1、類型七：圓中的最值問題例18：圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是 例19(1)已知圓，為圓上的動點，求的最大、最小值(2)已知圓，為圓上任一點求的最大、最小值，求的最大、最小值分析：(1)、(2)兩小題都涉及到圓上點的坐標，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結合解決解：(1)(法1)由圓的標準方程可設圓的參數(shù)方程為（是參數(shù)）則（其中）所以，(法2)圓上點到原點距離的最大值等于圓心到原點的距離加上半徑1，圓上點到原點距離的最小值等于圓心到原點的距離減去半徑1所以所以(2) (法1)由得圓的參數(shù)方程：是參數(shù)則令，得，所以，即的最大值為，最小值為此時所以的最大值為，最小值為(法2)設，則由于是圓上點，

2、當直線與圓有交點時，如圖所示，兩條切線的斜率分別是最大、最小值由，得所以的最大值為，最小值為令，同理兩條切線在軸上的截距分別是最大、最小值由，得所以的最大值為，最小值為例20：已知，點在圓上運動，則的最小值是 .解：設，則.設圓心為，則，的最小值為.練習：1：已知點在圓上運動.（1）求的最大值與最小值；（2）求的最大值與最小值.解：（1）設，則表示點與點（2，1）連線的斜率.當該直線與圓相切時，取得最大值與最小值.由，解得，的最大值為，最小值為.（2）設，則表示直線在軸上的截距. 當該直線與圓相切時，取得最大值與最小值.由，解得，的最大值為，最小值為.2 設點是圓是任一點，求的取值范圍分析一：

3、利用圓上任一點的參數(shù)坐標代替、，轉化為三角問題來解決解法一：設圓上任一點則有，即（）又解之得：分析二：的幾何意義是過圓上一動點和定點的連線的斜率，利用此直線與圓有公共點，可確定出的取值范圍解法二：由得：，此直線與圓有公共點，故點到直線的距離解得：另外，直線與圓的公共點還可以這樣來處理：由消去后得：，此方程有實根，故，解之得：說明：這里將圓上的點用它的參數(shù)式表示出來，從而將求變量的范圍問題轉化成三角函數(shù)的有關知識來求解或者是利用其幾何意義轉化成斜率來求解，使問題變得簡捷方便3、已知點，點在圓上運動，求的最大值和最小值.類型八：軌跡問題例21、基礎訓練：已知點與兩個定點，的距離的比為，求點的軌跡方

4、程.例22、已知線段的端點的坐標是（4，3），端點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程.例23 如圖所示，已知圓與軸的正方向交于點，點在直線上運動，過做圓的切線，切點為，求垂心的軌跡分析：按常規(guī)求軌跡的方法，設，找的關系非常難由于點隨，點運動而運動，可考慮，三點坐標之間的關系解：設，連結，則，是切線，所以，所以四邊形是菱形所以，得又滿足，所以即是所求軌跡方程說明：題目巧妙運用了三角形垂心的性質及菱形的相關知識采取代入法求軌跡方程做題時應注意分析圖形的幾何性質，求軌跡時應注意分析與動點相關聯(lián)的點，如相關聯(lián)點軌跡方程已知，可考慮代入法例24 已知圓的方程為，圓內有定點，圓周上有兩個動點、，使，求矩形

5、的頂點的軌跡方程分析：利用幾何法求解，或利用轉移法求解，或利用參數(shù)法求解解法一：如圖，在矩形中，連結，交于，顯然，在直角三角形中，若設，則由，即，也即，這便是的軌跡方程解法二：設、，則，又，即又與的中點重合，故，即，有這就是所求的軌跡方程解法三：設、，由于為矩形，故與的中點重合，即有，又由有聯(lián)立、消去、，即可得點的軌跡方程為說明：本題的條件較多且較隱含，解題時，思路應清晰，且應充分利用圖形的幾何性質，否則，將使解題陷入困境之中本題給出三種解法其中的解法一是幾何方法，它充分利用了圖形中隱含的數(shù)量關系而解法二與解法三，從本質上是一樣的，都可以稱為參數(shù)方法解法二涉及到了、四個參數(shù)，故需列出五個方程；

6、而解法三中，由于借助了圓的參數(shù)方程，只涉及到兩個參數(shù)、，故只需列出三個方程便可上述三種解法的共同之處是，利用了圖形的幾何特征，借助數(shù)形結合的思想方法求解練習：1、由動點向圓引兩條切線、，切點分別為、，=600，則動點的軌跡方程是 .解：設.=600，=300.，化簡得，動點的軌跡方程是.練習鞏固：設為兩定點，動點到點的距離與到點的距離的比為定值，求點的軌跡.解：設動點的坐標為.由，得，化簡得.當時，化簡得，整理得；當時，化簡得.所以當時，點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓；當時，點的軌跡是軸.2、已知兩定點，如果動點滿足，則點的軌跡所包圍的面積等于 解：設點的坐標是.由，得，化簡得，點的軌跡是以（

7、2，0）為圓心，2為半徑的圓，所求面積為.4、已知定點，點在圓上運動，是線段上的一點，且，問點的軌跡是什么？解：設.，.點在圓上運動，即，點的軌跡方程是.例5、已知定點，點在圓上運動，的平分線交于點，則點的軌跡方程是 .解：設.是的平分線， .由變式1可得點的軌跡方程是.練習鞏固：已知直線與圓相交于、兩點，以、為鄰邊作平行四邊形，求點的軌跡方程.解：設，的中點為.是平行四邊形，是的中點，點的坐標為，且.直線經(jīng)過定點，化簡得.點的軌跡方程是.類型九：圓的綜合應用例25、 已知圓與直線相交于、兩點，為原點，且，求實數(shù)的值分析：設、兩點的坐標為、，則由，可得，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關系求解或因

8、為通過原點的直線的斜率為，由直線與圓的方程構造以為未知數(shù)的一元二次方程，由根與系數(shù)關系得出的值，從而使問題得以解決解法一：設點、的坐標為、一方面，由，得，即，也即：另一方面，、是方程組的實數(shù)解，即、是方程的兩個根，又、在直線上，將代入，得將、代入，解得，代入方程，檢驗成立，解法二：由直線方程可得，代入圓的方程，有，整理，得由于，故可得，是上述方程兩根故得，解得經(jīng)檢驗可知為所求 說明：求解本題時，應避免去求、兩點的坐標的具體數(shù)值除此之外，還應對求出的值進行必要的檢驗，這是因為在求解過程中并沒有確保有交點、存在解法一顯示了一種解這類題的通法，解法二的關鍵在于依據(jù)直線方程構造出一個關于的二次齊次方程

9、，雖有規(guī)律可循，但需一定的變形技巧，同時也可看出，這種方法給人以一種淋漓酣暢，一氣呵成之感例26、已知對于圓上任一點，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍分析一：為了使不等式恒成立，即使恒成立，只須使就行了因此只要求出的最小值，的范圍就可求得解法一：令，由得：且，即，即又恒成立即恒成立成立，分析二：設圓上一點因為這時點坐標滿足方程問題轉化為利用三解問題來解解法二：設圓上任一點，恒成立即恒成立只須不小于的最大值設即說明：在這種解法中，運用了圓上的點的參數(shù)設法一般地，把圓上的點設為()采用這種設法一方面可減少參數(shù)的個數(shù)，另一方面可以靈活地運用三角公式從代數(shù)觀點來看，這種做法的實質就是三角代換例27 有一種大型商品，、兩地都有出售，且價格相同某地居民從兩地之一購得商品后運回的費用是：每單位距離地的運費是地的運費的3倍已知、兩地距離為10公里，顧客選擇地或地購買這種商品的標準是：包括運費和價格的總費用較低求、兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內、曲線外的居民應如何選擇購貨地點分析：該題不論是問題的背景或生活實際的貼近程度上都具有深刻的實際意義和較強的應用意識，啟示我們在學習中要注意聯(lián)系實際，要重視數(shù)學在生產、生活以及相關學科的應用解題時要明確題意，掌握建立數(shù)學模型的方法解：以、所確定的直線為軸，的中點為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，設某地的坐標為，且地居民選擇