1、衡陽師范學(xué)院 畢業(yè)論文（設(shè)計）題 目：積分不等式的證明及應(yīng)用 所 在 系： 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 號： 08090233 作者姓名： 盛軍宇 指導(dǎo)教師： 肖娟 2012年 4 月 27 日積分不等式的證明及應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)號:08090233 姓名:盛軍宇 指導(dǎo)老師:肖娟 摘要 本文主要研究了如何利用積分中值定理、輔助函數(shù)、以及一些特殊積分不等式等方法證明積分不等式,并通過若干實例總結(jié)有關(guān)積分不等式的證明方法及規(guī)律,討論了一些特殊積分不等式的應(yīng)用.關(guān)鍵詞 積分不等式；中值定理；函數(shù)0. 引言 積分不等式是微積分學(xué)中的一類重要不等式,在數(shù)學(xué)分析

2、中有著廣泛的應(yīng)用,且在考研試卷中會經(jīng)常出現(xiàn).對積分不等式證明方法的介紹,不僅解決了一些積分不等式的證明,而且可以把初等數(shù)學(xué)的知識與高等數(shù)學(xué)的知識結(jié)合起來,拓寬我們的視野,提高我們的發(fā)散思維能力和創(chuàng)新能力.目前國內(nèi)外對該課題的研究比較普遍,主要研究了如何利用微積分相關(guān)知識來解決一些比較復(fù)雜的積分不等式的證明.積分不等式的常用證法有: 定積分的定義、定積分的性質(zhì)、泰勒公式、分部積分法、線性變換等.本文主要從以下幾個方面討論和歸納了一系列積分不等式的證明方法:利用積分中值定理來證積分不等式、利用不等式來證積分不等式、利用微分中值定理來證積分不等式、利用積分中值定理來證積分不等式、利用二重積分來證積分

3、不等式等.1. 積分不等式的證明方法1.1 利用積分第一中值定理證明積分不等式積分第一中值定理(定理1) 若在上連續(xù), 則至少存在一點,使得.積分第一中值定理在證明積分不等式中有著舉足輕重的作用.例1 設(shè)在上可微,而且對于任意,有,求證:對任意正整數(shù)有,其中是一個與無關(guān)的常數(shù).分析 由于目標(biāo)式中一個式子為,另一個式子為,故把按區(qū)間可加性寫成一些定積分的和,并應(yīng)用積分第一中值定理加以證明.證 由定積分的性質(zhì)及積分中值定理,有,又因為在上可微,所以由微分中值定理可知,存在,使得, ,因此 .在抽象函數(shù)的積分不等式中,若出現(xiàn)和號、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等,一般可以利用定積分的定義或區(qū)間可加性,將區(qū)間等分,

4、點也可采用特殊的取法.1.2 利用拉格朗日中值定理證明積分不等式 拉格朗日中值定理(定理2) 若函數(shù)滿足如下條件:在上連續(xù)；在內(nèi)可導(dǎo), 則在內(nèi)至少存在一點,使得.利用拉格朗日中值定理的關(guān)鍵是根據(jù)題意選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)和區(qū)間,使它們滿足拉格朗日定理條件,然后運用拉格朗日公式或等價形式來運算得出所要的結(jié)論.例2 設(shè)在上連續(xù).證明:若,則,.分析 由條件,及與,故想到利用拉格朗日中值定理.證 由拉格朗日中值定理得: 對任意的,.對任意的,.,故.注意到是在上的最大值,所以解題的關(guān)鍵是如何使與聯(lián)系起來,因而不難想到拉格朗日中值定理來證明.1.3 構(gòu)造變上限函數(shù)證明積分不等式作輔助函數(shù),將結(jié)論的積分上限或下

5、限換成,式中相同的字母也換成,移項,使得不等式的一端為零,則另一端為所作的輔助函數(shù),這種方法在證明一些特定類型積分不等式時有重要作用.例3 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),證明不等式.分析 此例若令,則的正負(fù)不易判斷,需進(jìn)一步的改進(jìn).證 由待證的積分不等式構(gòu)造變上限定積分的輔助函數(shù),令顯然,且可導(dǎo),有 ,則在時單調(diào)減小,即有,特別地,即證得不等式.例4 設(shè)函數(shù)在上可微,且當(dāng)時,試證 .證 問題在于證明,令,因為,已知,故當(dāng)時, 記,則,=,于是,故,所以,即.通過上述兩例,我們知道了構(gòu)造變上限函數(shù)證明積分不等式,遇到特殊情況,不能按常規(guī)直接作輔助函數(shù)需要稍微變化一下,有時甚至要在一個題中構(gòu)造兩個輔助函數(shù),以便

6、判斷所作函數(shù)的單調(diào)性.1.4 利用二重積分證明積分不等式在積分不等式的證明中利用定積分與積分變量形式無關(guān)的這一性質(zhì),將定積分的平方項或者定積分之間的乘積轉(zhuǎn)化為積分變量形式不同的定積分之積,把定積分化為二重積分,可以達(dá)到有效的作用.例5 若函數(shù),在上連續(xù),是正值函數(shù),是單調(diào)增加函數(shù),則.該不等式稱為切貝謝夫不等式.分析 只要證即可,而上述式子又可視為累次積分,從而化為二重積分.證 因定積分的值與積分變量無關(guān),故,. 其中,積分區(qū)域.因為定積分與積分變量的形式無關(guān), 所以交換與的位置,得到 將式與式相加,得,由已知, 可知是正值函數(shù),是單調(diào)增加函數(shù),從而與同號, 于是在上,從而,.即.例6 若函數(shù)

7、在上不恒為零且連續(xù)增加,則.證 由于在上,結(jié)論式中的分母均為正值,所以結(jié)論等價于,而 其中,積分區(qū)域因定積分的值與積分變量的形式無關(guān),故又有 將式與式相加,得,由已知,函數(shù)在上連續(xù)增加,從而對任意的,有,故.從以上的積分不等式證明中,可知把定積分化為重積分能巧妙地解決一些積分不等式的證明問題.1.5 借助于判別式來證明積分不等式引入適當(dāng)?shù)膮?shù),構(gòu)造合適的函數(shù),討論參數(shù)的判別式,以便證明所求證的積分不等式.例7 設(shè),且在上連續(xù),試證.分析 可構(gòu)造多項式,利用多項式的性質(zhì)來證明積分不等式.證 由題設(shè)對任意的,考察函數(shù),因為,有,即, 不等式的左端可以看成的二次三項式,且對任意的上述不等式均成立,故

8、判別式,即.用判別式解題的關(guān)鍵是要有一個函數(shù)值恒定（大于或小于零、大于或等于零、小于或等于零）的一元二次方程,而,于是我們構(gòu)造這樣一個方程,再結(jié)合這種情況下的判別式也是一個不等式,便可證明此題.1.6 利用對稱性證明積分不等式命題1 當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于直線對稱時,被積函數(shù)的兩個變量交換位置后,二重積分的值不變.這一條規(guī)律有助于解決一些特定類型的積分不等式的證明.例8 函數(shù)在上取正值且在上連續(xù)試證:,.證 因為關(guān)于直線對稱,從而,所以.由上例可知,在積分不等式的證明過程中,我們可以應(yīng)用基本不等式,它可能起到重要作用.1.7 利用積分第二中值定理的推論證明積分不等式積分第二中值定理的推論:設(shè)函數(shù)在上可

9、積.若為單調(diào)函數(shù),則存在,使得.應(yīng)用這個推論可以較容易地解決某些恒等式與某些不等式的證明.例9 設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞增連續(xù),則.證 假設(shè)函數(shù),顯然在上可積,又函數(shù)在上遞增連續(xù),根據(jù)積分第二中值定理的推論知存在,使得 且式又可變?yōu)?由定積分的幾何意義知,同時,于是, 即,故.2. 一些特殊積分不等式的應(yīng)用2.1 不等式及其應(yīng)用不等式 設(shè)同為單調(diào)遞減或當(dāng)調(diào)遞增函數(shù),則有.若中一個是增函數(shù),另一個為減函數(shù),則不等式變?yōu)?不等式有廣泛應(yīng)用,特別在證明一類積分不等式中發(fā)揮重要作用.例10 設(shè)是上的下凸函數(shù),為上的偶函數(shù)且在上遞增,則,.分析 從所證的不等式看,它有點類似于不等式,如果能夠構(gòu)造出一個單調(diào)函數(shù)滿

10、足不等式的條件,問題就容易解決了,為此構(gòu)造輔助函數(shù),令.證 令,顯然也為上的偶函數(shù),由于是上的下凸函數(shù),故當(dāng),即,即,所以,在上為增函數(shù),由不等式知,可得.2.2 利用不等式證明積分不等式不等式 若在上可積,則.不等式是一個形式簡單,使用方便的積分不等式,在證明某些含有乘積及平方項的積分不等式時頗為有效.例11 已知,在上連續(xù), 為任意實數(shù),求證: 證 式左端第一項應(yīng)用不等式得 同理 .此題證明的關(guān)鍵在將寫成的形式,以便應(yīng)用不等式.2.3 不等式定理3 設(shè)在上連續(xù),且,又是上的連續(xù)凸函數(shù)（指下凸函數(shù)）,則有積分不等式 注 若是上的連續(xù)凹函數(shù),則式中的不等式號反向.定理4 設(shè)在上連續(xù),且,是上的

11、連續(xù)凸函數(shù),則有 注 當(dāng)是上的連續(xù)凹函數(shù)時,式中的不等號反向.例12 設(shè)在上連續(xù),且,則對任意的自然數(shù),有.證 令,那么,故為凹函數(shù),顯然在的定義域內(nèi)有意義,故由定理知,結(jié)論成立.例13 設(shè)是上的正值連續(xù)函數(shù),則對任意的自然數(shù),有.證 令由上例知為凹函數(shù),故由定理知結(jié)論成立.2.4 不等式的應(yīng)用不等式 設(shè)是單調(diào)遞增的,連續(xù)于上,表示的反函數(shù),則,其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng).不等式是一個非常重要的不等式,靈活巧妙地應(yīng)用它,可以使一些較為困難的問題迎刃而解.例14 證明:時,不等式成立.證 設(shè),則單調(diào)并連續(xù),因為,由不等式有,故.2.5 不等式不等式 設(shè)在區(qū)間上, ,連續(xù),一階可導(dǎo),任給,成立不等式,且

12、.若在上單調(diào)遞減,則;若在上單調(diào)遞增上述不等式變號.例15 證明.證 對任意的,因為,所以有;此外,顯然有且函數(shù)在上單調(diào)遞減,從而根據(jù)不等式,知.結(jié)論總之,以上討論的積分不等式的主要證明方法都離不開積分的性質(zhì),主要是通過函數(shù)的可微性和函數(shù)的可積性,利用二重積分、拉格朗日中值定理和積分中值定理來證積分不等式；以及巧妙的利用不等式和不等式等,在實際應(yīng)用中需要結(jié)合各方面靈活使用題中條件或不等式,才會使問題得以正確解決.參考文獻(xiàn)1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社,2001:223.2宋海濤.幾個定積分不等式的證明J.高等數(shù)學(xué)研究,2003,6(4):34-35.3陳興榮,杜家安.關(guān)

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14、北京:高等教育出版社,1993.The proof and application of integral inequalityDepartment of Mathematics and Computational Science Mathematics and Application Mathematics specialtyNumber:08090233 Name:ShengJunyu Instructor:XiaoJuanAbstract: This paper studied to use the integral mean value theorem、the auxiliary function、 some special integral inequality and other methods to prove in