1、第 3 講函數(shù)的表示方法知識梳理知識梳理一、函數(shù)的三種表示法：圖象法、列表法、解析法1圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的關(guān)系；2列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系；3解析法：就是把兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用等式來表示。二、分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中，對應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)。重、難點突破重、難點突破重點：掌握函數(shù)的三種表示法-圖象法、列表法、解析法，分段函數(shù)的概念難點：分段函數(shù)的概念，求函數(shù)的解析式重難點：掌握求函數(shù)的解析式的一般常用方法：（1）若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)）若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)） ，則用待定系數(shù)法；，則用待定系數(shù)

2、法；（2）若已知復(fù)合函數(shù)）若已知復(fù)合函數(shù))(xgf的解析式，則可用換元法或配湊法；的解析式，則可用換元法或配湊法；問題 1已知二次函數(shù))(xf滿足564) 12(2xxxf，求)(xf方法一：換元法令)(12Rttx，則21tx，從而)(955216)21(4)(22Rttttttf所以)(95)(2Rxxxxf方法二：配湊法因為9) 12(5) 12(410) 12(564) 12(222xxxxxxxf所以)(95)(2Rxxxxf方法三：待定系數(shù)法因為)(xf是二次函數(shù)，故可設(shè)cbxaxxf2)(，從而由564) 12(2xxxf可求出951cba、，所以)(95)(2Rxxxxf（3）

3、若已知抽象函數(shù)的表達(dá)式，則常用解方程組消參的方法求出若已知抽象函數(shù)的表達(dá)式，則常用解方程組消參的方法求出)(xf問題 2：已知函數(shù))(xf滿足xxfxf3)1(2)(，求)(xf因為xxfxf3)1(2)(;以x1代x得xxfxf13)(2)1(由聯(lián)立消去)1(xf得)0(2)(xxxxf熱點考點題型探析熱點考點題型探析考點 1：用圖像法表示函數(shù)例 1 （09 年廣東南海中學(xué)）一水池有2個進(jìn)水口,1個出水口,一個口的進(jìn)、出水的速度如圖甲、 乙所示.某天0點到6點,該水池的蓄水量如圖丙所示給出以下3個論斷：進(jìn)水量出水量蓄水量甲乙丙（1）0點到3點只進(jìn)水不出水； （2）3點到4點不進(jìn)水只出水； （

4、3）4點到6點不進(jìn)水不出水則一定不正確的論斷是(把你認(rèn)為是符合題意的論斷序號都填上) .解題思路根據(jù)題意和所給出的圖象，對三個論斷進(jìn)行確認(rèn)即可。解析由圖甲知，每個進(jìn)水口進(jìn)水速度為每小時 1 個單位，兩個進(jìn)水口 1 個小時共進(jìn)水 2 個單位，3 個小時共進(jìn)水 6 個單位，由圖丙知正確；而由圖丙知，3 點到 4 點應(yīng)該是有一個進(jìn)水口進(jìn)水，出水口出水，故錯誤；由圖丙知，4 點到 6 點可能是不進(jìn)水不出水，也可能是兩個進(jìn)水口都進(jìn)水，同時出水口也出水，故不一定正確。從而一定不正確的論斷是（2）【名師指引】 象這類給出函數(shù)圖象讓考生從圖象獲取信息的問題是目前高考的一個熱點， 它要求考生熟悉基本的函數(shù)圖象特

5、征，善于從圖象中發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)。高考中的熱點題型是“知式選圖”和“知圖選式” 。例 2 (2015湖北)函數(shù)|1|lnxeyx的圖象大致是()解析 D；當(dāng)1x時，1) 1(xxy，可以排除 A 和 C；又當(dāng)21x時，23y，可以排除 B時間011時間021時間034665考點 2：用列表法表示函數(shù)例 1 （09 年山東）設(shè) f、g 都是由 A 到 A 的映射，其對應(yīng)法則如下表（從上到下） ：映射 f 的對應(yīng)法則是表 1原象1234象3421映射 g 的對應(yīng)法則是表 2則與)1 (gf相同的是（）A)1 ( fg；B)2( fg；C)3( fg；D)4( fg解析A；根據(jù)表中的對應(yīng)關(guān)系得，1)4()

6、1 ( fgf，1)3()1 ( gfg考點 3：用解析法表示函數(shù)題型 1：由復(fù)合函數(shù)的解析式求原來函數(shù)的解析式例 1 （04 湖北改編）已知)11(xxf=2211xx，則)(xf的解析式可取為解題思路這是復(fù)合函數(shù)的解析式求原來函數(shù)的解析式，應(yīng)該首選換元法解析 令txx11，則11ttx，12)(2tttf.12)(2xxxf.故應(yīng)填212xx【名師指引】求函數(shù)解析式的常用方法有：換元法（ 注意新元的取值范圍） ；待定系數(shù)法（已知函數(shù)類型如：一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等） ；整體代換（配湊法） ；構(gòu)造方程組（如自變量互為倒數(shù)、已知)(xf為奇函數(shù)且)(xg為偶函數(shù)等） 。題型 2：求二次函數(shù)

7、的解析式例2（普寧市城東中學(xué) 09屆高三第二次月考） 二次函數(shù))(xf滿足xxfxf2)() 1(，且1)0(f。求)(xf的解析式；在區(qū)間 1 , 1上，)(xfy 的圖象恒在mxy 2的圖象上方，試確定實數(shù)m的范圍。解題思路（1）由于已知)(xf是二次函數(shù)，故可應(yīng)用待定系數(shù)法求解； （2）用數(shù)表示形，可得求)(2xfmx對于 1 , 1x恒成立，從而通過分離參數(shù)，求函數(shù)的最值即可。原象1234象4312解析設(shè)2( )(0)f xaxbxc a，則22(1)( ) (1)(1)()2f xf xa xb xcaxbxcaxab與已知條件比較得：22,0aab解之得，1,1ab 又(0)1fc

8、，2( )1f xxx由題意得：212xxxm 即231mxx對1,1x 恒成立，易得2min(31)1mxx 【名師指引】如果已知函數(shù)的類型，則可利用待定系數(shù)法求解；通過分離參數(shù)求函數(shù)的最值來獲得參數(shù)的取值范圍是一種常用方法。新題導(dǎo)練考點 4：分段函數(shù)題型 1：根據(jù)分段函數(shù)的圖象寫解析式例 1 (07 年湖北)為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室用藥物消毒法進(jìn)行消毒。已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中含藥量 y（毫克）與時間 t（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y 與 t 的函數(shù)關(guān)系式為ay1161（a 為常數(shù)） ，如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：（）從藥物釋放開媽，每立方米空氣中的含藥

9、量 y（毫克）與時間 t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式為；（）據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到 0.25 毫克以下時，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過小時后，學(xué)生才能回到教室。思路點撥根據(jù)題意，藥物釋放過程的含藥量 y（毫克）與時間 t 是一次函數(shù)，藥物釋放完畢后，y 與 t 的函數(shù)關(guān)系是已知的，由特殊點的坐標(biāo)確定其中的參數(shù)，然后再由所得的表達(dá)式解決（）解析 （）觀察圖象，當(dāng)1 . 00 t時是直線，故ty10；當(dāng)1 . 0t時，圖象過) 1 , 1 . 0(所以a1 . 01611，即1 . 0a，所以1 . 0,)161(1 . 00 ,101 . 0tttyt（）6 .

10、016116125. 01615 . 01 . 01 . 0taa，所以至少需要經(jīng)過6 . 0小時題型 2：由分段函數(shù)的解析式畫出它的圖象例 2 (2009上海)設(shè)函數(shù)54)(2xxxf，在區(qū)間6, 2上畫出函數(shù))(xf的圖像。思路點撥需 將來絕對值符號打開，即先解0542 xx，然后依分界點將函數(shù)分段表示，再畫出圖象。解析222452156( )45(45)15xxxxf xxxxxx 或,如右上圖.【名師指引】分段函數(shù)的解決辦法是分段處理，要注意分段函數(shù)的表示方法，它是用聯(lián)立符號將函數(shù)在定義域的各個部分的表達(dá)式依次表示出來，同時附上自變量的各取值范圍。函數(shù)的表示方法基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練：基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)

11、練：1 （09 年廣州高三年級第一學(xué)期中段考）函數(shù) xfy 的圖象如圖 2 所示.觀察圖象可知函數(shù) xfy 的定義域、值域分別是（）A.6 , 20 , 5,5 , 0；B., 0,6 , 5C.6 , 20 , 5, 0；D.5 , 2, 5 解析 C；由圖象可以看出，應(yīng)選擇 C2 （09 年惠州第一次調(diào)研考）某工廠從 2000 年開始，近八年以來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前四年年產(chǎn)量的增長速度越來越慢， 后四年年產(chǎn)量的增長速度保持不變， 則該廠這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y與時間t的函數(shù)圖像可能是（）解析 B；前四年年產(chǎn)量的增長速度越來越慢，知圖象的斜率隨 x 的變大而變小，后四年年產(chǎn)量的增長速度保持不變，

12、知圖象的斜率不變，選 B例 2 （14 年江蘇改編）二次函數(shù)cbxaxy2（xR R）的部分對應(yīng)值如下表：x32101234y60466406則不等式02cbxax的解集是解析)3 , 2(；由表中的二次函數(shù)對應(yīng)值可得，二次方程02cbxax的兩根為2 和3，又根據(jù))2()0( ff且)3()0(ff可知0a，所以不等式02cbxax的解集是)3 , 2(3 （2004湖南改編）設(shè)函數(shù)2,0,( )2,0.xbxc xf xx若)0()3(ff,2) 1(f,則關(guān)于x的方程xxf)(的解的個數(shù)為解析 3；由)0()3(ff,2) 1(f可得0, 3cb，從而方程xxf)(等價于2)(0 xfx

13、x或xxxx302，解xxxx302得到0 x或2x，從而得方程xxf)(的解的個數(shù)為 3O-52625xy圖 248yot48yot48yot48yotCDAB5 （06 全國卷二改編）若xxf2cos3)(sin，則 )2sin(xf解析x2cos3； )2sin(xf22(sin )3cos23(1 2sin)2sin2fxxxx所以2( )22f xx,因此22(cos )2cos2(2cos1)33cos2fxxxx9 （09 年潮州金山中學(xué)）已知函數(shù)223 (0)( ) 1 (0)xxf xxx，則 1ff解析 2；由已知得到21) 1() 1()312()1 (2ffff10 （

14、06 山東改編）設(shè), 2),1(log. 2,2)(221xxxxfx則不等式02)(xf的解集為解析),5()2 , 1 (；當(dāng)2x時，由02)(xf得221x，得21 x當(dāng)2x時，由02)(xf得2) 1(log22x，得5x4 （05 江蘇）已知ba,為常數(shù)，若34)(2xxxf，2410)(2xxbaxf，則ba 5=解析 2；因為34)(2xxxf，所以)34()42(3)(4)()(2222bbxaabxabaxbaxbaxf又2410)(2xxbaxf，所以，24341042122bbaaba解得31ba或71ba，所以25ba5對，、Rba記babbaabaxm，a，函數(shù))(c

15、os,sina)(Rxxxxmxf的最小值是（）A.1；B.22；C.22；D.1解析 C；作出xxfsin)(和xxgcos)(的圖象即可得到函數(shù))(cos,sina)(Rxxxxmxf的最小值是226 （中山市 09 屆高三統(tǒng)測）已知函數(shù))()()(21xfxfxf 1 ,21)21, 0 xx其中1)21(2)(21xxf，22)(2xxf。作出函數(shù))(xf的圖象；解析 函數(shù))(xf圖象如下：說明：圖象過21, 0、1 ,21、0 , 1點；在區(qū)間21, 0上的圖象為上凸的曲線段；在區(qū)間1 ,21上的圖象為直線段綜合提高訓(xùn)練：綜合提高訓(xùn)練：例 1 （09 年廣東南海中學(xué)）一水池有2個進(jìn)水

16、口,1個出水口,一個口的進(jìn)、出水的速度如圖甲、 乙所示.某天0點到6點,該水池的蓄水量如圖丙所示給出以下3個論斷：進(jìn)水量出水量蓄水量甲乙丙（1）0點到3點只進(jìn)水不出水； （2）3點到4點不進(jìn)水只出水； （3）4點到6點不進(jìn)水不出水則一定不正確的論斷是(把你認(rèn)為是符合題意的論斷序號都填上) .解題思路根據(jù)題意和所給出的圖象，對三個論斷進(jìn)行確認(rèn)即可。解析由圖甲知，每個進(jìn)水口進(jìn)水速度為每小時 1 個單位，兩個進(jìn)水口 1 個小時共進(jìn)水 2 個單位，3 個小時共進(jìn)水 6 個單位，由圖丙知正確；而由圖丙知，3 點到 4 點應(yīng)該是有一個進(jìn)水口進(jìn)水，出水口出水，故錯誤；由圖丙知，4 點到 6 點可能是不進(jìn)水不

17、出水，也可能是兩個進(jìn)水口都進(jìn)水，同時出水口也出水，故不一定正確。從而一定不正確的論斷是（2）【名師指引】 象這類給出函數(shù)圖象讓考生從圖象獲取信息的問題是目前高考的一個熱點， 它要求考生熟悉基本的函數(shù)圖象特征，善于從圖象中發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)。高考中的熱點題型是“知式選圖”和“知圖選式” 。時間011時間021時間0346657 （09 年惠州第二次調(diào)研考） 如圖， 動點P在正方體1111ABCDABC D的對角線1BD上 過點P作垂直于平面11BB D D的直線，與正方體表面相交于MN，設(shè)BPx，MNy，則函數(shù)( )yf x的圖象大致是（）ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO解

18、析 B；過點P作垂直于平面11BB D D的直線，當(dāng)點P運動時，線與正方體表面相交于MN，兩點形成的軌跡為平行四邊形， 可以看出x與y的變化趨勢是先遞增再遞減，并且在x的中點值時y取最大8（06 重慶） 如圖所示， 單位圓中BA的長為x，( )f x 表示弧BA與弦 AB 所圍成的弓形面積的 2 倍，則函數(shù)( )yf x的圖像是（）解析 D；如圖所示，單位圓中AB的長為x，( )f x 表示弧AB與弦 AB 所圍成的弓形面積的 2 倍，當(dāng)AB的長小于半圓時，函數(shù)( )yf x的值增加的越來越快，當(dāng)AB的長大于半圓時，函數(shù)( )yf x的值增加的越來越慢，所以函數(shù)( )yf x的圖像是 D.9（

19、06 福建） 已知( )f x是二次函數(shù)， 不等式( )0f x 的解集是(0,5),且( )f x在區(qū)間1,4上的最大值是 12。（I）求( )f x的解析式；（II）是否存在實數(shù),m使得方程37( )0f xx在區(qū)間( ,1)m m內(nèi)有且只有兩個不等的實數(shù)根？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由。解析（I）( )f x是二次函數(shù)，且( )0f x 的解集是(0,5),可設(shè)( )(5)(0).f xax xa( )f x在區(qū)間1,4上的最大值是( 1)6 .fa，由已知，得612,a 22,( )2 (5)210 ().af xx xxx xR（II）方程37( )0f xx等價于方

20、程32210370.xx設(shè)32( )21037,h xxx則2( )6202 (310).h xxxxx當(dāng)10(0,)3x時，( )0, ( )h xh x是減函數(shù)；當(dāng)10(,)3x時，( )0, ( )h xh x是增函數(shù)。101(3)10, ()0, (4)50,327hhh 方程( )0h x 在區(qū)間1010(3,),(,4)33內(nèi)分別有惟一實數(shù)根，而在區(qū)間(0,3), (4,)內(nèi)沒有實數(shù)根，所以存在惟一的自然數(shù)3,m 使得方程37( )0f xx在區(qū)間( ,1)m m內(nèi)有且只有兩個不同的實數(shù)根。1(05 遼寧改)一給定函數(shù))(xfy 的圖象在下列圖中，并且對任意) 1 , 0(1a，由

21、關(guān)系式0)(1nnafa得到的數(shù)列na滿足)(0*1Nnaann，則該函數(shù)的圖象是（）ABCD解析A.；令1nnaxay，則( )yf x等價于)(1nnafa，( )yf x是由點1(,)nna a組成，而又知道1nnaa，所以每各點都在 y=x 的上方。6 （09 年潮州金山中學(xué)）設(shè)( )yf x是一次函數(shù)，若 01f且 1 ,4 ,13fff成等比數(shù)列，則 242fffn；解析)32(nn；設(shè)bkxxf)(，由1)0(f得1b，從而1)( kxxf又由 1 ,4 ,13fff成等比數(shù)列得2) 14() 113)(1(kkk，解得2k所以12)(xxf， 242fffn)32( 12 14

22、2 122nnn7 （華僑中學(xué) 09 屆第 3 次月考（09 年中山） ）設(shè) 11xf xx，又記 11,1,2,kkfxf xfxffxk則 2008fx （）A11xx；B11xx；Cx；D1x；解析 C；由已知條件得到xxxxxxfxfxffxf1111111)(1)(1)()(1112，111111)(1)(1)()(1123xxxxxfxfxffxf，xxxxxxfxfxffxf111111)(1)(1)()(3334，xxxffxf11)()(45可見，)(xfn是以 4 為周期的函數(shù)，而45022008，所以，xxfxf)()(420088設(shè)二次函數(shù))(xf滿足)2()2(xfx

23、f,且其圖象在 y 軸上的截距為 1，在 x 軸上截得的線段長為2，求)(xf的解析式。解析17872)(2xxxf；設(shè) f(x)=ax2+bx+c，由 f(x)滿足 f(x2)=f(x2)，可得函數(shù) y=f(x)的對稱軸為 x=2，所以22ba 由 y=f(x)圖象在 y 軸上的截距為 1，可得(0)1f，即 c=1由 y=f(x) 圖象在 x 軸上截得的線段長為2，可得22121212|()4()42bcxxxxx xaa所以聯(lián)立方程組2()42122bcaacba ，可解得27871abc所以 f(x)=178722xx.備選例題 1： (2005江西)已知函數(shù)baxxxf2)(（a，b 為常數(shù)）且方程 f(x)x+12=0 有兩個實根為 x1=