1、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型與方法撰寫人：謝立榮一、考試內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；兩個函數(shù)的和、差、基本導(dǎo)數(shù)公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的最大值和最小值。二、考試要求了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等），掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念。熟記基本導(dǎo)數(shù)公式（c,x (m為有理數(shù))，的導(dǎo)數(shù)）。掌握兩個函數(shù)四則運算的求導(dǎo)法則會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，了解可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)要極值點兩側(cè)異號），會求一些實際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值。三、雙

2、基透視導(dǎo)數(shù)是微積分的初步知識，是研究函數(shù)，解決實際問題的有力工具。在高中階段對于導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，主要是以下幾個方面:1導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問題：（1）刻畫函數(shù)（比初等方法精確細(xì)微）；（2）同幾何中切線聯(lián)系（導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）；（3）應(yīng)用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡便）等關(guān)于次多項式的導(dǎo)數(shù)問題屬于較難類型。2導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應(yīng)引起注意。3曲線的切線用割線的極限位置來定義了曲線的切線切線方程由曲線上的切點坐標(biāo)確定，設(shè)為曲線上一點，過點的切線方程為：4瞬時速度用物體在一段時間運動的平均速度的極限來定義瞬時速度

3、，5導(dǎo)數(shù)的定義對導(dǎo)數(shù)的定義，我們應(yīng)注意以下三點：(1)x是自變量x在 處的增量(或改變量)(2)導(dǎo)數(shù)定義中還包含了可導(dǎo)的概念，如果x0時，有極限，那么函數(shù)y=f(x)在點處可導(dǎo)，才能得到f(x)在點處的導(dǎo)數(shù)(3)由導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，必須嚴(yán)格按以下三個步驟進(jìn)行：(a)求函數(shù)的增量；(b)求平均變化率；(c)取極限，得導(dǎo)數(shù)。6導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x)在點處的切線的斜率由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程具體求法分兩步：(1)求出函數(shù)y=f(x)在點處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點處的切線的斜率；(2)在已知切點坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方

4、程為特別地，如果曲線y=f(x)在點處的切線平行于y軸，這時導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)切線定義，可得切線方程為7、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系與為增函數(shù)的關(guān)系。能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，是為增函數(shù)的充分不必要條件。時，與為增函數(shù)的關(guān)系。若將的根作為分界點，因為規(guī)定，即摳去了分界點，此時為增函數(shù)，就一定有。當(dāng)時，是為增函數(shù)的充分必要條件。與為增函數(shù)的關(guān)系。為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因為，即為或。當(dāng)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。是為增函數(shù)的必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點，我們一定要把握好以上三個關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好

5、函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實際應(yīng)用中還會遇到端點的討論問題，要謹(jǐn)慎處理。單調(diào)區(qū)間的求解過程，已知（1）分析 的定義域； （2）求導(dǎo)數(shù) （3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，又知函數(shù)在處連續(xù)，因此在單調(diào)遞增。同理減區(qū)間的合并也是如此，即相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同，且在公共點處函數(shù)連續(xù)，則二區(qū)間就可以合并為一個區(qū)間。8、已知（1）若恒成立 為上 對任意 不等式 恒成立（2）若恒成立 在上 對任意

6、不等式 恒成立四、熱點題型分析題型一：利用導(dǎo)數(shù)定義求極限例1已知f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f(a)=b，求下列極限：（1）；（2）解：（1）（2）說明：只有深刻理解概念的本質(zhì)，才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類問題的關(guān)鍵是等價變形，使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。題型二：利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程例2已知曲線，曲線，直線與都有相切，求直線的方程。解：設(shè)直線與的切點分別為，又或， 的方程為： 或 。題型三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值。 例3已知函數(shù)的切線方程為y=3x+1 （）若函數(shù)處有極值，求的表達(dá)式； （）在（）的條件下，求函數(shù)在3，1上的最大值； （）若函數(shù)在區(qū)間2，1上單調(diào)遞增，

7、求實數(shù)b的取值范圍 解：（1）由過的切線方程為：而過故由得 a=2，b=4，c=5 （2）當(dāng) 又在3，1上最大值是13。 （3）y=f(x)在2，1上單調(diào)遞增，又由知2a+b=0。依題意在2，1上恒有0，即當(dāng)；當(dāng)；當(dāng)綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是例4：已知三次函數(shù)在和時取極值，且(1) 求函數(shù)的表達(dá)式；(2) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(3) 若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，試求、應(yīng)滿足的條件解：(1) ，由題意得，是的兩個根，解得，再由可得(2) ，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；在區(qū)間上是減函數(shù)；在區(qū)間上是增函數(shù)函數(shù)的極大值是，極小值是(3) 函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移個

8、單位，向上平移4個單位得到的，所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域為（）而，即于是，函數(shù)在區(qū)間上的值域為令得或由的單調(diào)性知，即綜上所述，、應(yīng)滿足的條件是：，且例5：已知函數(shù)f(x)=x33x2axb在x(1，f(1)處的切線與直線12xy10平行（1）求實數(shù)a的值；（2）求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若f(x)在區(qū)間2，2上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值解：（1） f(x)3x26xa f(1)3a=12,a=9（2） f(x)3x26x9令f (x)<0，解得x<1或x>3，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（，1），（3，）（3）因為f(2)81218b=2b，f(2)812

9、18b22b，所以f(2)>f(2)因為在（1，3）上f (x)>0，所以f(x)在1, 2上單調(diào)遞增，又由于f(x)在2，1上單調(diào)遞減，因此f(2)和f(1)分別是f(x)在區(qū)間2，2上的最大值和最小值，于是有 22b20，解得 b2 故f(x)=x33x29x2，因此f(1)13927，即函數(shù)f(x)在區(qū)間2，2上的最小值為7例6：已知函數(shù)在處取得極值，（1）用表示；（2）設(shè)函數(shù)如果在區(qū)間上存在極小值，求實數(shù)的取值范圍.解：（1） （2）由已知令0若,則當(dāng)時，>0；當(dāng)時，.所以當(dāng)時，在有極小值.同理當(dāng)時，即時，在有極小值.綜上所述：當(dāng)時，在有極小值.例7：已知(1)當(dāng)時,

10、 求證在內(nèi)是減函數(shù);(2)若在內(nèi)有且只有一個極值點, 求a的取值范圍.解: (1) , 又二次函數(shù)的圖象開口向上,在內(nèi), 故在內(nèi)是減函數(shù).(2)設(shè)極值點為則當(dāng)時, 在內(nèi)在內(nèi)即在內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù).當(dāng)時在內(nèi)有且只有一個極值點,且是極大值點. 當(dāng)時,同理可知,在內(nèi)且只有一個極值點,且是極小值點.當(dāng)時,由(1)知在內(nèi)沒有極值點. 故所求a的取值范圍為例8：設(shè)函數(shù)（1）若的圖象與直線相切，切點橫坐標(biāo)為，且在處取極值，求實數(shù) 的值；（2）當(dāng)b=1時，試證明：不論a取何實數(shù)，函數(shù)總有兩個不同的極值點解：（1）由題意，代入上式，解之得：a=1，b=1（2）當(dāng)b=1時，因故方程有兩個不同實根不妨設(shè)，由可

11、判斷的符號如下：當(dāng)；當(dāng)；當(dāng)因此是極大值點，是極小值點，當(dāng)b=1時，不論a取何實數(shù)，函數(shù)總有兩個不同的極值點。題型四：導(dǎo)數(shù)與解析幾何、立體幾何的結(jié)合。例9： 所以如圖所示，曲線段OMB是函數(shù)的圖像，軸于A，曲線段OMB上一點處的切線PQ交x軸于P，交線段AB于Q.（1）試用表示切線PQ的方程；（2）設(shè)QAP的面積為，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，試求出的最小值；O0OPMBQxyA(6, 0)（3），試求出點P橫坐標(biāo)的取值范圍.解：（1）切線PQ的方程 （2）令y=0得由解得 .又0<t<6, 4<t<6， g (t)在(m, n)上單調(diào)遞減，故（m, n）（3）當(dāng)在（0

12、，4）上單調(diào)遞增，P的橫坐標(biāo)的取值范圍為. 例10：用長為90cm,寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器,先在四角分別截去一個小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角,再焊接而成(如圖),問該容器的高為多少時,容器的容積最大?最大容積是多少?解：設(shè)容器的高為x，容器的體積為V，則V=,(0<V<24) =V=由V=得時，V>0,10<x<36時，V<0,x>36時，V>0,所以,當(dāng)x=10,V有極大值V(10)=1960，并且又是最大值所以當(dāng)x=10,V有最大值V(10)=1960題型五：利用單調(diào)性、極值、最值情況，求參數(shù)取值范圍例11：設(shè)

13、函數(shù) （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值.（2）若當(dāng)時，恒有，試確定a的取值范圍.解：（1）=，令得列表如下：x（-，a）a（a，3a）3a（3a，+）-0+0-極小極大在（a，3a）上單調(diào)遞增，在（-，a）和（3a，+）上單調(diào)遞減時，時，（2），對稱軸，在a+1，a+2上單調(diào)遞減 ，依題，即解得，又a的取值范圍是例12：（2006全國卷）設(shè)為實數(shù)，函數(shù)在和都是增函數(shù)，求的取值范圍。 解：，判別式 若，當(dāng)時，在上為增函數(shù)，所以符合題意。 若，恒有，在上為增函數(shù)，所以符合題意。 若即都是增函數(shù)，只須，又所以綜上：的取值范圍為例13：已知函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù)（）對滿足的一切的值，都有，求實數(shù)的取值范圍；

14、（）設(shè)，當(dāng)實數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時，函數(shù)的圖象與直線 只有一個公共點解：（）由題意 令，對，恒有，即 即 解得故時，對滿足的一切的值，都有（）當(dāng)時，的圖象與直線只有一個公共點當(dāng)時，列表： 極大極小又的值域是，且在上單調(diào)遞增當(dāng)時函數(shù)的圖象與直線只有一個公共點。當(dāng)時，恒有由題意得即解得 ；綜上，的取值范圍是例14（2006年江西卷）已知函數(shù)f（x）x3ax2bxc在x與x1時都取得極值（1）求a、b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（2）若對xÎ1，2，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范圍。解：（1）f（x）x3ax2bxc，f¢（x）3x22axb由f¢（），f

15、¢（1）32ab0得a，b2f¢（x）3x2x2（3x2）（x1），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：x（¥，）（，1）1（1，¥）f¢（x）00f（x）­極大值¯極小值­所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（¥，）與（1，¥），遞減區(qū)間是（，1）（2）f（x）x3x22xc，xÎ1，2，當(dāng)x時，f（x）c為極大值，而f（2）2c，則f（2）2c為最大值。要使f（x）<c2（xÎ1，2）恒成立，只需c2>f（2）2c，解得c<1或c>2題型六：利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根

16、例15：已知平面向量=(,1). =(,).（1）若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使=+(t23)，=-k+t，試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t) ；(2) 據(jù)(1)的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程f(t)k=0的解的情況. 解：(1)，=0 即+(t2-3) ·(-k+t)=0.整理后得-k+t-k(t2-3) + (t2-3)·=0=0，=4，=1，上式化為-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)(2)討論方程t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)= t(t2-3)與直線y=k的交點個數(shù).于是f(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1).令f(t)=0,解得t

17、1=-1,t2=1.當(dāng)t變化時，f(t)、f(t)的變化情況如下表：t(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ )f(t)+0-0+F(t)極大值極小值當(dāng)t=1時，f(t)有極大值，f(t)極大值=.當(dāng)t=1時，f(t)有極小值，f(t)極小值=函數(shù)f(t)=t(t2-3)的圖象如圖1321所示，可觀察出：(1)當(dāng)k或k時,方程f(t)k=0有且只有一解；(2)當(dāng)k=或k=時,方程f(t)k=0有兩解；(3) 當(dāng)k時,方程f(t)k=0有三解.例16：設(shè)為實數(shù)，函數(shù)（）求的極值；（）當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時，曲線與軸僅有一個交點解：令，當(dāng)變化時，的變化情況如下表所示+00+極大值極小值所以的極大值=

18、，極小值。（2），所以當(dāng)時曲線與軸僅有一個交點。所以當(dāng)時曲線軸僅有一個交點。例17：已知函數(shù).（）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）若曲線上兩點A、B處的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點，求實數(shù)a的取值范圍.解（）由題設(shè)知.令.當(dāng)（i）a>0時，若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；（i i）當(dāng)a0時，若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù).（）由（）的討論及題設(shè)知，曲線上的兩點A、B的縱坐標(biāo)為函數(shù)的極值，且函數(shù)在處分別是取得極值，.因為線段AB與x軸有公共點

19、，所以.即所以.故.解得1a0或3a4.即所求實數(shù)a的取值范圍是-1，0)3，4.題型七：導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合例18：已知函數(shù)，設(shè)，記曲線在點處的切線為。（）求的方程；（）設(shè)與軸的交點為，證明：；若，則。解：（1）的導(dǎo)數(shù)，由此得切線的方程，（2）依題意，在切線方程中令，得，（），當(dāng)且僅當(dāng)時取等成立。（）若，則，且由（），所以。例19：設(shè)在上是單調(diào)函數(shù).（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)1，1，且，求證：.解：（1） 若在上是單調(diào)遞減函數(shù)，則須這樣的實數(shù)a不存在.故在上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).若在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則，由于.從而0<a3.（2）方法1、可知在上只能為單調(diào)增函數(shù). 若1，則 若1矛盾，故只有成立.方法2：設(shè)，兩式相減得1,u1，例20：已知為實數(shù)，函數(shù)（1）若函數(shù)的圖象上有與軸平行的切線，求的取值范圍（2）若，（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（）證明對任意的，不等式恒成立解：，函數(shù)的圖象有與軸平行的切線，有實數(shù)解，所以的取