1、對(duì)平面內(nèi)任意的兩個(gè)向量的充要條件是：存在唯一的實(shí)數(shù)，使由該定理可以得到平面內(nèi)三點(diǎn)共線(xiàn)定理：三點(diǎn)共線(xiàn)定理：在平面中A、B、P三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件是：對(duì)于該平面內(nèi)任意一點(diǎn)的O，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x,y使得：且。特別地有：當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB之外時(shí)，筆者在經(jīng)過(guò)多年高三復(fù)習(xí)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用平面向量中三點(diǎn)共線(xiàn)定理與它的兩個(gè)推廣形式解決高考題，模擬題往往會(huì)使會(huì)問(wèn)題的解決過(guò)程變得十分簡(jiǎn)單！本文將通過(guò)研究一些高考真題、模擬題和變式題去探究平面向量中三點(diǎn)共線(xiàn)定理與它的兩個(gè)推廣形式的妙用,供同行交流。例1（06年江西高考題理科第7題）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若，且A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)，（設(shè)

2、直線(xiàn)不過(guò)點(diǎn)O），則S200=（ ）A100B101C200D201解：由平面三點(diǎn)共線(xiàn)的向量式定理可知：a1+a200=1,故選A。點(diǎn)評(píng)：本題把平面三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題與等差數(shù)列求和問(wèn)題巧妙地結(jié)合在一起，是一道經(jīng)典的高考題。例2 已知是的邊上的任一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則的最小值是解：點(diǎn)P落在的邊BC上 B，P,C三點(diǎn)共線(xiàn)由基本不等式可知：，取等號(hào)時(shí)，符合所以的最小值為9點(diǎn)評(píng)：本題把平面三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題與二元函數(shù)求最值、基本不等式巧妙地結(jié)合在一起，較綜合考查了學(xué)生基本功.圖2例3（湖北省2011屆高三八校第一次聯(lián)考理科）如圖2，在A(yíng)BC中，點(diǎn)P是BC上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）AB. C. D. 解：三點(diǎn)共線(xiàn)，

3、又，故選C例4（07年江西高考題理科）如圖3，在A(yíng)BC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若 m，n，則mn的值為圖3解：因?yàn)镺是BC的中點(diǎn)，故連接AO，如圖4，由向量加法的平行四邊形法則可知：，圖4又三點(diǎn)共線(xiàn)，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線(xiàn)定理可得：例5（廣東省2010屆高三六校第三次聯(lián)）如圖5所示：點(diǎn)是的重心，、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且、三點(diǎn)共線(xiàn)設(shè)，證明：是定值；證明：因?yàn)镚是的重心，圖5又三點(diǎn)共線(xiàn)，為定值3圖6例6（汕頭市東山中學(xué)2013屆高三第二次模擬考試）如圖6所示,在平行四邊形ABCD中，,CE與BF相交于G點(diǎn)，記，則_AB. C. D. 分析：本題是以平面幾

4、何為背景，為載體，求向量的問(wèn)題，所以我們很容易聯(lián)想到點(diǎn)F、G、B以及E,G,C三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，可用平面內(nèi)三點(diǎn)共線(xiàn)定理求解。解：三點(diǎn)共線(xiàn)，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線(xiàn)定理可得：存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x使得,又三點(diǎn)共線(xiàn)，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線(xiàn)定理可得：存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)使得，由兩式可得：PABCMN點(diǎn)評(píng)：本題的解法中由兩組三點(diǎn)共線(xiàn)（F、G、B以及E,G,C三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上），利用平面內(nèi)三點(diǎn)共線(xiàn)定理構(gòu)造方程組求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本題的運(yùn)算復(fù)雜，達(dá)到了簡(jiǎn)化解題過(guò)程的效果。圖7例6的變式一：如圖7所示，在三角形ABC中,AMAB=13,ANAC=14,BN與CM相交于點(diǎn)P，且，試用、表示解：三點(diǎn)

5、共線(xiàn)，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線(xiàn)定理可得：存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x,y使得,ANAC=14,又三點(diǎn)共線(xiàn)，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線(xiàn)定理可得：存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù),使得AMAB=13，由兩式可得：圖8例6的變式二：如圖8所示：直線(xiàn)l過(guò)ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)AC與BD的交點(diǎn)O，與AD邊交于點(diǎn)N,與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M。又知 m，n，則mn=解：因?yàn)辄c(diǎn)O兩條對(duì)角線(xiàn)AC與BD的交點(diǎn)，所以點(diǎn)O為AC的中點(diǎn) m，n又三點(diǎn)共線(xiàn)，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線(xiàn)的向量式定理可得：定理的推廣：推廣1：如圖9所示：已知平面內(nèi)一條直線(xiàn)AB,兩個(gè)不同的點(diǎn)O與P.圖9點(diǎn)O,P位于直線(xiàn)AB異側(cè)的充要條件是：存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x,y使得：且。推廣2：如圖10所示：已

6、知平面內(nèi)一條直線(xiàn)AB,兩個(gè)不同的點(diǎn)O與P.圖10 點(diǎn)O,P位于直線(xiàn)AB同側(cè)的充要條件是：存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x,y使得：且。例7 已知點(diǎn)P為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且(),若點(diǎn)P落在的內(nèi)部，如圖11,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（ ）A B. C. D. 圖11解：點(diǎn)P落在的內(nèi)部A,P兩點(diǎn)在直線(xiàn)BC的同一側(cè)，由推論2知：，所以選DABOM圖12例8（06年湖南高考題文科） 如圖12：OMAB，點(diǎn)P由射線(xiàn)OM、線(xiàn)段OB及AB的延長(zhǎng)線(xiàn)圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）.且，則實(shí)數(shù)對(duì)（x,y）可以是（ ）AB. C. D. 解：由題目的條件知：點(diǎn)O與點(diǎn)P在直線(xiàn)AB的同側(cè)，所以，所以A,D兩選項(xiàng)不符合。對(duì)于選項(xiàng)B、C,都有,

7、但當(dāng)時(shí)，如果點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上，則由平面內(nèi)三點(diǎn)共線(xiàn)的向量式定理可知：如果點(diǎn)P在直線(xiàn)OM上，OMAB可知：，由平面向理共線(xiàn)定理可知：存在唯一的實(shí)數(shù)t,使得，又因?yàn)辄c(diǎn)P在兩平行直線(xiàn)AB、OM之間，所以，故B選不符合。對(duì)選項(xiàng)C同理可知：當(dāng)時(shí)，故符合，所以選C例9（06年湖南高考題理科）如圖13,OMAB,點(diǎn)P在由射線(xiàn)OM、線(xiàn)段OB及AB的延長(zhǎng)線(xiàn)圍成的陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)動(dòng),且,當(dāng)時(shí),的取值范圍是.圖13解：當(dāng)時(shí)，如果點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上，則由平面內(nèi)三點(diǎn)共線(xiàn)的向量式定理可知：如果點(diǎn)P在直線(xiàn)OM上，OMAB可知：，由平面向理共線(xiàn)定理可知：存在唯一的實(shí)數(shù)t,使得，又因?yàn)辄c(diǎn)P在兩平行直線(xiàn)AB、OM之間，所以，

8、所以實(shí)數(shù)y的取值范圍是：練習(xí)：3.，點(diǎn)在邊上，設(shè)，則（）1、平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1),B(-1,3),若點(diǎn)C(x, y)滿(mǎn)足=+，其中,R且+=1，則x, y所滿(mǎn)足的關(guān)系式為（）A3x+2y-11=0B(x-1)2+(y-2)2=5 C2x-y=0 Dx+2y-5=02、 已知是的邊上的任一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則的最小值是3、在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線(xiàn)AC與BD的交點(diǎn)，E是BC邊的中點(diǎn)，連接DE交AC于點(diǎn)F。已知,則（ ）A BC D4、(2014屆東江中學(xué)高三年級(jí)理科第三次段考）在平行四邊形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，DE交AF于H，記、分別為a、b，則()Aab BabCabDab5、（2008年廣東卷）在平行四邊形中，與交于點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)與交于點(diǎn)若，則（ ）ABCD6、在平行四邊形ABCD中，,CE與BF相交于點(diǎn)G,記，則()AB