標(biāo)題：非零導(dǎo)數(shù)與等價無窮小_第1頁
標(biāo)題：非零導(dǎo)數(shù)與等價無窮小_第2頁
標(biāo)題：非零導(dǎo)數(shù)與等價無窮小_第3頁
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1、導(dǎo)數(shù)與等價無窮小主部的確定光信1001 李書軼提要：本文借助導(dǎo)數(shù)，提出了尋找無窮小主部的幾個有效方法。關(guān)鍵詞：無窮小，等價，導(dǎo)數(shù)，復(fù)合引言 課堂上畢老師提出了一些關(guān)于無窮小等價關(guān)系的思考題，經(jīng)過自己的探索，發(fā)現(xiàn)了一些具有簡化計算的結(jié)果。定理1 設(shè)函數(shù)在點處有非零導(dǎo)數(shù)，。若時，則有.證 由于導(dǎo)數(shù)存在，故有，其中當(dāng)時，為無窮小量。于是有 ，從而 。 證畢。幾個簡單應(yīng)用如下：考慮當(dāng)時取，則由，推出；取，則由，推出；【教師評注】 此結(jié)果在連續(xù)函數(shù)一節(jié)得到解決，只要函數(shù)在點處連續(xù)以及便可以。但是以上證明方法有意思，可取。定理2 在點處有非零導(dǎo)數(shù)，。則有.【教師評注】 此結(jié)果在臺勞公式一節(jié)得到推廣。提前發(fā)

2、現(xiàn)此結(jié)果，能力很強。證 由于存在，故有，其中當(dāng)時，為無窮小量。于是有 。證畢?？紤]當(dāng)時的幾個熟知結(jié)果： 取，則；取，則； 取，則；再考慮幾個作業(yè)中的結(jié)果：時，；時，當(dāng)導(dǎo)數(shù)等于零時，上述方法失效，但是經(jīng)過反復(fù)試驗，我歸納出以下法則。定理3 設(shè)函數(shù)在點處有零導(dǎo)數(shù)，。則有.其中m的大小與最終確定的無窮小的階數(shù)相等。證明：由洛必達法則 設(shè)f(x)故例如（下同）時，； 考慮到導(dǎo)數(shù)計算對函數(shù)有一定的化簡的作用，于是推測以下法則。定理4 若時，函數(shù)等價且u,v均可導(dǎo)，則有 證明：有洛必達法則故例如時，和由以上的結(jié)論我們還可以得出一個判定無窮小是否存在主部的方法由于主部存在必然階數(shù)m也存在，同樣的如果m可以求出必然是主部存在才行定理5在若存在極限則存在主部參考文

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