1、這次義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（以下簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)）修訂，堅(jiān)持了教育改革的大方向。在這一基礎(chǔ)上，我們做了幾個(gè)方面的修訂：第一，使標(biāo)準(zhǔn)更加準(zhǔn)確、規(guī)范、明了、全面，更適合教材編寫、教師教學(xué)、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)等；第二，內(nèi)容上做了適當(dāng)調(diào)整；第三，就是強(qiáng)調(diào)了要處理好以下幾個(gè)關(guān)系：過(guò)程和結(jié)果的關(guān)系；學(xué)生自主學(xué)習(xí)和教師講授的關(guān)系；合情推理和演繹推理的關(guān)系；生活情境和知識(shí)系統(tǒng)性的關(guān)系。     這幾個(gè)關(guān)系非常重要。強(qiáng)調(diào)要注重過(guò)程了，但是過(guò)程和結(jié)果之間的關(guān)系必須處理好。再有，現(xiàn)在強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，但是它和教師講授之間是什么關(guān)系呢？我們?nèi)ヂ犃撕芏嗾n。聽了之后有些人回來(lái)反映：上課是一鍋

2、粥，下了課還是一鍋粥。什么意思呢？上課組織學(xué)生討論，討論很熱烈，完了之后，老師沒有很好地歸納整理，下課之后學(xué)生不明白的問(wèn)題還是不明白。所以要處理好學(xué)生自主學(xué)習(xí)和教師講授的關(guān)系。還有合情推理和演繹推理的關(guān)系。如果我們只是講了一個(gè)描述性的事情，那么證明在這里還能起到什么作用呢？這個(gè)主要針對(duì)初中。還有一個(gè)，你強(qiáng)調(diào)從生活情境引入，挺好，但是數(shù)學(xué)自身的系統(tǒng)性怎么辦呢？這些關(guān)系應(yīng)該處理好。所以我們很認(rèn)真地把握這幾個(gè)關(guān)系來(lái)修訂課程標(biāo)準(zhǔn)。    從總體上講，十年課改是積極的，也是富有成效的。但是課改的開始階段是由上而下的，是理論指導(dǎo)實(shí)踐的。這些理論在中國(guó)實(shí)踐工程中碰到一

3、些問(wèn)題，引發(fā)大家廣泛的思考。因此，十年課程改革是一個(gè)實(shí)踐的過(guò)程，也是一個(gè)思考的過(guò)程，促使大家對(duì)數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)課程以及改革實(shí)踐產(chǎn)生了一些新的認(rèn)識(shí)。我想，下面幾個(gè)問(wèn)題是重要的。更加關(guān)注學(xué)生的能力與素養(yǎng)    第一、對(duì)標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)大綱（以下簡(jiǎn)稱大綱）區(qū)別的認(rèn)識(shí)提高了。這次課程改革一個(gè)核心的變化是把大綱變成了標(biāo)準(zhǔn)。這是一個(gè)關(guān)鍵性的問(wèn)題。過(guò)去叫大綱，現(xiàn)在為什么叫標(biāo)準(zhǔn)了呢？?jī)烧咧g有什么差別呢？1999年我國(guó)完成了最后一個(gè)大綱的制定，當(dāng)時(shí)我是審定組組長(zhǎng)。我回想了一下，那時(shí)我特別關(guān)注的就兩個(gè)問(wèn)題，其一，教什么的問(wèn)題；其二，掌握到什么程度的問(wèn)題。考試也是圍繞這兩件事情來(lái)進(jìn)

4、行的。原來(lái)的大綱必然地產(chǎn)生了中國(guó)數(shù)學(xué)教育的最大特色，就是“雙基”（基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能），要求是基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)，基本技能熟練，這個(gè)我們國(guó)家做的非常好。像上次上海參加的PISA測(cè)驗(yàn)，讓國(guó)外都很吃驚。不管怎么說(shuō)，“雙基”對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)教育的貢獻(xiàn)是巨大的。這是不可否認(rèn)的，但是還應(yīng)該加些什么東西呢？我們來(lái)看一下大綱是怎么一回事。大綱是工業(yè)化時(shí)代為培養(yǎng)專門人才服務(wù)的。因此它涉及的內(nèi)容就是未來(lái)一個(gè)專門職業(yè)對(duì)知識(shí)技能的要求。在這個(gè)意義上，大綱的教育理念是“只是為本”教了多少知識(shí)，教到什么程度。知識(shí)是什么呢？1998年我提出“知識(shí)在本質(zhì)上是一種結(jié)果?？梢允墙?jīng)驗(yàn)的結(jié)果，可以是思維的結(jié)果”。所以以知識(shí)為本的教育在本質(zhì)上是

5、結(jié)果性的教育。我們教了一些結(jié)果，我們沒教智慧。智慧不是結(jié)果。從結(jié)果怎么能看出一個(gè)人的智慧呢？智慧是在過(guò)程之中的東西。大家都不知道怎么辦了，他出個(gè)主意，這個(gè)主意好真聰明！有智慧！在做題的過(guò)程中，你看這個(gè)孩子真聰明，有智慧?；蛘咦鰧?shí)驗(yàn)，大家都不知道實(shí)驗(yàn)該怎么做，他設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)很巧，有智慧！智慧是表現(xiàn)在過(guò)程之中的。而表現(xiàn)在過(guò)程中的東西必須通過(guò)過(guò)程來(lái)教育。所以我們要注重過(guò)程中的教育，我們要培養(yǎng)智慧。     現(xiàn)代社會(huì)，是后工業(yè)時(shí)代，或者叫信息時(shí)代，我們不強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)工匠了，要“以人為本”，因?yàn)槲覀儫o(wú)法在學(xué)生讀書的階段就決定這個(gè)孩子未來(lái)從事什么職業(yè)。因此要培養(yǎng)

6、孩子們的能力，發(fā)展他們的潛能，這是教育的根本改變。對(duì)教育強(qiáng)調(diào)的是以人的發(fā)展為本，不再以知識(shí)為本。2010年公布的國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（20102020年），提出“育人為本”。育人為本的核心就是以人的發(fā)展為本，特別強(qiáng)調(diào)了我們未來(lái)培養(yǎng)的學(xué)生要有社會(huì)責(zé)任感，有創(chuàng)新精神，有實(shí)踐能力。因此我們不僅要關(guān)注學(xué)生學(xué)了多少知識(shí)，掌握了多少技能，還要關(guān)注學(xué)生能不能成為未來(lái)社會(huì)的合格公民。教育的根本目的改變了。在知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代，知識(shí)總量增加非常迅速，而且傳播手法日趨多樣。很多學(xué)生獲得的知識(shí)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了老師在課堂上講授的，甚至遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了教科書的內(nèi)容，在這種情況下，要進(jìn)行什么樣的教育呢？所以要根本地改變我們的

7、教育。在這樣的背景下，大綱就變成了標(biāo)準(zhǔn)。    那么標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）和大綱有什么區(qū)別呢？如果說(shuō)大綱更加關(guān)注孩子們知識(shí)和技能的掌握程度，那么標(biāo)準(zhǔn)更加重視學(xué)生能力的培養(yǎng)和素養(yǎng)的提高。一個(gè)人可能將來(lái)從事的職業(yè)與數(shù)學(xué)沒有直接的關(guān)系，但是他為什么還要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)呢？他要養(yǎng)成一個(gè)數(shù)學(xué)的素養(yǎng)，這對(duì)他一生都是有好處的。我們的基礎(chǔ)教育要為學(xué)生未來(lái)的發(fā)展奠基。經(jīng)過(guò)這十年的實(shí)踐，我想大多數(shù)教師在這個(gè)理念上都有所改變。但是如果我們?cè)?jīng)的改變是形式上的話，從現(xiàn)在開始，我們要從形式走向?qū)嵸|(zhì)。    我對(duì)我們現(xiàn)在的中小學(xué)數(shù)學(xué)教材總的來(lái)說(shuō)是不滿意

8、的。集中表現(xiàn)在兩個(gè)地方。第一個(gè)，概念的敘述和幾十年前完全一樣，沒有新東西。還有，法則、運(yùn)算的敘述也和以前完全一樣，沒有新東西。還是以一個(gè)結(jié)果的形式呈現(xiàn)，還是讓孩子們來(lái)背，來(lái)記，沒有根本性的改變。什么是根本性的改變？你腦袋里一直要想，如何引導(dǎo)孩子們?nèi)ニ伎迹绾闻囵B(yǎng)孩子們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)?；诖耍瑯?biāo)準(zhǔn)在大綱的基礎(chǔ)上增加了基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。一個(gè)學(xué)科，你學(xué)過(guò)之后，對(duì)這個(gè)學(xué)科承載的基本思想不知道的話，等于沒學(xué)。還有，特別是對(duì)數(shù)學(xué)，思維經(jīng)驗(yàn)是很重要的。因此，希望孩子們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，除了掌握必要的知識(shí)和技能之外，還能感悟數(shù)學(xué)的基本思想，積累數(shù)學(xué)思維活動(dòng)和實(shí)踐活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。這是標(biāo)準(zhǔn)提出的很重要的目的。&#

9、160;   從“雙基”到“四基”有兩個(gè)理由，首先是教育理念的表現(xiàn)。對(duì)數(shù)學(xué)思想的感悟和經(jīng)驗(yàn)的積累，這是非常隱性的東西。老師可能會(huì)認(rèn)為，這個(gè)東西你教了還是沒教，怎么判斷呢？思想怎么體現(xiàn)？經(jīng)驗(yàn)有沒有積累，怎么判斷呢？關(guān)于這件事后面我會(huì)舉幾個(gè)例子。但是我們首先要明白，思想的感悟和經(jīng)驗(yàn)的積累在很大程度上會(huì)改變一個(gè)人的思維方法。而一個(gè)人的思維方法幾乎在小學(xué)階段就基本定了?！坝藶楸尽钡睦砟钤跀?shù)學(xué)教學(xué)中最好的體現(xiàn)就是從“雙基”到“四基”。其次是培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的要求。是不是創(chuàng)新型人才不僅取決于這個(gè)人掌握的知識(shí)有多少，在很大程度上，取決于這個(gè)人的思維方法。而這個(gè)思維方法，需要對(duì)學(xué)

10、科思想方法的感悟，需要積累學(xué)科思維活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。基本思想與基本經(jīng)驗(yàn)的積累必須靠感悟    基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和基本思想，絕對(duì)是在中國(guó)這十年課改實(shí)踐工程中抽象出來(lái)的東西。這是我們自己的東西?；顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)，我想主要是思維的經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，不是解題的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)然也包括解題的經(jīng)驗(yàn)、分析問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)、解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。主要我想強(qiáng)調(diào)經(jīng)驗(yàn)的積累，最終是要培養(yǎng)孩子們一個(gè)數(shù)學(xué)的直觀。學(xué)科直觀是很重要的，數(shù)學(xué)的所有結(jié)果是看出來(lái)的，不是證出來(lái)的。而要直觀，全依賴于思維經(jīng)驗(yàn)的積累。經(jīng)驗(yàn)積累我今天不談了，主要談一下基本思想?；舅枷牒芏?，有數(shù)形結(jié)合、等量替換等，那么最核心的思想是什么呢？就是學(xué)完

11、數(shù)學(xué)以后，很多數(shù)學(xué)知識(shí)你都忘了之后，你還能留下的東西。這些素養(yǎng)是什么呢？我想大概有兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。一個(gè)是，數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展一直依賴的思想是什么；一個(gè)是，學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)的人和沒學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)的人有什么差異。我覺得這能看出數(shù)學(xué)的基本思想。我提出一個(gè)看法，數(shù)學(xué)思想主要有三個(gè)：一個(gè)是抽象，就是把與數(shù)學(xué)有關(guān)的東西引入數(shù)學(xué)的內(nèi)部，學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)的人抽象能力比較強(qiáng)；一個(gè)是推理，學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)的人推理能力比較強(qiáng)；還有一個(gè)是模型，學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)的人應(yīng)用能力比較強(qiáng)，除了直接計(jì)算以外，數(shù)學(xué)的應(yīng)用主要是建立模型。    思想的感悟和經(jīng)驗(yàn)的積累是隱性的東西，光靠老師講是不行的，必須自己感悟，是悟出來(lái)的東西，不是聽出

12、來(lái)的東西。因此我們要組織一些教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生參與討論，這是形式，不是目的，這個(gè)形式是為了讓孩子們自己想問(wèn)題，為了讓他跟同學(xué)們討論，最后逐漸積累一種思維的方法和經(jīng)驗(yàn)。會(huì)想問(wèn)題是一種經(jīng)驗(yàn)的積累，不是教會(huì)的。所以，學(xué)生活動(dòng)結(jié)束之后，老師必須有一個(gè)總結(jié)。這個(gè)總結(jié)對(duì)老師來(lái)說(shuō)非常難，很多老師總結(jié)不出來(lái)。讓學(xué)生談一個(gè)東西，不僅僅談結(jié)果，要談得到這個(gè)結(jié)果的思維過(guò)程。老師對(duì)一個(gè)學(xué)生答對(duì)答錯(cuò)的判斷，不僅僅要看結(jié)果是對(duì)是錯(cuò)，還要看他的思維過(guò)程是不是有道理。只要思維過(guò)程有道理，可能開始的出發(fā)點(diǎn)有錯(cuò)誤，但整個(gè)思維過(guò)程是合乎邏輯的，那也是好的。老師在總結(jié)時(shí)要把握學(xué)生的思維過(guò)程，重在教會(huì)他們思考問(wèn)題。幾個(gè)問(wèn)題想錯(cuò)了，不要緊

13、，逐漸地會(huì)想問(wèn)題，這是最核心的事情。這是一種經(jīng)驗(yàn)的積累。我們中國(guó)人總是發(fā)明創(chuàng)造不夠，就是因?yàn)槲覀冊(cè)谛W(xué)階段就把孩子們教死了。其實(shí)孩子們都是挺聰明的。所以我希望從現(xiàn)在開始，教我們的孩子越來(lái)越聰明，而不是越來(lái)越傻。越來(lái)越聰明就是要讓他自己想。你鼓勵(lì)他想，教會(huì)他想，在過(guò)程中教育。這是很重要的，這是一個(gè)根本的轉(zhuǎn)變，對(duì)我們老師是巨大的考驗(yàn)。    2009年，某地組織教學(xué)觀摩，結(jié)束后讓我點(diǎn)評(píng)，我說(shuō)：“你們這些課光重視老師怎么講，怎么講的精彩，其實(shí)老師講課拙一點(diǎn)不要緊，老師講課笨一點(diǎn)不要緊，能啟發(fā)學(xué)生思考是最重要的。啟發(fā)學(xué)生思考最好的辦法就是和學(xué)生一起思考，一步一步

14、地引導(dǎo)學(xué)生來(lái)思考這個(gè)問(wèn)題。你講得天花亂墜，孩子們像聽故事一樣，聽完了什么也沒留下，這有什么用呢？”所以我們要下一點(diǎn)笨功夫，教孩子們想。這個(gè)東西不是馬上就能見效的，但是小學(xué)6年之后，必然見效。到了六年級(jí)，你看孩子們的眼神都不一樣，他活，他自信，他會(huì)提問(wèn)題。所以我希望老師們能和校長(zhǎng)說(shuō)一下，別一年一考核，一年之后看不出結(jié)果，6年之后再來(lái)看，時(shí)間長(zhǎng)一點(diǎn)，這樣才能真正地教出一個(gè)人。教研室可以組織老師們討論，怎么把這一類的課上好。    大概四五年前，東北師大組織教師培訓(xùn)，我連續(xù)給老師們提了10個(gè)問(wèn)題。比如，為什么要先乘除后加減？你們是怎么講的？他們說(shuō)規(guī)定。第二個(gè)問(wèn)

15、題，回答還是規(guī)定。第三個(gè)還是規(guī)定。那就不行了。一開始規(guī)定一兩個(gè)還行，但是規(guī)定多了，孩子都蒙了，不知道怎么回事了。特別是，光講規(guī)定的教學(xué)，完全是一種結(jié)果的教學(xué)。小學(xué)數(shù)學(xué)中的所有規(guī)定都是有道理的，是符合人的常理的。因此，你只要稍微改變一下，就能讓孩子們學(xué)會(huì)思考問(wèn)題。舉例子是比較重要的。講課講不明白的時(shí)候，最好的方法是舉例說(shuō)明。對(duì)一個(gè)知識(shí)是不是理解了呢，最好的辦法也是舉例說(shuō)明。老師的腦袋里得有大量的例子，隨時(shí)都能舉例子。    比如，為什么要先乘除后加減？舉例說(shuō)明。操場(chǎng)上原來(lái)有3個(gè)同學(xué)，又走來(lái)一隊(duì)同學(xué)，這隊(duì)同學(xué)是2個(gè)人一排，共4排，問(wèn)有多少學(xué)生？我們老師講這樣

16、的問(wèn)題時(shí)，一般是直接列式子，這個(gè)不好。應(yīng)該把理給講出來(lái)。最起碼這句話一定要講出來(lái)操場(chǎng)上的同學(xué)數(shù)=原有同學(xué)數(shù)+后來(lái)同學(xué)數(shù)。引導(dǎo)孩子從頭想問(wèn)題。養(yǎng)成從頭想問(wèn)題的習(xí)慣，他以后就能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題了。問(wèn)題一般都是從頭開始發(fā)現(xiàn)的，中途發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的情況比較少。從頭想問(wèn)題之后，孩子就很少會(huì)錯(cuò)了。你看，他腦子里有“操場(chǎng)上的同學(xué)數(shù)=原有同學(xué)數(shù)+后來(lái)同學(xué)數(shù)”這個(gè)概念之后，那么自然原來(lái)同學(xué)有3個(gè)，后來(lái)同學(xué)有8個(gè)，2×4=8，所以是3+8=11，這樣的話就知道了應(yīng)該先乘除后加減，為什么呢？因?yàn)?×4表示的是后來(lái)的同學(xué)。因此在小學(xué)數(shù)學(xué)里，先乘除后加減說(shuō)的是兩件事：2×4是一個(gè)故事，3本身是一個(gè)故事，

17、和是兩個(gè)故事相加得到的東西。因此在中國(guó)古代這樣的問(wèn)題都是分步做的，我們現(xiàn)在為了省事才放到一塊兒。所以，我們現(xiàn)在非常強(qiáng)調(diào)從頭想問(wèn)題。問(wèn)題要有一個(gè)轉(zhuǎn)換過(guò)程，學(xué)會(huì)先把現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題通過(guò)語(yǔ)言抽象，抽象成一個(gè)科學(xué)的東西，然后在語(yǔ)言抽象的基礎(chǔ)上進(jìn)行符號(hào)抽象，抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)的東西，這個(gè)過(guò)程對(duì)小孩子是非常重要的?，F(xiàn)在舉的這個(gè)例子很簡(jiǎn)單，到問(wèn)題更難一些的時(shí)候，你就會(huì)更加覺得這個(gè)東西重要了。    與此相對(duì)應(yīng)，過(guò)去在大綱里談到兩個(gè)能力，就是分析問(wèn)題的能力和解決問(wèn)題的能力，這次在標(biāo)準(zhǔn)中又增加了發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力和提出問(wèn)題的能力，這樣就從“兩能”拓展到了“四能”。這樣，由大綱到標(biāo)準(zhǔn)有

18、以下幾個(gè)重要變化：理念的基礎(chǔ)是從“知識(shí)為本”到“育人為本”；具體的目標(biāo)要求是從“雙基”到“四基”；內(nèi)容和方法，過(guò)去是以結(jié)果的形式，現(xiàn)在結(jié)果要加工程。這個(gè)內(nèi)容包括教材的呈現(xiàn)和老師講課的內(nèi)容。評(píng)價(jià)由過(guò)去單純的知識(shí)技能的評(píng)價(jià)，加上過(guò)程性的評(píng)價(jià)，加上感情、態(tài)度和價(jià)值觀的評(píng)價(jià)，變成了三維評(píng)價(jià)。這幾個(gè)變化非常重要，老師們可能沒有很多時(shí)間去詳細(xì)地看標(biāo)準(zhǔn)，但這幾個(gè)關(guān)鍵性的變化要了然于心。講課千萬(wàn)別反復(fù)講，要抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)    第二，就是對(duì)數(shù)學(xué)本身的認(rèn)識(shí)提高了。數(shù)學(xué)的定義非常多，五花八門，但數(shù)學(xué)從本質(zhì)上講，只研究數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系。因此數(shù)學(xué)是關(guān)于數(shù)量和圖形關(guān)系的一門科學(xué)

19、，這個(gè)定義應(yīng)該是沒有問(wèn)題的。那么抽象在這里面起什么作用呢？抽象就是把生活中的與數(shù)量、圖形有關(guān)的東西抽象成概念，并用符號(hào)表達(dá)。比如抽象出自然數(shù)，并用十個(gè)數(shù)字和進(jìn)位法則表達(dá)；抽象出點(diǎn)線面，并用適當(dāng)?shù)淖帜高M(jìn)行表達(dá)。這樣的話，數(shù)學(xué)所要研究的對(duì)象就有了。數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是從哪兒來(lái)的呢？是從生活中抽象出來(lái)的。但是抽象出對(duì)象不是根本，主要是抽象出這些概念之間的關(guān)系。概念抽象重要，但是關(guān)系更重要。比如數(shù)中最重要的關(guān)系是大小關(guān)系，這個(gè)關(guān)系是從數(shù)量里的多少關(guān)系抽象出來(lái)的。在數(shù)量里，3個(gè)蘋果比2個(gè)蘋果多，這就抽象出3比2大。點(diǎn)、線、面也是從現(xiàn)實(shí)圖形中抽象出來(lái)的。因此，數(shù)學(xué)研究的不是某一個(gè)具體的存在，不是具體的2頭牛，

20、3匹馬，而是抽象的存在2和3。數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，數(shù)大小關(guān)系是對(duì)數(shù)量多少關(guān)系的抽象。這個(gè)抽象是用語(yǔ)言能夠表達(dá)出來(lái)的。你念一、二、三、四、五、六、七、八、九，你怎么說(shuō)都不要緊，但是你用符號(hào)來(lái)表征出來(lái)時(shí)，這里就有一個(gè)質(zhì)的變化。我們小學(xué)數(shù)學(xué)老師要把握這一條，這個(gè)事情很重要。    有些概念性的東西需要專門的理解。比如到了符號(hào)表達(dá)，一般會(huì)比語(yǔ)言表達(dá)更難一點(diǎn)。比如，數(shù)的符號(hào)表達(dá)只要抓住兩個(gè)事情就行。第一，知道09這幾個(gè)數(shù)字符號(hào)；第二，知道數(shù)位。知道這兩件事，就能把所有的數(shù)都表示出來(lái)。這是一件很了不起的事情。只用有限的符號(hào)就能把無(wú)窮無(wú)盡的數(shù)都表達(dá)出來(lái)，這是人們通過(guò)幾千

21、年的積累才總結(jié)出來(lái)的。在讀數(shù)時(shí)只需要知道數(shù)字和位數(shù)就行。    我聽過(guò)一節(jié)課，整節(jié)課都在講千以內(nèi)數(shù)的讀法，末尾有0怎么辦，中間有0怎么辦，那堂課講得我非常生氣，因?yàn)楹⒆觽兩险n前是興致勃勃的，聽完這節(jié)課是垂頭喪氣的。后來(lái)我來(lái)講，我說(shuō)：你就記住?。?350，這個(gè)2在千位，你就讀2千，百位上是3，你就讀3百，十位上是5，就讀5十，個(gè)位上是0，就讀0個(gè)。連起來(lái)，就讀2千3百5十0個(gè)。2002就讀2千0百0十2個(gè)。不錯(cuò)，你要嫌麻煩就讀2千零2，不嫌麻煩就讀2千0百0十2個(gè)，沒有錯(cuò)。這堂課就講完了嘛。講得簡(jiǎn)單點(diǎn)，那些不重要的地方別花工夫。孩子小，一節(jié)課別講太多，多了

22、孩子弄不清什么重要什么不重要，他以為你講的都重要。我們?cè)谛抻啒?biāo)準(zhǔn)時(shí)甚至都想，一節(jié)課，無(wú)論如何，10分鐘就可以講完，頂多15分鐘。老師一定要精而又精地想好這10分鐘，在孩子精力最集中的時(shí)候把內(nèi)容講完。剩下的時(shí)間，啟發(fā)他思考，討論，玩都行。講課千萬(wàn)別反復(fù)講。還有，孩子們豎式怎么寫都行，錯(cuò)了也不要緊，結(jié)果對(duì)了就行。不要在旁枝末節(jié)上提很多要求。旁枝末節(jié)上要求多了，他就抓不住本質(zhì)了。    再有，過(guò)去教材認(rèn)識(shí)一萬(wàn)這個(gè)數(shù)，都寫9000+1000=10000，我們東北師大附小的課本是說(shuō)10個(gè)1000等于10000。10個(gè)1000怎么是10000呢？10個(gè)1000是十千

23、??！應(yīng)當(dāng)是“萬(wàn)”這個(gè)數(shù)位是十個(gè)“千”，這個(gè)“千”也是數(shù)位，因?yàn)槲覀冇玫氖鞘M(jìn)位。而一萬(wàn)是一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)是怎么產(chǎn)生的呢？應(yīng)該是萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)最大是9999，又多1個(gè)怎么辦呢？我們祖先又創(chuàng)造了一個(gè)詞，叫“萬(wàn)”。10000是表示比9999多1的數(shù)。數(shù)就是這么產(chǎn)生的。數(shù)是一個(gè)一個(gè)多起來(lái)的。這個(gè)思想，孩子們應(yīng)該知道。歐洲的祖先就沒有創(chuàng)造出“萬(wàn)”這個(gè)詞，因此他就說(shuō)“十千”ten thousands。這些地方看起來(lái)是小事情，但這些小事情體現(xiàn)出你有沒有把握住數(shù)學(xué)的本質(zhì)。沒有把握住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，老師就不好教。他就不敢用10分鐘把課講完。所以我們的教材也好，未來(lái)的教師培訓(xùn)也好，應(yīng)當(dāng)走向?qū)嵸|(zhì)，應(yīng)當(dāng)抓住本質(zhì)，用簡(jiǎn)單的幾句話

24、就講完它，然后領(lǐng)著學(xué)生去思考，去做一些事情。而且只有把握了本質(zhì)，讓學(xué)生討論之后，你才能說(shuō)學(xué)生想得對(duì)不對(duì)。數(shù)學(xué)是很講“道理”的學(xué)科    再說(shuō)一下推理。先講邏輯推理。數(shù)學(xué)的所有結(jié)論都是用命題的形式表述的。數(shù)學(xué)定理、法則、定義都是一種命題。命題是一種話語(yǔ)，是可以進(jìn)行“是否”判斷的話語(yǔ)。你可以說(shuō)這個(gè)命題是對(duì)還是不對(duì)。推理是什么呢？推理是從一個(gè)命題判斷到另一個(gè)命題判斷之間的思維過(guò)程。如果命題的內(nèi)涵之間可以有一條主線串起來(lái)，這個(gè)思維就是有邏輯的。如果串不起來(lái)，這個(gè)思維就是沒有邏輯的。如果我們的老師能把握住什么叫邏輯推理的話，他講話就有信心了，而且就能用很簡(jiǎn)單的話把

25、數(shù)學(xué)課講清楚了。    邏輯推理有兩種形式。命題內(nèi)涵由小到大的叫歸納推理，包括我們常說(shuō)的類比推理。就是用曾經(jīng)經(jīng)驗(yàn)過(guò)的東西推測(cè)未曾經(jīng)驗(yàn)過(guò)的東西。所有的猜想都是這么得到的。比如最典型的，哥德巴赫猜想，從一些偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和。比如4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=3+7這個(gè)結(jié)果人們現(xiàn)在已經(jīng)驗(yàn)證到了1億，都是對(duì)的。因此人們猜想，是不是任意的偶數(shù)都能表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和呢？就是用曾經(jīng)經(jīng)驗(yàn)的東西去推斷未曾經(jīng)驗(yàn)的東西。這種教學(xué)我們以前沒有教過(guò)，但是這種教學(xué)是發(fā)現(xiàn)真理的根本。剛才我說(shuō)了，“雙基”還缺什么？“雙基”都是知識(shí)，沒有教智慧，沒有教從條件預(yù)測(cè)結(jié)果

26、的能力，也沒有教從結(jié)果探究成因的能力。這種能力靠的是什么？考的是歸納推理。歸納推理得到的結(jié)論不一定是對(duì)的，它的結(jié)論是或然成立，可能是對(duì)的。只有靠可能是對(duì)的這樣一種推理，才有可能發(fā)現(xiàn)一種新的東西，肯定都是對(duì)的，還能發(fā)現(xiàn)什么新東西呢？    與此相關(guān)的我再講一個(gè)術(shù)與理的問(wèn)題。中美教學(xué)分?jǐn)?shù)加法有區(qū)別，各有優(yōu)缺點(diǎn)。比如中國(guó)教1/4+2/3=（1×3+2×4）/4×3=（8+3）/12=11/12，但是這個(gè)教法是教術(shù)，沒教理。分?jǐn)?shù)的加法，分子為什么這么乘呢？這里有個(gè)很重要的事情，過(guò)去老師在教學(xué)中可能沒有注意到，分?jǐn)?shù)是有單位的，單位就是

27、幾分之一，1/3是一個(gè)單位，就是把一個(gè)東西分了3份，中間那1份是1/3。2/3是2個(gè)1/3相加，表示的是2個(gè)單位。兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加，就應(yīng)該要變成相同的分?jǐn)?shù)單位才能相加。1/4和2/3共同的分?jǐn)?shù)單位是誰(shuí)呢？共同變成12份就能相加了。美國(guó)是怎么教的？先教乘上“1”，分?jǐn)?shù)不變，因此，1/4(3/3)+2/3(4/4)=3/12+8/12=11/12。美國(guó)這么教有一個(gè)毛病，算得慢，中國(guó)這么教有一個(gè)好處，算得快。但美國(guó)這么教多少講了點(diǎn)道理，而中國(guó)這么教講的是算術(shù)。光教術(shù)不行，還得教理，這兩個(gè)要結(jié)合著教。而且在教材里，分子分母同時(shí)擴(kuò)大相同倍數(shù)，值不變，這件事得放在前面講，而不是到后面來(lái)講。歸納這個(gè)事情很重要。

28、    推理還有演繹推理。歸納推理是從小到大，而演繹推理是從大到小。這個(gè)推理是絕對(duì)正確的。例如，凡人都有死，蘇格拉底是人，蘇格拉底有死。這個(gè)推理一點(diǎn)錯(cuò)也沒有。反過(guò)來(lái)就不一定對(duì)了。到現(xiàn)在為止，我們教材講的都是這樣的推理。這種推理當(dāng)然是必要的，但這種推理不能用于發(fā)現(xiàn)新命題。    來(lái)看一個(gè)分?jǐn)?shù)除法的例子。有鵝4只，是鴨子的1/3，問(wèn)鴨子有幾只？這個(gè)課的教學(xué)目的是4÷1/3=4×3=12。我聽過(guò)兩個(gè)老師講這堂課。我問(wèn)老師的第一個(gè)問(wèn)題是：為什么這個(gè)問(wèn)題要用除法計(jì)算？講課時(shí)給學(xué)生怎么講為什么這個(gè)題用除法？

29、當(dāng)然你可以和學(xué)生說(shuō)這樣的題必須用除法計(jì)算，這樣學(xué)生就記住了。但是為什么用除法計(jì)算呢？可以舉例說(shuō)明。你可以先把題目稍微改一下，有鵝4只，是鴨子的2倍，鴨子有幾只？是不是用除法？因此鵝是鴨子的1/3，也可以理解為鵝是鴨子的1/3倍，這是一個(gè)比例關(guān)系，因此要用除法。先得把這個(gè)問(wèn)題解決，然后來(lái)講除分?jǐn)?shù)為什么變成乘以它的倒數(shù)了。首先得破題。什么叫破題？就是解釋“是鴨子的1/3”是什么意思，不是吧鴨子拔了毛了，一切分成3份，得了1/3，而是比例關(guān)系：3只鴨子1只鵝，6只鴨子2只鵝，9只鴨子3只鵝，在破題的過(guò)程中他明白了結(jié)果是12,。然后怎么教呢？我們老師腦袋里有很多這樣的東西：比如減法是加法的逆運(yùn)算，除法

30、是乘法的逆運(yùn)算這些話是什么意思，必須能用例子來(lái)說(shuō)明。不能用例子來(lái)說(shuō)就表示你沒有明白這幾句話。比如除法是乘法的逆運(yùn)算是什么意思呢?我們要做4÷1/3，原來(lái)的意思是？×1/3=4，逆運(yùn)算就是4÷1/3=？。因此從除法可以得到一個(gè)等式：？×1/3=4，等式兩邊同乘3，等式保持不變，？×1/3×3=4×3，所以？=4×3。因?yàn)椋?？，等量的等量相等，所以4÷1/3=4×3。這樣算出來(lái)的只是一個(gè)個(gè)案，符號(hào)表達(dá)才具有一般性，這就是a÷1/b=a×b。因此我們講符號(hào)是很重要的，符號(hào)和數(shù)一樣

31、可以進(jìn)行運(yùn)算，而且它表達(dá)的東西具有一般性，這個(gè)道理老師必須知道，也必須讓我們的學(xué)生知道。這次我們?cè)谡n標(biāo)修訂時(shí)提出一些核心概念，希望老師能夠把握這些。數(shù)學(xué)在概念和符號(hào)的基礎(chǔ)上，從條件出發(fā)，通過(guò)歸納推理推斷結(jié)論，通過(guò)演繹推理驗(yàn)證通過(guò)推斷得到的結(jié)論的正確性，這樣的論證形式是有邏輯的，因此數(shù)學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)性。數(shù)學(xué)為什么是科學(xué)，為什么給人感覺嚴(yán)謹(jǐn)呢，就是它得到結(jié)論的過(guò)程是有邏輯的，驗(yàn)證結(jié)論的過(guò)程也是有邏輯的。數(shù)學(xué)的一般性是由抽象得到的，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性是由邏輯推理得到的。數(shù)學(xué)的一般性和嚴(yán)謹(jǐn)性，使它具有廣泛的應(yīng)用性。        &

32、#160;                         小學(xué)應(yīng)用題只有兩個(gè)模型    除此之外，數(shù)學(xué)里邊還有一個(gè)非常重要的-數(shù)學(xué)模型。用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表述概念、描述規(guī)律，既簡(jiǎn)潔又準(zhǔn)確，這就是人們通常所說(shuō)的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型是溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁。數(shù)學(xué)得到的一些結(jié)果要應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界，主要是通過(guò)數(shù)學(xué)模型。有個(gè)學(xué)生跟我說(shuō)，小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用題太啰唆了，有十幾個(gè)類型。我說(shuō)就兩個(gè)，哪兩個(gè)呢？一個(gè)是總量=部分+部分；一個(gè)是距離=速度×時(shí)間，或者總價(jià)=數(shù)量×單價(jià)，這兩個(gè)本質(zhì)是一樣的。只有這兩個(gè)模型，其他的模型都是在這兩個(gè)基礎(chǔ)上變化的，對(duì)于這一個(gè)，不是在部分那里下點(diǎn)