1、賦范線性空間,內積空間范數與賦范線性空間X是實(或復)線性空間，如果對于X中每個元素x，按照一定的法則對應于實數|x|，且滿足：|x|0，|x|=0當且僅當x=0;|ax|=|a|x|，a是實(或復)數;|x+y|x| + |y|.則稱X是實(或復)賦范線性空間，|x|稱為x的范數.范數、距離之間的關系 由每一范數可以導出一距離： 當距離空間滿足 (1)是線性空間,(2)(3)時,才可用距離定義范數： ( , ).x yxy),0 ,(),(yxyx(,0)( ,0)axax( ,0).xxCa,b的距離與范數 Ca,b 的約定的距離是由范數決定的.( , )max( )( )a x bf g

2、f xg x max( )a x bff x Lpa,b的距離與范數 對于任實數 Lpa,b表示區(qū)間a,b上絕對值的p次冪L可積函數的全體，并把幾乎處處相等的函數看成是同一個函數,即 Lpa,b上的距離為其特例為La,b , L2a,b.1 , ( , )( )( ).ppa bf gf xg xdx.)(,)(,dxxfbaLxfbapp, 1pLpa,b的距離與范數 Lpa,b上的距離是由范數決定的.其特例La,b , L2a,b亦然.1 , ( , )( )( ).ppa bf gf xg xdx1 , ( ).pppa bff xdx的距離與范數 表示滿足 的實數列(即平方可和數列)

3、的全體， 上的距離是由范數決定的。2l2l21iix ix2l1 22i=1( , )().iix yxy1 22i=1( )ixxBanach空間 若賦范線性空間按距離是完備的，則稱為Banach空間. n維Euclid空間Rn是Banach空間. Ca,b是Banach空間. Lpa,b (p1)是Banach空間. 是Banach空間.( , ).x yxy2l按范數收斂(強收斂) 按范數收斂即按范數決定的距離的收斂，又稱強收斂.不同范數的等價性 是同一線性空間上的兩種不同的范數,若則稱 21,21200,nxx12.比強122112若比強，比強，稱與等價.線性空間的維數 若線性空間X

4、中存在n 個線性無關的元素e1,e2,en,使得任意的xX都可以唯一的表示為則稱e1,e2,en是x的基底，數組x1,x2,xn是x關于基底的坐標，n是線性空間的維數.ni ii=1x =x e ,線性空間的維數 有限維線性空間與Euclid空間是線性同構的. 有限維賦范線性空間上的范數定義是等價的. 有限維賦范線性空間是完備，可分的. 例子：Cka,b是Banach空間Cka,b表示定義在區(qū)間a,b上k階連續(xù)可導的函數全體. Cka,b上的范數為. )(max0)(kjjbxaxff賦范線性空間上的算子 T是由賦范線性空間X中的某個子集D到賦范線性空間X1中的一個映射,則稱T 是算子. D是

5、T 的定義域，記為D(T)， 像集y | y=Tx, xD是T 的值域,記為N(T). 若T滿足可可性：T(x+y)=Tx+Ty次性：T(ax)=aT(x)則稱T為線性算子線性算子. 若存在正數M使得對于一切xD(T)，有|Tx| M|x|，則T是有界算子有界算子.線性算子的性質 線性算子若在某一點處連續(xù)，則也在定義域上處處連續(xù). T是有界線性算子等價于T是連續(xù)線性算子. T有界的充要條件是T把任一有界集映成有界集. 有界線性算子空間 X 和X1都是賦范線性空間,所有從X到X1的有界線性算子形成的集合記為B(X, X1). 在B(X, X1)上定義可法和數乘運算： (T1+T2)x=T1x+T

6、2x (T1,T2 B(X, X1)，xX). (aT)x=a(Tx) (TB(X, X1)，a是實數).有界線性算子空間 定理： B(X, X1)按照以上定義的線性運算是一個線性空間,且在如下定義的算子范數下構成賦范線性空間. TxxTxTxx10supsup有界線性算子空間 定理： 若X是Banach空間，則B(X, X1)也是Banach空間. T為線性算子，則T有界的充要條件為有界.T共鳴定理 X 和X1都是賦范線性空間, 且X是Banach 空間. Tn是從X 到X1的線性算子序列, 則對任意xX，Tnx有界的充要條件為 有界。(證明從略) 此定理又稱為一致有界定理. 共鳴定理的意義

7、即:對于線性算子序列，若代入每一個值都有界，則有界線性算子序列本身有界。 nT有界線性算子空間 定理： 可逆有界線性算子的逆算子仍是線性算子. 有限維賦范線性空間的一切線性算子都有界(連續(xù)).泛函 當算子的像集為實（或復）數域時，稱算子為泛函泛函. 類似有線性泛函線性泛函、連續(xù)泛函連續(xù)泛函、有界線性泛有界線性泛函函等. 泛函的例： 賦范線性空間上的范數是一個泛函,且是連續(xù)泛函,但不是線性泛函,其算子范數為1,故為 有界泛函.泛函的例 在Ca,b上,對每一函數取定積分的運算是一有界線性泛函. badxxfxfC)()(泛函的性質 f是線性泛函, f有界的充要條件是f的零空間為完備子空間 . 對于

8、Rn 上的任一有界線性泛函f，必存在唯一的 使得對任何都有0)(xx f),(21nyyyy12( ,),nxx xx1122( ).nnxx yx yx yf泛函的性質(延拓定理) E為賦范線性空間，L為E的線性子空間，則L上的任一有界線性泛函f都可以延拓到全空間E上，且保持范數不變.元素序列的不同的收斂方式 按范數收斂即按范數決定的距離的收斂，又稱強收斂,記為 稱元素序列 xn弱收斂于元素x，若對任一有界線性泛函f 都有且記為.)(強或強xxxxnn. 或弱弱nnxxxx ()(nf(x )f x),算子的不同收斂方式 Tn,TB(X, X1) (n=1,2,) 若|Tn-T|0,稱Tn按

9、算子范數收斂于T (或稱Tn一致收斂于T),記為 若對于任意的x，均有|Tnx-Tx|0，則稱Tn強收斂于T ,記為 . 一致nTT. 強nTT算子的不同收斂方式 Tn,TB(X, X) (n=1,2,) 若對每個xX及X上的任一有界線性泛函f，都有 則稱算子序列弱收斂于T ,記為(nf(T x)f x),. 弱nTT不同收斂方式的性質 (1)上述各種收斂序列的極限都是唯一的. (2)各種序列若強收斂則必弱收斂，反之不一定. (3)算子序列若一致收斂(依范數收斂)，則必強收斂.共軛空間 若X1是實數（或復數）域R，則B(X, X1)稱為共軛空間，記為X*X*是定義在X上的所有有界線性泛函所構成

10、的賦范線性空間，泛函f X*的范數是算子范數.實數（或復數）域R是完備的，因此共軛空間必定是Banach空間.內積空間 X 是定義在實(或復)數域K上的線性空間，若對于X中中 任意一對有序元素x,y, 恒對應數域K的值(x, y)，且滿足: (x, x)0，且(x, x)=0的充要條件是x=0; (ax, y) = a(x, y); (x+y, z) = (x, z) + (x, z).則稱X為內積空間，(x, y)稱為x, y的內積. ;x)(y,y)(x,內積、范數、距離之間的關系 由內積導出的范數,距離： 注：有的范數并沒有導出它的內積。( , );( , )(,).xx xx yxy

11、xyHilbert空間 完備的內積空間稱為希爾伯特希爾伯特(Hilbert)空間空間. Hilbert空間必為Banach空間內積空間的性質 定理(Cauchy-Schwarz不等式) 在內積空間X上，證明 當 時，欲證不等式顯然成立。當 時,因 故對任何實數 有 特別地,取 代入上式即得2,( , )( ,)( , ) .u vu vu uv v任，有X20(,)( , )( , )( , )( , ).uv uvu uu vu vv v( , ) ( , )u vv v 0v( , )0,v v 0v n 維實(或復)Euclid空間Rn 全體n 維實向量的集合在向量可法、數乘下為n維線性

12、空間. Rn且且為距離空間,賦范線性空間,內積空間, Hilbert空間. Rn的的內積為:., 2 , 1,),(21niRaaaaRinn12121 122(,),( ,),( , ).nnnnxa aayb bbx ya ba ba bCa,b沒有導出其上范數的內積 Ca,b 的約定的范數沒有內積可以導出, 故Ca,b 不為內積空間.max( )a x bff x Lpa,b上的范數與內積 對p2, Lpa,b上的范數沒有內積可以導出, 故p2時, Lpa,b不為內積空間. 僅當p=2時,L2a,b上的范數是由內積導出的, 故L2a,b是內積空間, Hilbert空間.1 222 , (

13、 ).a bff xdx , ( , )( )( )a bf gf xg x dx的導出其上范數的內積 的范數 是由范數導出的, 故 是內積空間, Hilbert空間.2l2l1 22i=1( )ixxi=1( , )iiiixyxy2l內積空間上的平行四邊形公式與極化恒等式 賦范線性空間成為內積空間的充要條件是它的范數滿足平行四邊形公式 實賦范線性空間的范數若滿足平行四邊形公式,則其成為內積空間,有如下由范數導出內積的極化恒等式:22222.xyxyxy221( , ).4x yxyxy內積空間的性質 定理 為內積空間，格拉姆(Gram)矩陣非奇異當且僅當 線性無關.),(),(),(),(

14、),(),(),(),(),(212222111211nnnnnnuuuuuuuuuuuuuuuuuuG12,nu uuXX12,nu uu定理證明證明 首先,1111,0,1,2, .,00.njjkjnnjjjjjjnjjjuuknuuu定理證明又110,0,1,2, .njjjnjjkjuuukn定理證明故,11,0,1,2, .0.njjkjnjjjuuknu定理證明 G非奇異當且僅當次方程組只有零解,即只有零解,即 只有零解,即 線性無關.1(,)0,1,2, .njkjjuukn1(,)0,1,2, .njjkjuukn10njjju12,nu uu定理證明故G非奇異當且僅當只有零

15、解即G非奇異當且僅當 線性無關.01njjju120.n1,2,nu uu內積空間上內積的連續(xù)性內積空間上，內積關于兩個變元都是連續(xù)的. 內積空間上的正交 在在內積空間X上, 元素元素正交正交: 若(x, y)=0,稱x與y正交,記為 元素與子集元素與子集正交正交: 若x與M中一切元素正交，則稱x與M正交，記為 子集與子集子集與子集正交正交: 若 則稱M與N正交，記為 . yx ,x,yX,M,NX.xM, yxN,yM,x有.MN內積空間上的正交補與正交分解 在在內積空間X上, 子集的子集的正交補正交補: X中與中與M正交的所有元素的全體稱為正交的所有元素的全體稱為M的正交補，記為的正交補，

16、記為 元素在子集的元素在子集的投影投影: 若則稱 在M上的投影。上式稱為 關于M的正交分解.M = x xM .,xX,MX0為xx,1010 xxxMxM,x使得x內積空間有關正交的性質 在內積空間上，若 則該式稱為內積空間的“商高定理” 若x與內積空間的某個稠密子集正交,則x=0. 內積空間上子集的正交補為閉線性子空間.222x+y= x+ yxy,內積空間的極小化向量定理 在內積空間X上,若M為完備子空間，x0為 x在M上的投影( ),則且x0是M中使上式成立的唯一的點, 注: M為X的非空凸集,有限維線性子空間(因而完備)時極小化向量定理 即成立.0inf.yyMx-xx-0() x-

17、xM內積空間的投影定理 (投影定理) M是內積空間X的閉(或完備)子空間,則即, !,. 使得0101xXxM,xMxxx.XMM內積空間的正交系、規(guī)范正交系 若內積空間中的一組非零元素 中任何兩個不同元素都正交,則稱它們?yōu)檎幌嫡幌? 若內積空間的一個正交系中的每個元素的范數都為1，則稱它們?yōu)橐?guī)規(guī)范正交系范正交系,或正交系標準或正交系標準即12,e e 0,(,)1,.ijije eij12,e e 內積空間的完全規(guī)范正交系 若內積空間X中的一組規(guī)范正交系 滿足則稱 為完全規(guī)范正交系完全規(guī)范正交系 .12,span e eX12,e e 12,e e 規(guī)范正交系下的投影 為規(guī)范正交系,則x

18、在M上的投影為且12,.nspan e eeM01( ,) ,niiixx e e12,ne ee2201( ,) .niixx eBessel不等式 為Hilbert空間X上的規(guī)范正交系,則12,ne ee221( ,).niix ex有X,xHilbert空間的正交和分解 內積空間中任一組線性無關元素系都可以規(guī)范正交化. 若M為Hilbert空間的閉子空間，則存在正交和分解,即直和分解.X = MM廣義Fourier級數 若 為完全規(guī)范正交系,則 稱 的廣義Fourier級數,稱的廣義Fourier系數.12,e e 1,( ,) .iiixxx e e X121( ,),iiix e exe e為 關于12( ,),ix exe e 為 關于有限維子空間的最佳逼近即投影 因有限維線性子空間都是完備的,故在有限維子空間上的由內積導出的范數下的最佳逼近在 為規(guī)范正交系時即為投影 12,nnspan e eeM0minn