度是s(t)的導(dǎo)函數(shù)的定義：若函數(shù)y = f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)在X。點(diǎn)可導(dǎo)，就稱(chēng)f (x)在點(diǎn)xo的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)y = f(x)在點(diǎn)x0處的二階導(dǎo)數(shù)，記為f ”(x0)，即limf (x) - f (冷)=f (x0)，此時(shí)，也稱(chēng)函數(shù) y = f (x)X X。在點(diǎn)X。處二階可導(dǎo).注1：若y二f (x)在區(qū)間I上的每一點(diǎn)都二次可導(dǎo)，則稱(chēng)f (X)在區(qū)間I上二次可導(dǎo)，并稱(chēng)f (x), I為f (X)在I上的二階導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)二階導(dǎo)數(shù)；2 :仿上定義，由二階導(dǎo)數(shù)f ”(x)可定義三階導(dǎo)數(shù)f”(x)，由三階導(dǎo)數(shù) f”(x)可定義四階導(dǎo)數(shù)

41、f(4) (x)，一般地，可由n-1階導(dǎo)數(shù)f(z(x)定義n階導(dǎo)數(shù)f (n)(x)；dny dxn或d-fdxnX 0與 f (n)(n) d y 或 d f .與f (X)，y(X)，存或扔；4 :開(kāi)始所述的加速度就是 S對(duì)t的二階導(dǎo)數(shù)，依上記法，可記d-2 或:-s (t)；dt5 :未必任何函數(shù)所有高階都存在；6 :由定義不難知道，對(duì) y = f (X)，其導(dǎo)數(shù)(也稱(chēng)為一階導(dǎo)數(shù))的導(dǎo)數(shù)為二階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為四階導(dǎo)數(shù)， 一般地，n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為n階導(dǎo)數(shù)，否則, 因此，求高階導(dǎo)數(shù)是一個(gè)逐次向上求導(dǎo)的過(guò)程，無(wú)須其它新方法，只用前面的求導(dǎo)方法就可以了.【例 1

42、】y = ax2 bx c，求 y , y : y(4).解: y =2ax b = y =2a = y = 0, y(4) =0.解:I- xxXy e , y =e , y =e ,y(4) =ex，顯然易見(jiàn)，對(duì)任何n ,有 y(n)【例2】y二ex，求各階導(dǎo)數(shù)即(ex)(n) =ex.【例3】y二sin x，求各階導(dǎo)數(shù)解：y 二sin x,y =cosx 二 sin(x )2y - -s i nx 二 s i nX 二)二 s i nX 2)2訊Jiny = _cosx 二-si nX )=sinX 亠 亠)二sinX 3)2 2 2y(4)二 s i nx = s i nX 2 二)=

43、s i nX 4)2一般地，有(n)(n)-y = sin(x n )，即 (si x)(二 s i nXn ).2 2同樣可求得(co x)(n) =cosX + n 二).2【例4】y =ln(1 x)，求各階導(dǎo)數(shù)解:1 1n *,y 廠，y市，y1 2(1 x)3 ， (1 x)4般地，有即【例解：(ln(1x)(n)(n -1)!(1 x)n5】y=x'為任意常數(shù)，求各階導(dǎo)數(shù)y=x 八, y2)xJ, y十_2)(_3才,一般地，y(n) _- 1)(亠_2)(亠-n T)xn即(x")二叫-1)(-2) C -n 1)xJ.(i) 當(dāng)J = k為正整數(shù)時(shí),a)n ：

44、k 時(shí)，(xk)(n)二 k(k1)(k2) (k - n 1)xkai ；n =k時(shí)，(xk)(k)二 k!(= n!)；n k 時(shí)，(xk)(n) =0 ；(ii)當(dāng)J為正整數(shù)時(shí)，必存在一自然數(shù)k,使得當(dāng)nk, (x")(n) 在x = 0處不存在.33 13 1 -1如：y = x2,y x2 , yx 2,然而，x 2在x =0處是無(wú)意義，即說(shuō)明2 2 23y =2x2在x"處無(wú)導(dǎo)數(shù)，或【例6】y = ex COSX，求y解:y = ex cosx ex( -sin x)二 ex(cosx - sin x)，y 二 ex(cosx-sinx) ex(-sin x-c

45、osx)二 ex(-2sinx)， y - -2(exsinx excosx) - -2ex(sinx cosx).注：高階導(dǎo)數(shù)有如下運(yùn)算法則:(l)u(x) _v(x)(n) =u(x) _ V(x),(uv) ' = u V uv ,(uv) " j v 2u V uv , (uv) J u v 3u V 3u v uvu(x)v(x)(n)= u(n)v(0) - C；u(nJ)v - c'u(n)v"- C：u(nJVk)+1+ u(0)v(n).其中 u(0)= u,v(0) =v.Leibinz 公式【例7】上例中，求y(5).解： y(5) =

46、(excox)(5) =(ex) cox C；(ex)(c ox) C；(ex) ( cox)C3 (ex) (cosx)C； (ex) (cosx) ex(cosx)=ex cosx 5ex(-sinx) 10ex(-cosx) 10exsinx 5ex cosx ex(-sinx)= excosx5sinx10cosx 10sinx 5cosxsinx= ex(4sinx -4cosx)=4ex(sin x - cosx).【例8】驗(yàn)證y=Ge興+C2e*滿足關(guān)系式：y"_&2y = 0 (其中G,C2為任意常數(shù))解:*Qknjx“2丄 a 2-Jx=c1e-c2e:y

47、qe c2e所以 y” = &2(Ge趙+c2e_趙)=h2y =y“_k2y = 0.【例x 39】驗(yàn)證y滿足關(guān)系式:x 42y2 =(y-1)y 解:y亠=1丄x 4 x 4* 1y2 -(x4)又 2y 2 _(y _1)y =2(x -4)4 x _4 (x -4)=0dydx所以 2y 2 _(y -1)/-0 .§ 2.4隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、內(nèi)容要點(diǎn)1.由一般方程F (x,y) =0確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) dy :方程兩端關(guān)于x求導(dǎo)并解出 dx、 x = (t)dy dy (t)3. 由參數(shù)方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ：=屮dx dx A(t)4

48、. 相關(guān)變化率：由變量 x(t)與y(t)滿足的關(guān)系式 F(t)(t) =0導(dǎo)出兩個(gè)變化率x (t)與y (t)之間的關(guān)系，從而由其中的一個(gè)變化率求得另一個(gè)變化率二、教學(xué)要求和注意點(diǎn) 教學(xué)要求：1. 會(huì)求由一般方程與參數(shù)方程所確定的隱函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)2. 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，會(huì)建立兩個(gè)相依變量之間的關(guān)系式，進(jìn)而解決相關(guān)變化率問(wèn)題. 教學(xué)注意點(diǎn)：要了解隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與顯函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在形式上的不同:顯函數(shù)y = f (x)的導(dǎo)數(shù)y 般是自變量x的表達(dá)式；由一般方程F(x,y)=0確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) y 中通常既含數(shù) 3則通dx常是參數(shù)t的表達(dá)式，對(duì)求這兩類(lèi)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)尤其需要學(xué)生加強(qiáng)練習(xí)，這是很多學(xué)生

49、常 常出錯(cuò)的地方.主要內(nèi)容：一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以前，我們所接觸的函數(shù)，其因變量大多是由其自變量的某個(gè)算式來(lái)表示的，比如：2y = x2，5,y=xsinex,z=xlny ey sinx等等，象這樣一類(lèi)的函數(shù)稱(chēng)為顯函數(shù)x但在實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)并不全是如此，設(shè)F(x, y)是定義在區(qū)域 DR2上的二元函數(shù)，若存在一個(gè)區(qū)域I，對(duì)于I中的每一個(gè)x的值，恒有區(qū)間J上唯一的一個(gè)值 y，使之與x一起滿足方程：F(x, y) =0 (1)就稱(chēng)方程(1)確定了一個(gè)定義域?yàn)镮，值域含于J中的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)就稱(chēng)為由方程(1)所確定的隱函數(shù)，若將它記為 y二f(x),xI，則有：在I上，F(xiàn)(x, f(x)三0.21 _5x2【例1】5x ，4y-1 = 0確定了隱函數(shù)：y4【例2】x2 y1能確定出定義在-1,1上的函數(shù)值不小于 0的隱函數(shù)y二用1-x2 ,也能確定出定義在-1,1上的函數(shù)值不大于 0的隱函數(shù)y = -A- x2 .上面求f (x)的過(guò)程是將一個(gè)隱函數(shù)轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)，也稱(chēng)為隱函數(shù)的顯化注1：在不產(chǎn)生誤解的情況下，其取值范圍