1、庫(kù)侖定律7-1 把總電荷電量為Q的同一種電荷分成兩部分，一部分均勻分布在地球上，另一部分均勻分布在月球上，使它們之間的庫(kù)侖力正好抵消萬有引力，已知地球的質(zhì)量M5.98´l024kg，月球的質(zhì)量m=7.34´l022kg。（1）求 Q 的最小值；（2）如果電荷分配與質(zhì)量成正比，求Q的值。解：（1）設(shè)Q分成q1、q2兩部分，根據(jù)題意有 ，其中即 。求極值，令，得 ，（2）， 解得， ，7-2 三個(gè)電量為 q 的點(diǎn)電荷各放在邊長(zhǎng)為 l 的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，電荷Q（Q0）放在三角形的重心上。為使每個(gè)負(fù)電荷受力為零，Q值應(yīng)為多大？解：Q到頂點(diǎn)的距離為 ，Q與-q的相互吸引力為

2、，兩個(gè)-q間的相互排斥力為 據(jù)題意有 ，即 ，解得：電場(chǎng)強(qiáng)度q0圖7-3allPOx7-3 如圖7-3所示，有一長(zhǎng)l的帶電細(xì)桿。（1）電荷均勻分布，線密度為+l，則桿上距原點(diǎn)x處的線元dx對(duì)P點(diǎn)的點(diǎn)電荷q0 的電場(chǎng)力為何？q0受的總電場(chǎng)力為何？（2）若電荷線密度l=kx，k為正常數(shù)，求P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：（1）線元dx所帶電量為，它對(duì)q0的電場(chǎng)力為q0受的總電場(chǎng)力 時(shí)，其方向水平向右；時(shí)，其方向水平向左（2）在x處取線元dx，其上的電量，它在P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為 方向沿x軸正向。7-4一半徑為R的絕緣半圓形細(xì)棒，其上半段均勻帶電量+q，下半段均勻帶電量-q，如圖7-4所示，求半圓中心處電場(chǎng)強(qiáng)度。解

3、：建立如圖所示的坐標(biāo)系，由對(duì)稱性可知，+q和-q在O點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度沿x軸的分量之和為零。取長(zhǎng)為dl的線元，其上所帶電量為圖7-4+R， 方向如圖 y方向的分量 7-5一半徑為R的半球殼，均勻帶有電荷，電荷面密度為s ，求球心處電場(chǎng)強(qiáng)度。解：沿半球面的對(duì)稱軸建立x軸，坐標(biāo)原點(diǎn)為球心O。在球面上取半徑為r、寬為dl的環(huán)帶，如圖，其面積為，所帶電荷 dq在O處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為， 因?yàn)榍蛎嫔纤协h(huán)帶在O處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同，7-6一無限大均勻帶電薄平板，面電荷密度為s ，平板中部有一半徑為R的圓孔, 如圖7-6所示。求圓孔中心軸線上的場(chǎng)強(qiáng)分布。（提示：利用無窮大板和圓盤的電場(chǎng)及場(chǎng)強(qiáng)疊加原理）圖7-6R

4、Ps解：利用補(bǔ)償法，將圓孔看作由等量的正、負(fù)電荷重疊而成，即等效為一個(gè)完整的帶電無窮大平板和一個(gè)電荷面密度相反的圓盤疊加而成。無窮大平板的電場(chǎng)為 圓盤激發(fā)的電場(chǎng)為 ，其中為平板外法線的單位矢量。圓孔中心軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度為 電通量7-7電場(chǎng)強(qiáng)度為的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其方向與半徑為R的半球面的對(duì)稱軸平行，如圖7-7所示，求通過該半球面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量。解：作半徑為R的平面S與半球面S構(gòu)成一個(gè)閉合曲面，由于該閉合曲面內(nèi)無電荷，由高斯定理圖7-7R7-8一邊長(zhǎng)為a的立方體置于直角坐標(biāo)系中，如圖7-8所示。現(xiàn)空間中有一非均勻電場(chǎng)，E1、E2為常量，求電場(chǎng)對(duì)立方體各表面及整個(gè)立方體表面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量。ABCOEFG

5、Dxyz圖7-8解： 整個(gè)立方體表面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量 高斯定理7-9有兩個(gè)同心的均勻帶電球面，內(nèi)外半徑分別為R1和R2，已知外球面的電荷面密度為+s ，其外面各處的電場(chǎng)強(qiáng)度都是零。試求：（1）內(nèi)球面上的電荷面密度；（2）外球面以內(nèi)空間的電場(chǎng)分布。解：作一半徑為r的同心球面為高斯面。設(shè)內(nèi)球面上的電荷面密度為。（1）處：因?yàn)橥馇蛎嫱獾碾妶?chǎng)強(qiáng)度處處為零，由高斯定理有，得 （2）由高斯定理 即 方向沿徑向反向7-10一對(duì)無限長(zhǎng)的均勻帶電共軸直圓筒，內(nèi)外半徑分別為R1和R2，沿軸線方向單位長(zhǎng)度的電量分別為l1和l2。（1）求各區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)分布；（2）若l1-l2，情況如何？畫出此情形下的E r的關(guān)系曲線。

6、解：（1）作一半徑為r、長(zhǎng)為h的共軸圓柱面為高斯面，由高斯定理有 ，得 得 （2）時(shí)，7-11設(shè)半徑為R的球體，電荷體密度 r kr（r £ R），其中k為常量，r為距球心的距離。求電場(chǎng)分布，并畫出E r的關(guān)系曲線。解：作一半徑為r的同心球面為高斯面。根據(jù)高斯定理 即 得 即 得 7-12一厚度為d=0.5cm的無限大平板，均勻帶電，電荷體密度 r 1.0´10-4C/m3，求（1）平板內(nèi)外的電場(chǎng)分布；（2）討論平板中央以及平板內(nèi)與其表面相距0.1cm處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：（1）設(shè)中心平面為S0。根據(jù)對(duì)稱性，在距S0處為x處對(duì)稱地取兩面積均為的底面作一圓柱形高斯面，其側(cè)面與板面

7、垂直（如圖所示），即側(cè)面的電通量為零。時(shí) ， 時(shí) ， （2）平板中央 ， 平板內(nèi)與表面相距0.1cm處， V/m7-13一個(gè)電荷體密度為 r（常量）的球體。（1）證明球內(nèi)距球心r 處一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為；（2）若在球內(nèi)挖去一個(gè)小球，如圖7-13所示，證明小球空腔內(nèi)的電場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng)，式中是球心到空腔中心的距離矢量。OORO證：（1）作與球體同心的球面為高斯面，根據(jù)高斯定理 即 矢量式 得證（2）填充法：設(shè)在空腔中填充電荷密度分別為和-的電荷球體，形成電荷密度分別為和-的大球體和小球體。對(duì)腔內(nèi)任一點(diǎn)P（如圖），由（1）的結(jié)果有大球 ； 小球 得證靜電場(chǎng)的環(huán)路定理7-14若電場(chǎng)中某一部分電場(chǎng)線的形狀是以

8、O點(diǎn)為中心的同心圓弧。證明該部分上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度都應(yīng)與該點(diǎn)離O點(diǎn)的距離成反比，即E1 r1 = E2 r2 。Oqr1r2圖7-14證：作一回路abcd，如圖。根據(jù)靜電場(chǎng)環(huán)路定理即 ， 得證7-15證明：在靜電場(chǎng)中，凡電場(chǎng)線都是平行直線的地方，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小必定處處相等。（提示：利用環(huán)路定理和高斯定理）證：設(shè)電場(chǎng)方向水平向右。在一電場(chǎng)線上任取兩點(diǎn)1和2，作兩底面足夠小的圓柱面，如圖。由高斯定理 即同一電場(chǎng)線上任意兩點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度相等。作一矩形回路abcd，其中ab、cd與電場(chǎng)線垂直，bc、da與電場(chǎng)線平行，即有由靜電場(chǎng)環(huán)路定理 即不同電場(chǎng)線上任意兩點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度相等。所以命題成立。電場(chǎng)力的功和電勢(shì)

9、能7-16邊長(zhǎng)為a的正三角形, 三個(gè)頂點(diǎn)上各放置q，-q和-2q的點(diǎn)電荷，求此三角形重心上的電勢(shì)。將一電量為+Q的點(diǎn)電荷由無限遠(yuǎn)處移到重心上，外力做功多少？解：頂點(diǎn)到重心的距離，重心的電勢(shì)為 外力所做的功 圖7-17Q1Q2OQ3dd7-17如圖7-17所示，三個(gè)點(diǎn)電荷Q1、Q2、Q3沿一直線等距放置，且Q1=Q3=Q，其中任一點(diǎn)電荷所受合力均為零。求Q1、Q3固定情況下，（1）Q2在O點(diǎn)時(shí)的電勢(shì)能；（2）將Q2從O點(diǎn)推到無窮遠(yuǎn)處，外力所做的功。解：（1）Q1和Q3在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為 因?yàn)镼1所受合力為零，即 ，解得 ，Q2在O點(diǎn)的電勢(shì)能 （2）將Q2從O點(diǎn)推到無窮遠(yuǎn)處，外力所做的功 7-18

10、一半徑為R的無限長(zhǎng)帶電棒，其內(nèi)部的電荷均勻分布，電荷體密度為r 。（1）求電場(chǎng)分布；（2）如圖7-18所示（沿棒軸向俯視），若點(diǎn)電荷q0由a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，則電場(chǎng)力做功為多少？解：（1）取長(zhǎng)為l、半徑為r且與帶電棒同軸的圓柱面為高斯面。由高斯定理Rr2r1ab圖7-18 即 得 得 （2）半徑相同處的電勢(shì)相等 電勢(shì)7-19題7-18中，若取棒的表面為零電勢(shì)，求空間的電勢(shì)分布。解：取棒表面為零電勢(shì)，即時(shí)，時(shí)，7-20如圖7-20所示，電荷面密度分別為 +s 和 -s 的兩塊“無限大”均勻帶電平行平面，分別與x軸相交于x1= a 和x2= -a兩點(diǎn)。設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O處電勢(shì)為零，求空間的電勢(shì)分布。解： ：

11、；：；：。xa-aO-s+s圖7-20 ： ：7-21兩根半徑分別為R1=3.0´10-2m和R2=0.10m的長(zhǎng)直同軸圓柱面，帶有等量異號(hào)的電荷，兩者的電勢(shì)差為450V。求圓柱面單位長(zhǎng)度上所帶電荷l 。解：由高斯定理可求得兩柱面間的電場(chǎng)強(qiáng)度 ，解得 ROA圖7-22BCDE7-22如圖7-22所示的帶電細(xì)棒，電荷線密度為l，其中BCD為半徑為R的半圓，AB=DE=R，求（1）半圓上的電荷在半圓中心O處產(chǎn)生的電勢(shì)；（2）直細(xì)棒AB和DE在半圓中心O處產(chǎn)生的電勢(shì)；（3）O處的總電勢(shì)。解：（1）取電荷元 ，（2）在AB上距O點(diǎn)為r處，取電荷元 。同理DE在點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì) （3）7-23半徑分別為R1和R2的兩個(gè)同心球面，分別帶有電荷q1和q2。求：（1）各區(qū)域電勢(shì)分布，并畫出分布曲線；（2）兩球面間電勢(shì)差；（3）若R1=10cm、R2=30cm、q1=10-8C、q2=1.5´10-8C，離球心20cm和50 cm處的電勢(shì)為多少？解：（1）由高斯定理可得電場(chǎng)分布為