1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第十一章：全等三角形一、基礎(chǔ)知識1.全等圖形的有關(guān)概念（1）全等圖形的定義能夠完全重合的兩個圖形就是全等圖形。例如：圖13-1和圖13-2就是全等圖形 圖13-1 圖13-2（2）全等多邊形的定義兩個多邊形是全等圖形，則稱為全等多邊形。例如：圖13-3和圖13-4中的兩對多邊形就是全等多邊形。 圖13-3 圖13-4（3）全等多邊形的對應(yīng)頂點(diǎn)、對應(yīng)角、對應(yīng)邊兩個全等的多邊形，經(jīng)過運(yùn)動而重合，相互重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)，相互重合的邊叫做對應(yīng)邊，相互重合的角叫做對應(yīng)角。（4）全等多邊形的表示例如：圖13-5中的兩個五邊形是全等的，記作五邊形ABCDE五邊形ABCDE（這里

2、符號“”表示全等，讀作“全等于”）。ABBACCEDED 圖13-5表示圖形的全等時，要把對應(yīng)頂點(diǎn)寫在對應(yīng)的位置。（5）全等多邊形的性質(zhì)全等多邊形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等。（6）全等多邊形的識別多邊形相等、對應(yīng)角相等的兩個多邊形全等。2.全等三角形的識別（1）根據(jù)定義若兩個三角形的邊、角分別對應(yīng)相等，則這兩個三角形全等。（2）根據(jù)SSS如果兩個三角形的三條邊分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等。相似三角形的識別法中有一個與（SSS）全等識別法相類似，即三條邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似，而相似比為1時，就成為全等三角形。（3）根據(jù)SAS如果兩個三角形有兩邊機(jī)器夾角分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等

3、。相似三角形的識別法中同樣有一個是與（SAS）全等識別法相類似，即一角對應(yīng)相等而夾這個角的兩邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似，當(dāng)相似比為1時，即為全等三角形。（4）根據(jù)ASA如果兩個三角形的兩個角及其夾邊分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等。（5）根據(jù)AAS如果兩個三角形有兩個角及其中一角的對邊分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等。3.直角三角形全等的識別（1）根據(jù)HL如果兩個直角三角形的斜邊及一條直角邊分別對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等。（2）SSS、SAS、ASA、AAS對于直角三角形同樣適用。判斷兩個直角三角形全等的方法可分為：已知一銳角和一邊或已知兩邊。4.證明三角形全等的方法證明三角形全

4、等的一般方法有四種：“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”。每一種都有給出三個獨(dú)立的條件，在具體問題中，題設(shè)往往只給出一個或兩個條件，其余的需要我們自己去發(fā)掘和證明。判定方法的選擇：已知條件可選擇的判定方法一邊對應(yīng)一角對應(yīng)相等SAS AAS ASA兩角對應(yīng)相等ASA AAS兩邊對應(yīng)相等SAS SSS具體地說，證明角相等的常用方法有：對頂角相等；兩直線平行，同位角、內(nèi)錯角相等；同角（或?qū)牵┑挠嘟牵ㄑa(bǔ)角）相等；角平分線平分的兩角相等；角的等量代換等。證明線段相等的方法有：同一線段；中點(diǎn)的定義；平行四邊形的對邊；等腰三角形的兩腰；邊的等量代換等。為什么“AAA”和“SSA”不能判定兩個三角

5、形全等？這是因?yàn)橛腥齻€角相等，但邊不一定相等，則三角形不一定全等，如圖13-6，可以看出ABC不全等于ADE；同樣，如果兩邊及其中一邊的對角相等，也不能確定三角形全等，如圖13-7，AB=AB,AC=AD, B=B，但ABC與ABD不全等。AAEDCBDCB 圖13-6 圖13-75.證明兩個三角形全等如何入手證明兩個三角形全等一般采用“綜合法”與“分析法”兩種。（1）綜合法，就是從已知條件入手，進(jìn)行推理，逐步向要證的結(jié)論推進(jìn)，如從已知條件中推導(dǎo)出對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角相等，從而推導(dǎo)出三角形全等。同時，也可以從三角形全等推導(dǎo)出對應(yīng)邊、對應(yīng)角的相等，達(dá)到正題的目的。（2）分析法，即從欲證的結(jié)論出發(fā)，分析

6、結(jié)論成立的必需條件，各種條件聯(lián)系已知，尋找它們之間的關(guān)系，逐步靠攏已知條件，從而分析出已知與結(jié)論的因果關(guān)系。證題時，分析法與綜合法結(jié)合起來使用更加有效，證三角形全等時，既要有明顯的已知條件，又要有隱藏的條件，通過綜合法羅列已知條件，再通過分析法找出隱藏條件，從而得證。二、經(jīng)典例題例1：（1）已知一個三角形有兩邊的長分別為2cm，13cm，又知這個三角形的周長為偶數(shù)，求第三邊長。（2）在ABC中，已知A+C=2B,C-A=80°，求 C?？键c(diǎn)透視 （1）考察三邊關(guān)系的應(yīng)用；（2）考察三角形內(nèi)角和定理參考答案 解：（1）設(shè)第三邊為xcm，則 即 周長的范圍是 即 又L為偶數(shù) 即第三邊長為

7、13cm （2） 又 由 得 例2：已知，在ABC中，AD是角平分線，于E，求：和考點(diǎn)透視 考察三角形內(nèi)角和定理及推論、角平分線、高線的性質(zhì)參考答案 解：由三角形內(nèi)角和定理，得 又AD平分 （三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和） 在中 （直角三角形的兩個銳角互余） 例3：已知：在和中 于D，于D，且求證：考點(diǎn)透視 如果兩個三角形有兩個角和這兩個角夾邊的高對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等。參考答案 證明：在和中 （全等三角形對應(yīng)邊相等） 在和中 三適時訓(xùn)練（一）精心選一選1在ABC中，A:B:C=1:2:3，且ABCDEF，BC=EF，點(diǎn)A的對應(yīng)頂點(diǎn)是D，下列說法正確的是（ ）

8、A. C與F互余 B. C與D互余 C. B與F互余 D. A與E互余2如圖，ABC中，AB=AC，CE、BD分別是AB、AC邊上的中線，AMCE于M，ANBD于N，則圖中全等三角形共有（ ）A. 3對 B. 4對 C. 5對 D. 6對3如圖，ACD中，ABCD且BDCB，BCE和ABD都是等腰Rt，下列結(jié)論 ABCDBE； ACBABD； CBEBED； ACEADE；正確的是（ ）A. B. C. D. 4如圖，ABE和ADC是ABC分別沿AB，AC邊翻折180°形成的，若1:2:3=28:5:3，則度數(shù)為（ ）A. 60° B. 70° C. 80

9、6; D. 90°5下列命題正確的是（ ）A. 兩邊和第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等B. 有兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等C. 有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等D. 一條直角邊和斜邊上的高對應(yīng)相等的兩個Rt全等6. 在ABC內(nèi)部取一點(diǎn)P使得點(diǎn)P到ABC的三邊距離相等，則點(diǎn)P應(yīng)是ABC的哪三條線交點(diǎn)（ ）（A）高 （B）角平分線 （C）中線 （D）垂直平分線已知7. 下列條件能判定ABCDEF的一組是 （ ）（A）A=D， C=F， AC=DF （B）AB=DE， BC=EF， A=D （C）A=D， B=E， C=F（D）AB=DE，ABC的周長等于

10、DEF的周長（二）細(xì)心填一填1如圖2-1，一長方形ABCD紙片，以EF為折痕折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)M，EN是MEC的角平分線，則FEN= 2如圖2-2，在ABC中，BAC:ABC:ACB=3:5:10，且ABC，則1:2= 3如圖2-3，若ABCADE，E=C，1=20°，則2= 4如圖2-4，在正方形ABCD中，E是AD中點(diǎn)，F(xiàn)是BA延長線上一點(diǎn)，AB=2AF，在圖中可通過 （填“平移”，“翻折”，或“旋轉(zhuǎn)”）使ABE變到ADF的位置，這時BE與DF之間的位置關(guān)系是 5如圖2-5，ABC中，C=90°，AC=BC，AD平分CAB，DEAB于E，若AB=4cm，則BDE的周長是

11、6. 已知，如圖2-6，AD=AC，BD=BC，O為AB上一點(diǎn)，那么，圖中共有 對全等三角形7. 如圖2-7，ABCADE，則，AB= ，E= 若BAE=120°，BAD=40°，則BAC= °8. 在ABC和ABD中，C=D=90，若利用“AAS”證明ABCABD，則需要加條件 或 ； 若利用“HL”證明ABCABD，則需要加條件 ，或 9. 把兩根鋼條AA?、BB?的中點(diǎn)連在一起，可以做成一個測量工件內(nèi)槽寬的工具（卡鉗）， 如圖2-9， 若測得AB=5厘米，則槽寬為 米。10. 工人師傅砌門時，如圖所示，常用木條EF固定矩形木框ABCD，使其不變形，這是利用

12、，用菱形做活動鐵門是利用四邊形的 。 圖2-1 圖2-2 圖2-3 圖2-4 圖2-5 圖2-6 圖2-7 圖2-9 圖2-10三、認(rèn)真答一答1如圖，AB=AD，AC=AE，且DAB=CAE，BE與CD交于點(diǎn)P，AP的延長線交BC于F，試判斷BPF與CPF的關(guān)系，并加以證明。2如圖，AM為ABC的中線，AEAB，AFAC，且AE=AB，AF=AC，MA的延長線交EF于點(diǎn)P，求證：APEF。3. 已知：如圖，C 為 BE上一點(diǎn)，點(diǎn)A 分別在BE 兩側(cè).ABED,AB=CE,BC=ED.求證:AC=CD.ACEDB4已知：如圖，OP是AOC和BOD的平分線，OA=OC，OB=OD. 求證：AB=C

13、D5我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形。 （1）請寫出一個你學(xué)過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱； （2）如圖，在中，點(diǎn)、分別在、上，設(shè)、相交于，若，請你寫出圖中一個與相等的角，并猜想圖中哪個四邊形是等對邊四邊形； （3）在中，如果是不等于60º的銳角，點(diǎn)、分別在、上，且，探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結(jié)論.6. 已知：如圖，BD為平行四邊形ABCD的對角線，O為BD的中點(diǎn)，EFBD于點(diǎn)O，與AD、BC分別交于點(diǎn)E、F。求證：DE=DF。7如圖，在O中，D、E分別為半徑OA、O

14、B上的點(diǎn)，且ADBE點(diǎn)C為弧AB上一點(diǎn)，連接CD、CE、CO，AOCBOC求證：CDCE8如圖，已知在ABC中AB=AC，D為BC邊的點(diǎn)D作DEAB,DFAC,垂足分別為E、F。（1）求證：BEDCFD;（2）若A=90°，求證：四邊形DFAE是正方形。 9如圖，已知ABC為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點(diǎn)F (1)求證：ABECAD； (2)求BFD的度數(shù)10. 八（1）班同學(xué)到野外上數(shù)學(xué)活動課，為測量池塘兩端A、B的距離，設(shè)計了如下方案：（）如圖1，先在平地上取一個可直接到達(dá)A、B的點(diǎn)C，連接AC、BC，并分別延長AC至D，BC至E，使D

15、C=AC，EC=BC，最后測出DE的距離即為AB的長；（）如圖2，先過B點(diǎn)作AB的垂線BF，再在BF上取C、D兩點(diǎn)使BC=CD，接著過D作BD的垂線DE，交AC的延長線于E，則測出DE的長即為AB的距離. 圖1 圖2閱讀后回答下列問題：（1）方案（）是否可行？請說明理由。（2）方案（）是否可行？請說明理由。 （3）方案（）中作BFAB，EDBF的目的是 ；若僅滿足ABD=BDE90°，方案（）是否成立？ .11. 已知，如圖AB/CD，BE、CE分別是、的平分線，點(diǎn)E在AD上，求證：EFMBCPNDABEDCF12. 一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片，再將這兩張三角形紙片

16、擺成如圖所示形式，使點(diǎn)B，F(xiàn)，C，D在同一條直線上（1）求證：ABED（2）若PBBC，請找出圖中與此條件有關(guān)的一對全等三角形，并給予證明13如圖，在ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O. 請找出圖中的一對全等三角形，并給予證明.14. 如圖，直線l切O于點(diǎn)A，點(diǎn)P為直線l上一點(diǎn)，直線PO交O于點(diǎn)C、B，點(diǎn)D在線段AP上，連結(jié)DB，且AD=DB（1）求證：DB為O的切線（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的長.15. 已知：如圖，直徑為的與軸交于點(diǎn)點(diǎn)把分為三等份，連接并延長交軸于點(diǎn) （1）求證：； （2）若直線：把的面積分為二等份，求證：yxCBAMO421316. 如圖，四邊形ABCD是

17、矩形，PBC和QCD都是等邊三角形，且點(diǎn)P在矩形上方，點(diǎn)Q在矩形內(nèi)求證：（1）PBA=PCQ=30°；（2）PA=PQACBDPQ17. 如圖，是的外接圓，點(diǎn)在上，點(diǎn)是垂足，連接DBAOC求證：是的切線18. 是等邊三角形，點(diǎn)是射線上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），是以為邊的等邊三角形，過點(diǎn)作的平行線，分別交射線于點(diǎn)，連接（1）如圖（a）所示，當(dāng)點(diǎn)在線段上時 求證：；探究四邊形是怎樣特殊的四邊形？并說明理由；（2）如圖（b）所示，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時，直接寫出（1）中的兩個結(jié)論是否成立？（3）在（2）的情況下，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時，四邊形是菱形？并說明理由AGCDBFE圖（a）ADCBFE

18、G圖（b）19. 如圖，在上，ABCFE求證：20. 如圖，在ABE中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE交于點(diǎn)O.求證：(1) ABCAED； (2) OBOE .21. 如圖，在RtABC中，C=90°，以BC為直徑作O交AB于點(diǎn)D，取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、OEBADOC（1）求證：DE是O的切線；（2）如果O的半徑是1.5cm，ED=2cm，求AB的長22. 如圖 ，ABCD是正方形G是 BC 上的一點(diǎn)，DEAG于 E，BFAG于 F （1）求證：； ADEFCG（2）求證：23. 如圖9，若ABC和ADE為等邊三角形，M，N分別EB，CD的中點(diǎn)，易證：CD=BE

19、，AMN是等邊三角形 （1）當(dāng)把ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖10的位置時，CD=BE是否仍然成立？若成立請證明，若不成立請說明理由；（4分） （2）當(dāng)ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖11的位置時，AMN是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，并求出當(dāng)AB=2AD時，ADE與ABC及AMN的面積之比；若不是，請說明理由。24. 如圖9，P是BAC內(nèi)的一點(diǎn)，垂足分別為點(diǎn)求證：（1）；（2）點(diǎn)P在BAC的角平分線上 25. 已知：如圖，在RtABC和RtBAD中，AB為斜邊，AC=BD，BC，AD相交于點(diǎn)E(1) 求證：AE=BE；(2) 若AEC=45°，AC=1，求CE的長 參考答案（一）精心選一選1. D

20、 2. C 3. B 4. C 5. D 6.B 7.A（二）細(xì)心填一填1. 90° 2. 1:4 3. 20° 4. 旋轉(zhuǎn)；垂直 5. 4cm 6.3 7.AD，C，808. CAB=DAB，CBA=DBA，AC=AD，BC=BD 9. 5厘米 10. 三角形的穩(wěn)定性，不穩(wěn)定性（三）認(rèn)真答一答1. 相等，過A作AMDC，ANBE，證明DACBAE，所以利用全等三角形的對應(yīng)高相等得到AM=AN，所以BPF=CPF2. 延長AM至N，使MN=AM，證明AMCNMB，所以AC=NB，再證明EAFABN，得到E=BAN，因?yàn)锽AN+EAP=90°，所以E+EAP=90&

21、#176;，所以APEF3證明：， 在和中， 4、 證明： OP是AOC和BOD的平分線， 在和中， 5、解：（1）平行四邊形、等腰梯形等滿足條件的即可 （2）與A相等的角是BOD（或COE） 四邊形DBCE是等對邊四邊形. （3）此時存在等對邊四邊形DBCE. 證明1：如圖，作CGBE于G點(diǎn)，作BFCD交CD的延長線于F點(diǎn). DCB=EBC=A，BC為公共邊 BGCCFB BF=CG BDF=ABC+DCB=ABE+EBC+DCB=ABE+A GEC=ABE+A BDFCEG BD=CE 故四邊形DBCE是等對邊四邊形. 證明2：如圖，在BE上取一點(diǎn)F，使得BF=CD，連接CF. 易證BCD

22、CBF，故BD=CF，F(xiàn)CB=DBC. CFE=FCB+CBF=DBC+CBF=ABE+2CBF=ABE+A CEF=ABE+A CF=CE BF=CE 故四邊形DBCE是等對邊四邊形.6證法一：在平行四邊形ABCD中，AD/BCOBF=ODEO為BD的中點(diǎn)OB=OD在BOF和DOE中BOFDOEOF=OEEFBD于點(diǎn)ODE=DF證法二：O為BD的中點(diǎn)BO=DOEFBD于點(diǎn)OBF=DFBFO=DFO在平行四邊形ABCD中，AD/BCBFO=DEODEO=DFODE=DF7證明：OA=OB AD=BEOA-AD=OB-BE即OD=OE在ODC和OEC中ODCOECCD=CE8 （1）DEAB,D

23、FAC, BED=CFD=90°, AB=AC, B=C, D是BC的中點(diǎn), BD=CD BEDCFD.（2）DEAB,DFAC AED=AFD=90° A=90° 四邊形DFAE為矩形 BEDCFD DE=DF 四邊形DFAE為正方形9。（1）證明：ABC為等邊三角形 BAC=C=60°, AB=CA, 在ABE和CAD中 AB=CA, BAE=C, AE=CD ABECAD（2）解 BFD=ABE+BAD 又ABECADABE=CADBFD=CAD+BAD=BAC=60°10（1）可以；（2）可以；（3）構(gòu)造三角形全等，可以11. AB/C

24、D 又BE、CE平分 （三角形內(nèi)角和定理） 在BC上取BFBA，連結(jié)EF 在和中 （全等三角形對應(yīng)角相等） （等量代換） 在和中 （全等三角形對應(yīng)邊相等） 12. （1）由于ABC與DEF是一張矩形紙片沿對角線剪開而得到兩張三角形，所以ABCDEF，所以AD，在ANP和DNC中，因?yàn)锳NPDNC，所以APNDCN，又DCN90°，所以APN90°，故ABED（2）答案不唯一，如ABCDBP；PEMFBM；ANPDNC等等以ABCDBP為例證明如下：在ABC與DBP中，因?yàn)锳D，BB，PBBC，所以ABCDBP13. 例：AOBCOD. 證明：四邊形ABCD為平行四邊形， O

25、A=OC，OB=OD， 又AOB=COD， AOBCOD. 14（1）證明: 連結(jié)OD PA 為O切線 OAD = 90° OA=OB，DA=DB，DO=DO， OADOBD OBD=OAD = 90°， PA為O的切線 （2）解：在RtOAP中， PB=OB=OA OPA=30° POA=60°=2C ， PD=2BD=2DA=2 OPA=C=30° AC=AP=315. 證明： （1）連接，把三等分， 又， 又OA為直徑， ， 在和中， （ASA） （2）若直線把的面積分為二等份， 則直線必過圓心， ， 把 代入得： 16. 證明：(1)四

26、邊形ABCD是矩形，ABC=BCD=90°PBC和QCD是等邊三角形，ACBDPQPBC=PCB=QCD=60°，PBA=ABCPBC=30°，PCD= BCDPCB=30°PCQ=QCDPCD=30°PBA=PCQ=30° (2)AB=DC=QC，PBA=PCQ，PB=PC，PABPQC，PA=PQ17. 證明：連接又，即是的切線AGCDBFE18. （1）證明：和都是等邊三角形，又，法一：由得，又， 又，四邊形是平行四邊形法二：證出，得 由得得四邊形是平行四邊形 （2）都成立（3）當(dāng)（或或或或）時，四邊形是菱形理由：法一：由得，又

27、， 由得四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形 法二：由得，又四邊形是菱形， 法三：四邊形是平行四邊形， ，是等邊三角形 又，四邊形是菱形，ABCFE19. 證明：，又，即 又，20. 證明：(1)BADEAC BAC=EAD在ABC和AED中 ABCAED(SAS) (2)由(1)知ABC=AED AB=AE ABE=AEB OBE=OEB OB=OE 21. 證明：（1）連結(jié)OD 由O、E分別是BC、AC中點(diǎn)得OEAB1=2，B=3，又OB=ODBADOCE12=3而OD=OC，OE=OEOCEODEOCE=ODE又C=90°，故ODE =90° DE是O的切線 （2）在RtODE中，由，DE=2得 又O、E分別是CB、CA的中點(diǎn)AB=2·所求AB的長是5cm 22. 證明：（1）DEAG，BFAG， AED=AFB=90°ABCD是正方形，DEAG， ADEFCGBAF+DAE=90°，ADE+DAE=90°， BAF =ADE 又在正方形ABCD中，AB=AD在ABF與DAE 中，AFB =DEA=90°，BA